专题03 二次根式的加法与减法【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03 二次根式的加法与减法 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式的加法与减法】 1.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变。 2. 二次根式的加减 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 3. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 【重难点常考题型概览】 【题型01】同类二次根式 【题型02】二次根式的加减运算 【题型03】二次根式的混合运算 【题型04】已知字母值的二次根式化简求值 【题型05】已知条件式的二次根式化简求值 【题型06】二次根式中的整数部分和小数部分 【题型07】比较二次根式的大小 【题型08】二次根式的应用 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】同类二次根式 【例1】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【题型02】二次根式的加减运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： 【变式2-2】（2025-2026八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【变式2-3】（2025-2026八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型03】二次根式的混合运算 【例3】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）计算：． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【题型04】已知字母值的二次根式化简求值 【例4】（2024-2025八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【题型05】已知条件式的二次根式化简求值 【例5】（2024-2025八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【题型06】二次根式中的整数部分和小数部分 【例6】（2024-2025七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河北保定·阶段练习）的整数部分为，小数部分为，的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 【变式6-2】（2023-2024八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【变式6-3】（2024-2025八年级下·四川德阳·阶段练习）已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 【题型07】比较二次根式的大小 【例7】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【题型08】二次根式的应用 【例8】（2024-2025八年级下·江西赣州·期中）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【变式8-1】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·广西桂林·阶段练习）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【例9】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为 ． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·四川自贡·阶段练习）观察下列各式：，，，…利用你发现的规律解决： ． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 2.（2024-2025八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 3.（2024-2025八年级下·上海宝山·期末）计算： 4.（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)比较大小：与； (2)若，且，求a的值； (3)若，，求的值． 5．（2024-2025八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 6．（2024-2025八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 7．（2022-2023八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·河北·中考真题）计算：（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 7．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 8．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 9．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 10．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 11．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ． 12．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 13．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 14．（2024·云南丽江·中考真题）计算：． 15．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的加法与减法 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式的加法与减法】 1.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变。 2. 二次根式的加减 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 3. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 【重难点常考题型概览】 【题型01】同类二次根式 【题型02】二次根式的加减运算 【题型03】二次根式的混合运算 【题型04】已知字母值的二次根式化简求值 【题型05】已知条件式的二次根式化简求值 【题型06】二次根式中的整数部分和小数部分 【题型07】比较二次根式的大小 【题型08】二次根式的应用 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】同类二次根式 【例1】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简． 要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与的被开方数一致． 【解答】解： 选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项C：，化简为，与的被开方数均为，是同类二次根式，可以合并． 选项D：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 故选C． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】见解析 【解答】解：， 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数不相同，符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 【题型02】二次根式的加减运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，以及去括号，再运算加减法，即可作答． （2）先化简算术平方根，立方根，运算乘方以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型03】二次根式的混合运算 【例3】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解． 【解答】解：原式 ． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【解答】（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， 对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算； 对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可； 对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可. 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 【变式3-3】（2025-2026八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则和灵活运用乘方公式是解题关键． （）先根据二次根式的性质化简，分母有理化进行计算，最后合并计算即可； （）先利用完全平方公式展开和分母有理化计算，零次幂，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型04】已知字母值的二次根式化简求值 【例4】（2024-2025八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再代数计算即可． 【解答】解：原式 ． 当时，原式． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值，再化简得到，然后整体代入求解即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 【解答】解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 【题型05】已知条件式的二次根式化简求值 【例5】（2024-2025八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【解答】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【解答】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【题型06】二次根式中的整数部分和小数部分 【例6】（2024-2025七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河北保定·阶段练习）的整数部分为，小数部分为，的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 【变式6-2】（2023-2024八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【解答】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·四川德阳·阶段练习）已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 【答案】11 【分析】此题考查估算无理数的大小，分母有理化，二次根式的乘法运算，解题关键在于得到的整数部分． 先进行分母有理化，因为，由此得到，即可得到，再代入计算求解． 【解答】解： ， ∴ ， 故答案为：11． 【题型07】比较二次根式的大小 【例7】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【解答】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【解答】解：，，， ， 即， 故答案为：． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【解答】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【解答】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型08】二次根式的应用 【例8】（2024-2025八年级下·江西赣州·期中）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)7200元 【分析】本题考查二次根式实际应用，二次根式混合计算，平方差公式计算等． （1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【解答】（1）解：根据题意可知： ． ∴周长是：； （2）解：， ， ， （元）， ∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【解答】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用． （1）根据长方体的体积公式，即可求出高； （2）根据长方体的表面积公式求解即可． 【解答】（1）解：这个长方体的高 ； （2）解：表面积为． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·广西桂林·阶段练习）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 【答案】(1)米 (2)1350.70元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【解答】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米． （2）解： （平方米）． ∴其余区域的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.70元． 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【例9】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【解答】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，新定义运算的含义，根据新定义运算规则，分别计算和，再利用二次根式的混合运算法则计算乘积． 【解答】解：由定义，， ． 则 ． 故答案为： 【变式9-2】（2024-2025八年级下·四川自贡·阶段练习）观察下列各式：，，，…利用你发现的规律解决： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，二次根式的混合运算及平方差公式，解题的关键是通过观察所给的等式，探索出运算的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算．通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 【答案】(1)7， (2)①2；②25 (3) 【分析】本题以算术平均数和几何平均数为背景，主要考查了二次根式和分式的相关运算，正确理解算术平均数和几何平均数的定义是解题的关键； （1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解即可； （2）①根据两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数求解即可； ②根据题意可得，代入后再进一步求解即可； （3）将原式变形为，再利用求解即可． 【解答】（1）解： 2和12的算术平均数是，几何平均数是； 故答案为：7，； （2）解：①根据题意可得：，当且仅当时取“=”； 故答案为：2； ②∵，且， ∴，即， ∴ 则的最大值是25； 故答案为：25； （3）解：∵， ∴，当即时取等号， ∴， ∴的取值范围是． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【解答】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C. 2.（2024-2025八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 3.（2024-2025八年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【解答】解： ． 4.（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)比较大小：与； (2)若，且，求a的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）根据题中分母有理化的方法将两个式子分别化简，再比较即可； （2）先分母有理化得到，再将开平方得到，代入，即可求解； （3）先分母有理化得：，，再将整理为，再代入值求解即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， 即； （2） ，， 或； （3） ，， ． 5．（2024-2025八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【解答】（1）解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 6．（2024-2025八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【解答】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 7．（2022-2023八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【解答】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·河北·中考真题）计算：（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【解答】解： 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【解答】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 4．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可． 【解答】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【解答】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【解答】解：； 故答案为：． 8．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 9．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【解答】解： ． 故答案为：2． 10．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【解答】解： 故答案为：． 11．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 12．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【解答】 ， 故答案为：． 【点评】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． 13．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 14．（2024·云南丽江·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的性质、二次根式的乘法与化简计算即可得到结果． 【解答】解： ． 15．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可． 【解答】解：原式 当时, 原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $