6.2.4向量的数量积(1)课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖向量夹角、数量积定义、性质及投影向量等核心内容。通过复习向量线性运算引入“向量能否相乘”的思考，结合物理中“功”的概念自然过渡到数量积定义，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以物理情境为切入点抽象数学概念，体现数学眼光；通过例3判断三角形形状、投影向量探究等环节培养推理意识，落实数学思维；课堂总结结构化呈现知识要点，助力学生系统掌握。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可依托清晰逻辑提升教学效率。

6.2.4向量的数量积(1) 复习回顾 向量的线性运算 向量的线 性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 思考：那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 情景引入 我们一起来回忆物理中功的概念： 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功是多少？ 思考：能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？ 数学上，我们把“功”称为向量与向量的“数量积”. “数量积”即是两个向量相乘的结果. 其中 的夹角. 新知讲授 已知两个非零向量，，是平面上的任意一点， 作 ， , 则叫做向量与的夹角. 注意 1.向量的夹角是两向量共起点时所夹的角； 2.向量与的夹角可表示为< >； 3.向量夹角范围是，两直线夹角是. 与同向, 与反向,π 与垂直,⊥ θ 向量的夹角 概念讲解 向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作. 即 定义 规定，零向量与任一向量的数量积为0，即. 1. 与之间只能用实心圆点“”连接，且不能省略； 注意 2.向量的数量积运算结果是一个数量，而不是向量. 新知讲授 向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是， 是与方向相同的单位向量，则 ① ② ③当同向时， ； 当反向时， - ； 特别地， 或 ④ 新知应用 例1已知，，与的夹角，求. 解： 新知应用 例2 设，，求与的夹角. 解：由，得 因为，所以 新知应用 例3 (1)已知△ABC中，=，=，当<0或=0时，判断△ABC的形状. (2)已知正△ABC的边长为1，求： ① · ；② · ；③ · . 问题探究 探究1 在计算所做的功的过程中，我们可以 先求力在物体运动方向上的分力，你能将其 表示出来吗？ 对应在向量中， 叫做向量在 上的投影向量. 概念讲解 投影与投影向量 设，是两个非零向量，，，有如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 定义 新知应用 探究2 如图，设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为， 那么与, ,之间有怎样的关系？ 对于任意的，都有 ⑤ ④ ③ ② ① 与共线，于是 θ 新知应用 例4 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e，求：(1)a·b；(2)求a在b上的投影向量. 练习已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上投影向量是　　　　　. -2e 课堂总结 $