习题课 平面向量数量积的综合应用 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

习题课　平面向量数量积的综合应用 　　平面向量的数量积常常利用基底法、坐标法、构图法与三角形、圆或三角计算结合来解决一些范围、垂直、角度等相关问题. ◆ 探究点一　平面向量数量积与平面向量基本定理 例1 [2025·浙江台州高一阶段练] 在矩形ABCD中,点E是BC边的中点,点F在边CD上. (1)若点F是CD上靠近C的四等分点,设=λ+μ,求λ·μ的值; (2)若AB=3,BC=4,当·=1时,求DF的长. 变式 (1)如图,在△ABC中,∠CAB=,D是AB上一点,P为CD上一点,且=+,若||=,||=2,则·的值为　　　　.  (2)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1,若点M在线段BD上,求·的最小值. ◆ 探究点二　平面向量数量积与垂直、角度问题 例2 (1)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量a上的投影向量为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a B.a C.-a D.a (2)已知平面内的三个单位向量a,b,c满足a·b=,a·c=,则b·c= (　 ) A.0 B. C. D.或0 变式 若O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状一定为 (　 ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 ◆ 探究点三　平面向量数量积与三角函数的综合问题 例3 [2025·淄博实验中学高一月考] 已知平面向量a=(cos x,sin x),b=(2cos x,2cos x),f(x)=a·b-1. (1)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间; (2)当x∈时,求函数y=f(x)的最小值及此时x的值. 变式 已知向量a=(2cos θ,sin θ),b=(1,-2). (1)若a∥b,求的值; (2)若θ=90°,求向量a在向量b上的投影向量. 习题课　平面向量数量积的综合应用 例1　解:(1)易知=+, ∵点E是BC边的中点,点F是CD上靠近C的四等分点, ∴=+=+. 在矩形ABCD中,=,=-, ∴=-+, ∴λ=-,μ=,则λ·μ=-. (2)设=m(0≤m≤1),则=(m-1),=+=+,=+=(m-1)+=(m-1)+, 又·=0,∴·=·[(m-1)+]=(m-1)·+·=9(m-1)+8=1,解得m=,∴DF的长为. 变式　(1)　[解析] 因为P,C,D三点共线,且=+,所以=+,所以=,所以=+=-+,所以·==--·+,又∠BAC=,||=,||=2,所以·=-×2-××2×+×4=. (2)解:以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1, 所以A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1), 设=λ,0≤λ≤1,则=λ(-2,1),所以M(2-2λ,λ),所以=(2-2λ,λ),=(1-2λ,λ-1), 所以·=(2-2λ,λ)·(1-2λ,λ-1)=5λ2-7λ+2=5-, 故当λ=时,·取得最小值-. 例2　(1)A　(2)D　[解析] (1)如图,作=a,=b,OA⊥OB,延长OB至点C,使OB=BC,以OA,OC为邻边作矩形OCDA,则=2b,=a-2b,∠ACD即为a-2b与a的夹角,易知cos∠ACD==,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos∠ACD·=a. (2)如图,作=a,=c,=b或=b.由a·c=得cos∠COA=,又∠COA∈[0,π],所以∠COA=.当=b时,由a·b=得cos∠BOA=,又∠BOA∈[0,π],所以∠BOA=,所以∠BOC=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=;当=b时,由a·b=得cos∠DOA=,又∠DOA∈[0,π],所以∠DOA=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=0.综上,b·c=或0.故选D. 变式　D　[解析] ∵|+-2|=|-+-|=|+|,|-|=||=|-|,∴|+|=|-|,∴|+|2=,即||2+||2+2·=||2+||2-2·,故·=0,∴⊥,故△ABC为直角三角形.∵AB不一定等于AC,∴△ABC不一定为等腰直角三角形.故选D. 例3　解:(1)f(x)=a·b-1=2cos2x+2sin xcos x-1=cos 2x+sin 2x=2sin, ∵x∈[0,π],∴2x+∈, 令≤2x+≤,得0≤x≤, 令<2x+≤,得<x≤, 令<2x+≤,得<x≤π, ∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为和,单调递减区间为. (2)当x∈时,2x+∈,此时sin∈,∴f(x)=2sin∈[-1,2], ∴y=f(x)的最小值为-1, 此时2x+=,即x=. 变式　解:(1)因为向量a=(2cos θ,sin θ),b=(1,-2),a∥b, 所以sin θ=-4cos θ,所以tan θ=-4, 则==2. (2)因为θ=90°,所以a=(0,1), 则a·b=-2,所以向量a在向量b上的投影向量为|a|··=. 学科网（北京）股份有限公司 $