6.4.3.1 余弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理1.余弦定理 【学习目标】 　　能够借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理. ◆ 知识点一　余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有 余弦 定理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方,等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  公式 表达 a2=b2+c2-2bccos A, b2=　　　　　　　　　,  c2=　　　　　　　　  推论 cos A=,cos B=,cos C= 常见 变形 b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形. (　 ) (2)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. (　 ) ◆ 知识点二　利用余弦定理解三角形 1.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边　　　　叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作　　　　　.   2.利用余弦定理主要解答如下两种求解三角形的问题: (1)已知三角形的两边和它们的夹角,求　　　　　　　　　　　　　　;   (2)已知三角形的三边,求　　　　　　　　　.   注:利用余弦定理解决此两种问题的本质是利用SAS,SSS判断三角形全等的方法,从数量化的角度进行刻画. 3.推论 在△ABC中,(1)c2=a2+b2⇔C为　　　　;  (2)c2>a2+b2⇔C为　　　　;  (3)c2<a2+b2⇔C为　　　　.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题. (　 ) (2)在△ABC中,已知a=2,b=3,c=,则sin A=. (　 ) ◆ 探究点一　已知两边和一个角解三角形　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC= (　 ) A.2 B. C. D.3 (2)[2025·浙江9+1联盟高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π,a=2,c=,则b=　　　　.  变式 (1)[2025·天津南开区高一阶段练] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=3,c=4,cos(B+C)=-,则a=　　　　.  (2)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=m,b=4,若满足条件的△ABC有两个,则m的值可以是 (　 ) A.2 B.2 C.3 D.4 [素养小结] 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出第三边,其余的角利用余弦定理的推论求出. (2)用余弦定理的推论求角时,首先求出的是这个角的余弦值,然后根据余弦函数在(0,π)上单调递减,可得余弦值对应的角是唯一的. ◆ 探究点二　已知三边解三角形 例2 (1)[教材P44练习T2] 在△ABC中,已知a=2,b=,c=+1,解这个三角形. (2)已知三角形的三边长为3,4,,求最大角. 变式 (1)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a∶b∶c=5∶6∶7,则sin C= (　 ) A. B. C. D. (2)已知锐角三角形的三边长为2,3,x,则x的取值范围是 (　 ) A.(1,5) B.(1,)C.(,) D.(,5) [素养小结] (1)已知三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角,值为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一. (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解. ◆ 探究点三　利用余弦定理判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足4c2+a2=b2,则△ABC的形状是 (　 ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 (2)[2025·天津三十二中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b2+c2-a2=bc,且2cos Bsin C=sin A,则△ABC的形状是　　　　　　.  变式 (1)在△ABC中,若·+=0,则△ABC一定是 (　 ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 (2)在△ABC中,已知a-b=ccos B-ccos A,则△ABC的形状是 (　 ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 [素养小结] 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再进行判断. (2)化角的关系:将条件中边的关系,通过余弦定理或三角恒等变换变形,得到角与角之间的关系,再进行判断. 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.余弦定理 【课前预习】 知识点一 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 c2+a2-2cacos B　a2+b2-2abcos C 诊断分析 (1)√　(2)√ 知识点二 1.a,b,c　解三角形 2.(1)三角形的第三边和其他两个角　(2)三角形的三个角 3.(1)直角　(2)钝角　(3)锐角 诊断分析 (1)√　(2)×　[解析] (1)结合余弦定理及三角函数知识可知正确. (2)cos A===,∵0°<A<180°,∴sin A==. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)　[解析] (1)在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+22-2×1×2×cos 60°=1+4-4×=3,所以AC=.故选B. (2)由题知a2=b2+c2-2bccos A=4,则b2+b-=0,所以=0,可得b=. 变式　(1)3　(2)BC　[解析] (1)由cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A=-,得cos A=,则a2=b2+c2-2bccos A=9+16-2×3×4×=9,故a=3. (2)在△ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,即m2=42+c2-2×4ccos,即c2-4c+16-m2=0.依题意,关于c的一元二次方程有两个不等的正根,所以Δ=(-4)2-4×(16-m2)=4m2-32>0,且16-m2>0,可得8<m2<16,又m>0,所以2<m<4.故选BC. 探究点二 例2　解:(1)cos A===, ∵0<A<π,∴A=. cos B===, ∵0<B<π,∴B=,∴C=π--=. (2)设最大角为α,因为大边对大角,所以cos α==-, 又因为0<α<π,所以α=. 变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)因为a∶b∶c=5∶6∶7,所以设a=5m,b=6m,c=7m,则cos C===,因为C∈(0,π),所以sin C>0,因此sin C==,故选D. (2)因为三角形的三边长为2,3,x,所以可得1<x<5.因为该三角形为锐角三角形,所以必须保证3与x所对的角都为锐角,由余弦定理得可得<x<,故选C. 探究点三 例3　(1)B　(2)等边三角形　[解析] (1) 由余弦定理得4c2+a2=b2=a2+c2-2accos B,化简得3c2+2accos B=0,故cos B=-<0,从而△ABC是钝角三角形,故选B. (2)因为b2+c2-a2=bc,所以由余弦定理可得cos A===,又A为三角形的内角,所以A=.由2cos Bsin C=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,得sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0,又B,C为三角形的内角,所以B-C=0,即B=C,所以△ABC为等边三角形. 变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,因为·+=0,所以accos(π-B)+c2=0,所以accos B=c2,所以ac×=c2,所以b2+c2=a2,所以△ABC一定是直角三角形.故选B. (2)由余弦定理得cos A=,cos B=,代入a-b=ccos B-ccos A中,得a-b=-,等式两边同乘2ab得,2a2b-2ab2=a2b+c2b-b3-ab2-ac2+a3,移项合并得a2b-ab2+(-c2b+ac2)-(a3-b3)=0,整理得ab(a-b)+c2(a-b)-(a-b)(a2+ab+b2)=0,即(a-b)(c2-a2-b2)=0,可得a=b或a2+b2=c2,则△ABC为等腰或直角三角形.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $