专题02 二次根式的乘法与除法【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02 二次根式的乘法与除法 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式的乘法与除法】 1. 二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则 1）语言表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 2）式子表示：． 3）二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的运算，即． 4）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． （2）二次根式的乘法法则的逆用 1） 2）． 3）应用：化简二次根式。先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 2. 二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则 1）语言表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2）式子表示： ． 3）二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的运算，即 ． 4）当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． （2）二次根式的除法法则的逆用 1）． 2）应用：化简二次根式。 3. 最简二次根式 （1）定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式，这样的二次根式叫作最简二次根式． （2）化为最简二次根式的步骤 1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； 2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； 3）利用，使被开方数中不含分母； 4）分母有理化，化去分母中的根号； 5）约分化简，整理成最简二次根式． 4. 化简二次根式的一般方法 （1）将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方。如： （2）若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数。如： （3）若被开方数中含有小数，先将小数化成分数。如： （4）若被开方数是分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算。如： (a＞0，b＞0，c＞0） （5）被开方数是多项式的要先因式分解。如：（x≥0，y≥0） 【重难点常考题型概览】 【题型01】二次根式的乘法 【题型02】二次根式的除法 【题型03】最简二次根式的判断 【题型04】化为最简二次根式 【题型05】已知最简二次根式求参数 【题型06】分子分母有理化 【题型07】二次根式的化简 【题型08】二次根式的乘除混合运算 【题型09】二次根式乘除的应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】二次根式的乘法 【例1】（2023-2024八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【解答】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（2023-2024八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【解答】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型02】二次根式的除法 【例2】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【解答】（1）解：； （2）解：； 【变式2-1】（2024-2025八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（  ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【解答】解：． 故选：A． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解： 故答案为： 【变式2-3】（2024-2025八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【解答】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【题型03】最简二次根式的判断 【例3】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【解答】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键． 根据最简二次根式的定义求解即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【解答】解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 【解答】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 【题型04】化为最简二次根式 【例4】（2024-2025八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【解答】解：． 故答案为： 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河北廊坊·阶段练习）将化为最简二次根式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式性质，进行化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【题型05】已知最简二次根式求参数 【例5】（2024-2025八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【解答】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【题型06】分子分母有理化 【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【解答】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【解答】解： ． 故答案为： ． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·北京顺义·期末）请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】见解析 【解答】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 【题型07】二次根式的化简 【例7】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等． 【解答】解：对于选项A：，该选项不成立； 对于选项B：，， ∴左边=右边，该选项成立； 对于选项C：，， ，该选项不成立； 对于选项D：， ，该选项不成立； 故选：B． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【解答】解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【解答】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 【题型08】二次根式的乘除混合运算 【例8】（2024-2025八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【解答】解： 【变式8-2】（2024-2025八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解答】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【解答】（1）解： （2）解： 【题型09】二次根式乘除的应用 【例9】（2024-2025八年级下·辽宁大连·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【解答】解：由题意得：， 故选：A． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【解答】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：20． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【解答】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 【变式9-3】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键． 根据题意，代入数据计算即可． 【解答】解∶ 根据题意得， 解得， ， 该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准． 【特训01】拓展培优强化 1.（2023-2024八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【解答】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 2.（2024-2025八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 3．（2024-2025八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【解答】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 4．（2024-2025八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可． 【解答】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：， 解得， 即的取值范围是； ②∵ ， 而， ∴； （2）解：由（1）得， 而， 两式相加得到， 即， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； 5．（2024-2025八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【解答】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 6.（2024-2025八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【解答】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 7．（2024-2025八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【解答】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【解答】． 故选：B． 2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【解答】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：， 故选：D 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【解答】解：； 故选C． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（  ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【解答】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 6．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【解答】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 7．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点评】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 8．（2025·湖南·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 9.（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 10．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的乘法与除法 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式的乘法与除法】 1. 二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则 1）语言表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 2）式子表示：． 3）二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的运算，即． 4）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． （2）二次根式的乘法法则的逆用 1） 2）． 3）应用：化简二次根式。先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 2. 二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则 1）语言表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2）式子表示： ． 3）二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的运算，即 ． 4）当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． （2）二次根式的除法法则的逆用 1）． 2）应用：化简二次根式。 3. 最简二次根式 （1）定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式，这样的二次根式叫作最简二次根式． （2）化为最简二次根式的步骤 1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； 2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； 3）利用，使被开方数中不含分母； 4）分母有理化，化去分母中的根号； 5）约分化简，整理成最简二次根式． 4. 化简二次根式的一般方法 （1）将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方。如： （2）若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数。如： （3）若被开方数中含有小数，先将小数化成分数。如： （4）若被开方数是分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算。如： (a＞0，b＞0，c＞0） （5）被开方数是多项式的要先因式分解。如：（x≥0，y≥0） 【重难点常考题型概览】 【题型01】二次根式的乘法 【题型02】二次根式的除法 【题型03】最简二次根式的判断 【题型04】化为最简二次根式 【题型05】已知最简二次根式求参数 【题型06】分子分母有理化 【题型07】二次根式的化简 【题型08】二次根式的乘除混合运算 【题型09】二次根式乘除的应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】二次根式的乘法 【例1】（2023-2024八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023-2024八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式1-3】（2024-2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型02】二次根式的除法 【例2】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（  ） A． B．4 C．3 D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型03】最简二次根式的判断 【例3】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【题型04】化为最简二次根式 【例4】（2024-2025八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河北廊坊·阶段练习）将化为最简二次根式： ． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 . 【题型05】已知最简二次根式求参数 【例5】（2024-2025八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【题型06】分子分母有理化 【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·上海·期末）计算： ． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·北京顺义·期末）请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【题型07】二次根式的化简 【例7】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【变式7-3】（2024-2025八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 【题型08】二次根式的乘除混合运算 【例8】（2024-2025八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【变式8-1】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）计算： 【变式8-2】（2024-2025八年级上·上海·月考）计算： 【变式8-3】（2024-2025八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型09】二次根式乘除的应用 【例9】（2024-2025八年级下·辽宁大连·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【特训01】拓展培优强化 1.（2023-2024八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 2.（2024-2025八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 3．（2024-2025八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 4．（2024-2025八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 5．（2024-2025八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 6.（2024-2025八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 7．（2024-2025八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C．14 D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（  ） A．3 B． C． D． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（  ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 6．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（  ） A． B． C． D． 7．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·中考真题）化简 ． 9.（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 10．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 学科网（北京）股份有限公司 $