数学探究 用向量法研究三角形的性质 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学探究　用向量法研究三角形的性质 ◆ 一、数学探究的定义 数学探究即数学探究性课题学习,是指学生围绕某个数学问题自主探究、学习的过程.这个过程包括:观察分析数学事实、提出有意义的数学问题、数学探究猜测、探求适当的数学结论或规律、给出解释或证明. 数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过程,培养严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于提高学生的创新意识和实践能力. ◆ 二、数学探究的基本步骤 数学探究的基本步骤如下: (1)讨论探究方案,确定研究思路; (2)独自探究,撰写个人研究报告; (3)交流讨论,完善研究成果,形成共同的研究报告; (4)进行成果交流、评价. ◆ 一、数学探究实例 1.背景 在向量整章知识学习完以后,学生对于向量能解决平面几何中的计算问题已有了一定的了解,而且学生对于用向量来证明几何中的垂直和平行问题很感兴趣,有一部分学生对于几何中的证明在独立地或互相讨论地进行探索.为了帮助学生改变原有的单纯接受式的学习方式,在开展有效地学习的同时,形成一种对知识进行主动探求的积极的学习方式,在向量的复习课上让学生通过自主探究和小组合作的研究性学习方式来用向量的知识解决平面几何中的定理证明. 2.选题 运用向量的知识不但可以解决平面几何中的垂直和平行的证明和计算等问题,而且还能解决平面几何中一些定理的证明问题.先回顾初中我们学习过的一些定理,然后让每位学生独立地选择一个自己比较熟悉或感兴趣的平面几何中的定理,运用向量的知识进行证明.下面是学生确定的定理: (1)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (2)三角形的角平分线的交点叫作三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等. (3)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. (4)三角形的三条高的交点叫作三角形的垂心. (5)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. (6)三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分第三边得到的两条线段对应之比. 3.探究 用向量的方法证明三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分第三边得到的两条线段对应之比. 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线为AD,交BC于点D,求证:=. 分析　∵AD为角平分线,∴=+(λ∈R).由B,D,C三点共线得到=μ(0<μ<1),进而可以得到=(1-μ)+μ.根据平面向量基本定理可得出=,而根据=μ又可以求得=,从而证出=. 解答　证明:∵AD为角平分线,∴存在实数λ,使=λ=+①. ∵B,D,C三点共线,∴存在实数μ,使=μ(0<μ<1),∴-=μ(-), ∴=(1-μ)+μ②. 由①②及平面向量基本定理得 ∴==. ∵=μ,∴=(1-μ), ∴=,∴=,即=. 4.总结 利用向量法的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量或其坐标表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算或其坐标运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、平行、垂直等; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. ◆ 二、数学探究活动研究报告 用向量法研究三角形的性质 　　　　年级　　　　班 完成时间:　　　　　  1.本课题组的成员姓名 某某某　　某某某　　某某某 2.发现的数学结论及发现过程概述 运用向量的知识不但可以解决平面几何中的垂直和平行的证明和计算等问题,而且还能解决平面几何中一些定理的证明问题.先回顾初中我们学习过的一些定理,然后让每位学生独立地选择一个自己比较熟悉或感兴趣的平面几何中的定理,运用向量的知识进行证明. 角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分第三边得到的两条线段对应之比 3.证明思路及其形成过程描述 证明思路:先将定理用符号语言描述,再通过向量进行解答. 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线为AD,交BC于点D,求证:=. ∵AD为角平分线,∴=+(λ∈R).由B,D,C三点共线得到=μ(0<μ<1),进而可以得到=(1-μ)+μ.根据平面向量基本定理可得出=,而根据=μ又可以求得=,从而证出= 4.结论的证明或否定 证明:∵AD为角平分线,∴存在实数λ,使=λ=+①. ∵B,D,C三点共线,∴存在实数μ,使=μ(0<μ<1), ∴-=μ(-),∴=(1-μ)+μ②. 由①②及平面向量基本定理得∴==. ∵=μ,∴=(1-μ),∴=,∴=,即= 5.用向量方法探索几何图形性质的一般步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量或其坐标表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算或其坐标运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、平行、垂直等; (3)把运算结果“翻译”成几何关系 6.收获与体会 向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,因而向量方法是几何研究的一个有效的工具 1.在△ABC中,AD,BM,CN是三条边上的高,求证:AD,BM,CN相交于一点. 2.求证:三角形的一边小于另两边的和,大于另两边差的绝对值. 3.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,设BE,CF交于一点O,证明:中线AD经过点O,且AO=2OD. 数学探究　用向量法研究三角形的性质 【探究应用】 1.证明:如图,设AD,BM交于点H,则只需证明H在CN上, 因为AD⊥BC,BM⊥AC, 所以·=0,·=0,即(-)·=·-·=0①, (-)·=·-·=0②, ①-②得·-·=·=0, 所以⊥,又⊥,所以H在CN上,即AD,BM,CN相交于一点. 2.证明:在△ABC中,记=a,=b,则=a+b,a与b不共线,∴|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b<|a|2+|b|2+2|a|·|b|=(|a|+|b|)2, ∴||2<(||+||)2,从而AC<AB+BC,同理可得AB<BC+AC,BC<AB+AC. 在△ABC中,记=m,=n(m=-a,n=b), 则=m-n,∴|m-n|2=|m|2+|n|2-2m·n>|m|2+|n|2-2|m|·|n|=(|m|-|n|)2, ∴(||-||)2<||2, 从而|BA-BC|<AC,同理可得|BA-AC|<BC,|BC-AC|<AB. ∴三角形的一边小于另两边的和,大于另两边差的绝对值. 3.证明:取{,}为平面向量的一个基底. 由B,O,E三点共线,可得=x+(1-x)=x+(1-x), 由C,O,F三点共线,可得=y+(1-y)=y+(1-y), 则有解得故=+. 因为D是BC的中点,所以=+, 所以=,所以=2,即中线AD经过点O,且AO=2OD. 学科网（北京）股份有限公司 $