6.4.3.2.正弦定理第2课时　正弦定理和余弦定理的综合问题 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　正弦定理和余弦定理的综合问题 【学习目标】 　　1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系. 　　2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. 　　3.掌握正弦、余弦定理的简单应用. ◆ 探究点一　利用正余弦定理解三角形 例1 (1)[2025·福州高一期中] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=1且a(a-1)=c2-1,则C=　　　　.  (2)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,求cos C的值. 变式 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则A= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. [素养小结] 求三角形中的一些基本量,主要指求三角形的三边、三角等,它的实质是将几何问题转化为代数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题设条件合理地设计解题步骤,利用三角形内角和定理、正弦定理及余弦定理等工具进行边角关系的互化. ◆ 探究点二　利用正余弦定理判断三角形的形状 例2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 变式 (1) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2acos B,则△ABC一定是 (　 ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2,且=,则△ABC的形状是　　　　　　.  [素养小结] (1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化为边与边的关系,又可以转化为角与角的关系. (2)在边角互化过程中,注意正弦定理的变形使用,如sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径)等. ◆ 探究点三　正余弦定理的综合应用 例3 已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tan A的值. 变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos A=. (1)求B; (2)若△ABC的外接圆半径为1,且cos Acos C=-,求a+c. [素养小结] 正弦定理和余弦定理的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素. 第2课时　正弦定理和余弦定理的综合问题 【课中探究】 探究点一 例1　(1)　[解析] 因为b=1,a(a-1)=c2-1,所以a(a-b)=c2-b2,可得a2+b2-c2=ab,所以cos C===,又C∈,所以C=. (2)解:∵sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,∴由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,∴a=,c=,∴由余弦定理可得cos C===-. 变式　B　[解析] ∵(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴由正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A==,又A∈(0,π),∴A=. 探究点二 例2　解:方法一(利用角的互余关系):根据正弦定理,得==, ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角, ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1,∴sin B=. ∵0°<B<90°,∴B=45°,∴C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二(利用角的互补关系):根据正弦定理,得==, ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角. ∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形. 变式　(1)B　(2)直角三角形　[解析] (1)方法一:∵c=2acos B,∴根据正弦定理可知sin C=2sin Acos B.∵A+B+C=π,∴sin C=sin(A+B),∴sin(A+B)=2sin Acos B,∴sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,∴A=B,即△ABC一定是等腰三角形.故选B. 方法二:∵c=2acos B,∴由余弦定理得c=2a·,∴c2=a2+c2-b2,则a2=b2,∴a=b,∴△ABC一定是等腰三角形,故选B. (2)∵a2+b2-ab=c2,即a2+b2-c2=ab,∴由余弦定理得cos C===,∴sin C==.∵=,由正弦定理得=,∴==,得sin B=1,∴B=,故△ABC是直角三角形. 探究点三 例3　解:(1)∵sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C, ∴根据正弦定理可知a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得cos B===, ∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵c=3a,∴由正弦定理可知sin C=3sin A, 又B=,∴C=-A,∴sin=3sin A, 即sincos A-cossin A=3sin A, 即cos A=sin A,∴tan A=. 变式　解:(1) 因为cos A=,所以由余弦定理可得=,化简得a2+c2-b2=ac, 由余弦定理可得cos B===, 又B∈(0,π),所以B=. (2)因为B=,所以A+C=,所以cos(A+C)=-,即cos Acos C-sin Asin C=-, 又因为cos Acos C=-,所以sin Asin C=. 因为△ABC的外接圆半径R=1,由正弦定理可得===2R=2,所以sin Asin C=·,可得ac=,又b=2Rsin B=,所以由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=3,可得a+c=. 学科网（北京）股份有限公司 $