6.4.3.2正弦定理 第1课时 正弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理 2.正弦定理 第1课时　正弦定理 【学习目标】 　　1.能够借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 　　2.掌握正弦定理,能用正弦定理解决简单的解三角形问题. ◆ 知识点一　正弦定理 1.正弦定理的表示 文字语言 在一个三角形中,各边和它所对角的　　　　的比相等  符号语言 == 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. (6)A<B⇔a<b⇔2Rsin A<2Rsin B⇔sin A<sin B. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形. (　 ) (2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. (　 ) (3)在某个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值是一个定值. (　 ) ◆ 知识点二　利用正弦定理解三角形 利用正弦定理主要解答如下两种求解三角形的问题: (1)已知三角形的两角和一边,求  　　　　　　;   (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求　　　　　　　　　　　　　　.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的B. (　 ) (2)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则满足条件的三角形是唯一的. (　 ) (3)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. (　 ) ◆ 探究点一　已知两角及一边解三角形 例1 [教材P47例7] 在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+,解这个三角形. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)[2025·内江一中高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,A=60°,sin C=,则c= (　 ) A.2 B.2 C. D.1 (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2,B=45°,A=105°,则c=　　　　.  [素养小结] 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理的变形公式,求另外的两条边. 拓展 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=45°,C=60°,c=1,则△ABC最短边的长为 (　 ) A. B. C. D. ◆ 探究点二　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 变式 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,cos B=,则A= (　 ) A. B. C. D.或 (2)在△ABC中,已知a=2,c=2,C=30°,则b=　　　　.  [素养小结] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角,那么由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一锐角. (3)如果已知的角为小边所对的角,那么不能判断另一边所对的角是否为锐角,这时由正弦值可能求得两个角,要分类讨论. ◆ 探究点三　三角形的解的个数 例3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,判断下列三角形解的个数. ①a=5,b=4,A=120°; ②a=9,b=10,A=60°; ③c=50,b=72,C=135°. 变式 (1)(多选题)[2025·盐城高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中仅有一解的是 (　 ) A.a=4,b=5,c=6 B.A=30°,B=45°,c=5 C.a=,b=2,A=45° D.a=3,b=2,C=75° (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足B=45°,c=8的三角形有且只有一个,则b的一个值为　　　　.  [素养小结] 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质判断解的个数. (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表: A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 6.4.3　余弦定理、正弦定理 2.正弦定理 第1课时　正弦定理 【课前预习】 知识点一 1.正弦 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)正弦定理适用于任意三角形. (2)由正弦定理知=,即bsin A=asin B. (3)根据正弦定理,在一个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值为该三角形的外接圆直径,是一个定值. 知识点二 (1)三角形的第三个角和其他两边　(2)三角形的第三条边和其他两角 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)B有可能有两个解. (2)∵a=3,b=5,sin A=,∴由=,得=,得sin B=.∵b>a,∴B的值有两个,∴满足条件的三角形有两个. (3)已知的三个元素中至少有一个是边才能解三角形. 【课中探究】 探究点一 例1　解:由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°. 由正弦定理,得a=== ===, b====+. 变式　(1)D　(2)　[解析] (1)在△ABC中,a=,A=60°,sin C=,由正弦定理得=,则c===1.故选D. (2) 由三角形内角和定理,可得C=180°-A-B=30°,由正弦定理得=,即=,解得c=×=. 拓展　A　[解析] 由题得A=180°-(B+C)=75°,所以B是最小角,b为最短边.由正弦定理得=,即=,可得b=,故选A. 探究点二 例2　解:∵=,∴sin C===. 又c>a,∴C>A.∵C∈(0°,135°),∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. ∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 变式　(1)A　(2)2或4 　[解析] (1)在△ABC中,由cos B=,得sin B==,又a=2,b=3,由正弦定理得=,所以sin A===,又b>a,所以A为锐角,所以A=.故选A. (2)在△ABC中,由正弦定理可得=,即=,所以sin A==,可得A=60°或120°,所以B=90°或30°.当B=90°时,b2=a2+c2=12+4=16,所以b=4;当B=30°时,b=c=2.所以b=2或4. 探究点三 例3　解:①sin B=sin A=,由题意可知A>B,A=120°,所以三角形只有一解. ②sin B=sin A=<1,由题意可知B>A,A=60°,所以B可以是锐角,也可以是钝角. 当B为锐角时,满足sin B=的角B的取值范围是60°<B<90°,满足A+B<180°; 当B为钝角时,满足sin B=的角B的取值范围是90°<B<120°,也满足A+B<180°.故三角形有两解. ③因为b>c,所以B>C.因为C=135°,所以B是钝角,所以B+C>180°,故三角形无解. 变式　(1)ABD　(2)8(答案不唯一)　[解析] (1)对于A,三角形中已知三边,则三角形唯一确定,故仅有一解,故A正确;对于B,三角形中已知两个角和第三个角的对边,则三角形唯一确定,故仅有一解,故B正确;对于C,由正弦定理得=,即=,所以sin B==,因为b>a,所以B>A,又sin B=>,所以B有两解,故C错误;对于D,三角形中已知两边及其夹角,则三角形唯一确定,故仅有一解,故D正确.故选ABD. (2)根据正弦定理,得=,即=,解得sin C=,若满足条件的△ABC有且只有一个,则csin B=b或c≤b,即b=4或b≥8,因此,b的取值范围是{4}∪[8,+∞),则b的一个值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $