精品解析：云南省昆明市华东师范大学昆明实验学校2025-2026学年九年级上学期1月阶段数学学情自测

华东师范大学昆明实验学校九年级1月月考试卷 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷或草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. a与互为相反数，则a的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用相反数的定义求出a的值，再根据绝对值的定义计算a的绝对值即可． 【详解】解：∵a与互为相反数， ∴， ∴． 2. 2025年4月16日30台无人驾驶电动矿卡在内蒙古锡林浩特市胜利东二号露天煤矿项目正式投运，这是一场前所未有的技术革新．据估算，30台无人驾驶电动矿卡每年减少二氧化碳排放超3000吨，相当于植树160000棵．将数据“160000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】将160000转化为时，小数点向左移动了5位， ∴． 3. 如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得出，再结合已知条件得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：由对顶角得出， ∵， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则，以及同类项的合并规则逐一判断选项正误. 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、不是同类项，无法合并为，计算错误. 5. 如图，所给三视图的几何体是（　　） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】主视图和左视图看到的是一个三角形，可确定为锥体，俯视图看到的是带有圆心的圆，因此可以确定是圆锥 【详解】主视图和左视图看到的是一个三角形，可确定几何体为锥体，俯视图看到的是带有圆心的圆，可知是圆锥体 故选C． 考点：三视图 6. 一个八边形的内角和是一个四边形内角和的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍 【答案】B 【解析】 【分析】先利用公式分别计算八边形与四边形的内角和，再计算两者的倍数关系即可． 【详解】解：八边形内角和为， 四边形内角和为． ∵． ∴一个八边形的内角和是一个四边形内角和的3倍． 7. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ）． A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中和当，图象位于第一、三象限，随的增大而减小性质进行辨析即可． 【详解】因为，所以图象必经过点，故A正确，不符合题意； 因为，所以图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式可知：当，方程有两个不相等的实数根，列出不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ∴， 即， 解得：． 9. 有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别观察代数式的符号、系数的分母、x的指数的变化规律，综合推导第n个代数式的表达式. 【详解】∵观察符号：第1个为正，第2个为负，第3个为正……，符号规律为 ∵观察系数的分母：第1个是，第2个是，第3个是……，分母规律为，分子均为1，故系数为 ∵观察x的指数：第1个是，第2个是，第3个是……，指数规律为； ∴第n个代数式是. 故选：B． 10. 写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 日 B. 新 C. 月 D. 异 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形 【详解】解：“日”字，沿中间竖直线或水平直线对折后，直线两旁部分可完全重合，属于轴对称图形； “新”、“月”、“异”，均无法找到这样的直线，不属于轴对称图形． 11. 小昆同学参加了主题为“墨香彩云南·笔韵颂中华”的书法比赛，在初赛时五位评委给小昆同学的综合评估成绩分别为，，，，．下列关于这组数据描述正确的是（ ）． A. 平均数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 方差为 【答案】C 【解析】 【分析】本题需根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别计算，再逐一判断选项．方差的公式为． 【详解】将数据从小到大排列为，，，，， A．平均数：，故A选项错误，不符合题意； B．众数：和均出现次，次数最多，故众数为和，B选项错误，不符合题意； C．中位数：数据共个，从小到大排列后，中间的数为，故中位数为，C选项正确，符合题意； D．方差：，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 12. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 13. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点，由三线合一的性质得出，再根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 15. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解得． 17. 在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点对称，那么a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点的坐标特征，“关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”，据此可求出的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ________________．（只需填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 根据两角对应相等两三角形相似判断即可． 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 19. 图书馆作为社会核心文化基础设施，具有不可替代的社会功能和文化价值．某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500本图书的种类，绘制成如图所示的统计图，根据图中信息，估计该图书馆购进的5000本图书种类需求最多的数量为________本． 【答案】1700 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．根据题意购进图书种类需求最多自然科学所占的比例为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据表格信息可得自然科学类图书需求最多， ∴该图书馆购进图书种类需求最多的图书的数量为（本）， 故答案为：1700． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂、乘方、特殊的三角函数值，再加减即可求解． 【详解】解： ． 21. 如图，和相交于点，点是线段的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，利用证明即可． 【详解】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 22. 从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 【答案】未来高铁的平均速度为340公里/小时． 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的实际应用．设动车的平均速度为公里/小时，则未来高铁的平均速度为公里/小时，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】解：设动车的平均速度为公里/小时，则未来高铁的平均速度为公里/小时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴. 答：未来高铁的平均速度为340公里/小时． 23. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小昆和小云都是书法爱好者，小昆准备从a．楷书，b．行书，c．隶书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等；小云准备从a．楷书，b．行书，d．草书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等．记小昆的选择为x，小云的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小昆和小云选择的书体互不相同的概率P． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】根据列表法和概率公式求解即可． （1）列出表格即可求解． （2）根据（1）所列表格得出出现的结果总数为9种，其中小昆和小云选择的书体互不相同的有7种，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解： 小昆 小云 a b c a b d 根据表格可知所有可能出现的结果总数为9种． 【小问2详解】 解：由（1）可知所有可能出现的结果总数为9种，其中小昆和小云选择的书体互不相同的有7种， 故小昆和小云选择的书体互不相同的概率． 24. 如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求点D到的距离h． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识． （1）利用菱形的判定方法和性质证明即可． （2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h． 【小问1详解】 证明：∵是平行四边形， ∴是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得，负值舍去， 则，， ∴， ∴， 即， 则． 25. 国家主席习近平在2025年新年贺词中提到：“区域发展协同联动、积厚成势，新型城镇化和乡村振兴相互融合、同频共振．”为建设新农村，某村计划购进一批甲、乙两种太阳能路灯，若购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元． （1）求购买甲种和乙种路灯每盏分别需要多少元？ （2）若该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，太阳能路灯商家对两种路灯进行了优惠：甲种路灯打九折，乙种路灯每盏降价50元，要求乙种路灯的数量不得少于甲种路灯数量的一半，则该村购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】（1）购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元 （2）该村购买这批路灯最少需要花费23000元 【解析】 【分析】（1）设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要元和元，根据购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲种路灯的数量为盏，购买这批路灯需要元，根据题意，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要元和元，由题意，得： ，解得， 答：购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元； 【小问2详解】 解：设购买甲种路灯的数量为盏，则购买乙种路灯盏， 由题意，，解得； 设购买这批路灯需要元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的最小值为； 故该村购买这批路灯最少需要花费23000元． 26. 已知二次函数（）． （1）若，直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； （2）当时，设是该二次函数图象与轴交点的横坐标，记，求的值． 【答案】（1）函数表达式为，顶点坐标为； （2）或． 【解析】 【分析】（1）将代入，解出函数的表达式，再运用顶点公式即可求解； （2）将代入中，根据题意令求出的值，再整理降幂整理出的代数式，得，带入求解即可． 【小问1详解】 ∵将代入中， ∴， ∵设顶点为， ∴，， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵将代入中， ∴， ∵是该二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴，解得：， ∵整理得：， ∴ ， ∴， 当，， 当，， ∴综上，或． 27. 如图，是的内接等腰三角形，，将绕顶点A逆时针旋转得到，交于点E． （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，连接，交于点F，交于点M．若，，则以下与线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2）与的位置关系是相切，理由见详解 （3）②正确，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质求解即可． （2）连接，，连接并延长交于点H，由线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，再由旋转的性质得出，即得出． （3）先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，由旋转的性质得出，由同弧所对的圆周角相等得出，进而可得出，则，即和在同一条直线上，进而可得出． 【小问1详解】 解：由题意可知四边形是的内接四边形， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：与的位置关系是相切；理由如下： 连接，，连接并延长交于点H，如下图： ∵，， ∴点A，点O在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得出， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线． 即与的位置关系是相切． 【小问3详解】 解：②正确，理由如下： 连接，如下图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转的性质得出， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和在同一条直线上， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学昆明实验学校九年级1月月考试卷 数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷或草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. a与互为相反数，则a的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 2025年4月16日30台无人驾驶电动矿卡在内蒙古锡林浩特市胜利东二号露天煤矿项目正式投运，这是一场前所未有的技术革新．据估算，30台无人驾驶电动矿卡每年减少二氧化碳排放超3000吨，相当于植树160000棵．将数据“160000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，所给三视图的几何体是（　　） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱锥 6. 一个八边形的内角和是一个四边形内角和的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍 7. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ）． A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 9. 有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 10. 写方方正正中国字，做堂堂正正中国人．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 日 B. 新 C. 月 D. 异 11. 小昆同学参加了主题为“墨香彩云南·笔韵颂中华”的书法比赛，在初赛时五位评委给小昆同学的综合评估成绩分别为，，，，．下列关于这组数据描述正确的是（ ）． A. 平均数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 方差为 12. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 13. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 15. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 17. 在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点对称，那么a的值是________． 18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ________________．（只需填一个） 19. 图书馆作为社会核心文化基础设施，具有不可替代的社会功能和文化价值．某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500本图书的种类，绘制成如图所示的统计图，根据图中信息，估计该图书馆购进的5000本图书种类需求最多的数量为________本． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，和相交于点，点是线段的中点，．求证：． 22. 从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 23. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小昆和小云都是书法爱好者，小昆准备从a．楷书，b．行书，c．隶书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等；小云准备从a．楷书，b．行书，d．草书3种书体中随机选择一种书体练习写“加油”两字，且每种书体被选到的可能性相等．记小昆的选择为x，小云的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小昆和小云选择的书体互不相同的概率P． 24. 如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求点D到的距离h． 25. 国家主席习近平在2025年新年贺词中提到：“区域发展协同联动、积厚成势，新型城镇化和乡村振兴相互融合、同频共振．”为建设新农村，某村计划购进一批甲、乙两种太阳能路灯，若购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元． （1）求购买甲种和乙种路灯每盏分别需要多少元？ （2）若该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，太阳能路灯商家对两种路灯进行了优惠：甲种路灯打九折，乙种路灯每盏降价50元，要求乙种路灯的数量不得少于甲种路灯数量的一半，则该村购买这批路灯最少需要花费多少元？ 26. 已知二次函数（）． （1）若，直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； （2）当时，设是该二次函数图象与轴交点的横坐标，记，求的值． 27. 如图，是的内接等腰三角形，，将绕顶点A逆时针旋转得到，交于点E． （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，连接，交于点F，交于点M．若，，则以下与线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $