6.2 排列与组合（教材课后题 全解与加练）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）. 【答案】（1）348；（2）64 【解析】（1）； （2）. 检验：（1）； （2）. 【题型】排列数的计算 【审题关键】 第(1)题：表达式由两个不同排列数、​组成，需分别计算后再进行线性组合. 第(2)题：表达式由四个同一下标的排列数相加构成，需逐项计算后求和. 【核心方法】应用排列数公式.对复杂表达式，先分别计算每一项，再进行代数运算. 【易错警示】①混淆排列数的上标与下标，导致公式应用错误；②计算时漏乘或多乘连续项，导致结果偏差；③忽略运算顺序，错误地先进行加减运算，再计算排列数. 2.先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）455；（2）1313400；（3）；（4） 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【题型】组合数的计算 【审题关键】第（1）（2）题：直接应用组合数公式计算单个组合数；注意第 (2) 题可利用组合数性质简化计算；第 (3) 题：先分别计算两个组合数，再进行除法运算；第 (4) 题：应用组合数公式对含字母的表达式进行化简. 【核心方法】应用组合数公式：​；利用组合数性质：简化计算. 【易错警示】①混淆组合数与排列数的公式，导致计算错误；②计算时忽略阶乘的约分，导致运算繁琐或结果错误；③在含字母的化简中，错误处理阶乘的运算关系. 3.壹圆、伍圆、拾圆、珬拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 【答案】15种 【解析】由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值种. 【题型】分类加法与分步乘法计数原理的综合应用（组合计数） 【审题关键】四种人民币各1张，每种面值的纸币只有 “选” 或 “不选” 两种状态，且任意两种组合的币值都不相同.问题可转化为：从 4 个不同元素中选取 1 个、2 个、3 个或 4 个的组合数之和，排除 “都不选” 的情况. 【核心方法】应用分类加法计数原理，按选取纸币的张数（1 张、2 张、3 张、4 张）进行分类，每一类的方法数对应组合数.利用组合数性质：，简化计算. 【易错警示】①忽略 “每种纸币各 1 张” 的条件，错误地按可重复选取计算；②未排除 “不选取任何纸币” 的空集情况，导致结果偏大；③未验证不同组合的币值是否可能重复，直接套用公式，在更复杂的面值组合中可能出错. 4.填空题 （1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_________； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是_________； （3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是_________； （4）集合A有个元素，集合B有个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是__________. 【答案】（1）10；（2）60；（3）243；（4） 【解析】（1）由于选出的人没有位置差异，所以是组合问题，不同方法的种数是. （2）由于礼物互不相同，与送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法的种数是. （3）由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响， 所以是一个“可重复排列”问题，不同方法的种数是. （4）由于只是取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素.第一步，从集合A中取，有种取法；第二步，从集合B中取，有种取法.所以共有取法种. 【题型】分类加法与分步乘法计数原理、排列与组合的辨析应用 【审题关键】 (1) 从 5 人中选 3 人参观，只关注人选，不考虑顺序，属于组合问题. (2) 从 5 件礼物中选 3 件送给 3 位同学，礼物和同学均不同，顺序有影响，属于排列问题. (3) 5 名工人各自在 3 天中选 1 天休息，每名工人的选择独立，属于分步乘法计数问题. (4) 从两个集合中各取 1 个元素，需分两步完成，属于分步乘法计数问题. 【核心方法】 (1) 应用组合数公式​. (2) 应用排列数公式：). (3) 应用分步乘法计数原理：将每个独立选择的方法数相乘. (4) 应用分步乘法计数原理：将从两个集合中选取元素的方法数相乘. 【易错警示】 ① 混淆 “组合” 与 “排列”，忽略问题中是否存在顺序要求，导致公式误用. ② 混淆 “分步” 与 “分类”，将独立选择的问题错误地按分类处理，导致结果偏小. ③ 在含字母的表达式中，错误地将分步乘法理解为分类加法，导致表达式错误. 5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上. （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 【答案】（1）665280；（2）103680 【解析】（1）12本书各不相同，放法与顺序有关，是排列问题，不同放法数是. （2）先把同类的书“捆绑”，3类书排列好后，再进行同类之间的排列，故放法数为. 【题型】排列与组合的综合应用（捆绑法） 【审题关键】 (1) 从不同学科的书中选 6 本放在书架上，书的顺序有影响，属于先组合后排列的问题. (2) 全部书放在书架上且同类书不分开，需将每类书视为一个整体进行排列，再对每类内部的书进行排列，属于 “捆绑法” 的应用. 【核心方法】 (1) 先从所有书中选出 6 本（组合），再对选出的 6 本书进行全排列，应用分步乘法计数原理. (2) 应用 “捆绑法”：①将每类书视为一个整体，对这 3 个整体进行全排列；②对每类书内部的书进行全排列；③将各步的排列数相乘，得到总方法数. 【易错警示】①忽略书的排列顺序，错误地只计算组合数，导致结果偏小；②在 “捆绑法” 应用中，忘记对每类书内部的书进行排列，导致结果偏小；③混淆 “先选后排” 的顺序，错误地先排列再选择，导致逻辑颠倒. 6.（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？ （2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？ 【答案】（1）56（2）210 【解析】（1）由于“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是. （2）由于四面体由四个顶点唯一确定，且与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是. 【题型】组合计数在立体几何中的应用 【审题关键】 (1) 空间中任意 4 个点不共面，意味着任意 3 个点都不共线，因此每 3 个点唯一确定一个平面，问题等价于从 8 个点中选取 3 个点的组合数. (2) 空间中任意 4 个点不共面，意味着每 4 个点唯一确定一个四面体，问题等价于从 10 个点中选取 4 个点的组合数. 【核心方法】应用组合数公式：;利用 “不共面” 的几何条件，将几何计数问题转化为纯粹的组合问题，避免了复杂的几何分析. 【易错警示】①忽略“任何 4 个点不共面” 的关键条件，错误地考虑点共线、面共面的情况，导致计算复杂或结果错误；②混淆“组合”与“排列”，错误地使用排列数公式，导致结果偏大；③在类似问题中，若存在点共面的情况，需要用总组合数减去不满足条件的组合数，而不能直接套用本题的解法. 7.在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？ 【答案】24 【解析】由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题. 可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数为. 【题型】组合计数与分步乘法原理的综合应用 【审题关键】题目要求从 3 道题中分别选做不同数量的小题.第1题：从 4 个小题中选 3 个；第 2 题：从3个小题中选 2 个；第 3 题：从 2 个小题中选 1 个.总选法是每道题选法数的乘积，属于 “先分类，后分步” 的结构. 【核心方法】对每道题，应用组合数公式计算其选法数,应用分步乘法计数原理，将三道题的选法数相乘，得到总的不同选法数. 【易错警示】① 混淆 “分步” 与 “分类”，错误地将三道题的选法数相加，导致结果偏小；② 计算组合数时，混淆上标和下标，导致单题选法数计算错误；③ 忽略每道题的选择是独立的，错误地认为存在顺序影响，误用排列数公式. ♻【综合运用】 8.求证： （1）；（2）. 【解析】（1）； （2） 【题型】排列数与阶乘的恒等式证明 【审题关键】 (1)证明排列数的恒等式，需要利用排列数公式 对等式两边进行化简. (2)证明阶乘分式的恒等式，需要对分式进行通分、化简，利用阶乘的运算性质 (n+1)!=(n+1)⋅n!. 【核心方法】（1）排列数证明：将等式两边的排列数展开为阶乘形式，通过代数运算（提取公因式、化简）证明左右两边相等；（2）阶乘分式证明：对等式左边的分式进行通分，将转化为 ，然后合并分子，再与右边进行比较. 【易错警示】①排列数公式记忆错误，导致展开式错误，使证明无法进行；②阶乘运算性质应用错误，如错误地认为 ，导致化简错误. 9.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？ 【答案】288种 【解析】可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有种排法； 第二步，安排3个舞䠛节目，共有种排法； 第三步，安排2个曲艺节目，共有种排法. 所以不同的排法有种. 【题型】排列数的分步应用（位置固定类排列问题） 【审题关键】第 1 个和最后 1 个节目已确定，无需考虑. 4 个音乐节目固定在第 2、5、7、10 位，只需在这 4 个位置上对 4 个音乐节目进行全排列. 3 个舞蹈节目固定在第 3、6、9 位，只需在这 3 个位置上对 3 个舞蹈节目进行全排列. 2 个曲艺节目固定在第 4、8 位，只需在这 2 个位置上对 2 个曲艺节目进行全排列. 总排法是这三类节目各自排法数的乘积. 【核心方法】对每类节目，应用排列数公式计算其在固定位置上的排法数；应用分步乘法计数原理，将三类节目的排法数相乘，得到总的不同排法数. 【易错警示】①忽略 “位置已确定” 的条件，错误地将所有节目进行全排列，导致结果偏大；②混淆 “分步” 与 “分类”，错误地将三类节目的排法数相加，导致结果偏小；③计算排列数时，错误地使用组合数公式，导致结果偏小. 10.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛. （1）每个小组有多少种选法？ （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？ （3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 【答案】（1）495种（2）1980种（3）11880种 【解析】（1）选4名同学，是一个组合问题，有种； （2）先选4名同学，再从中指定1名替补，有种； （3）有顺序，是一个排列问题，有种. 【题型】组合与排列的辨析应用 【审题关键】 (1)从 12 人中选 4 人，只关注人选，不考虑顺序，属于组合问题. (2)先从 12 人中选 4 人，再从这 4 人中指定 1 名作替补，属于先组合后排列的分步问题. (3)从 12 人中选出 4 人并分别指定为第一、二、三、四辩手，顺序有影响，属于排列问题. 【核心方法】 (1) 应用组合数公式：​. (2) 应用分步乘法计数原理：先计算从 12 人中选 4 人的组合数，再乘以从 4 人中选 1 人的组合数（或排列数）. (3) 应用排列数公式：. 【易错警示】①混淆 “组合” 与 “排列”，忽略问题中是否存在顺序要求，导致公式误用. ②在第 (2) 题中，错误地将 “选 4 人再指定 1 人” 理解为 “从 12 人中选 1 人”，导致结果偏小. ③在第 (3) 题中，忽略辩手的顺序，错误地使用组合数公式，导致结果偏小. 11.一个有个数的数值方阵，最上面一行中有n个互不相同的数.能否由这n个数以不同的顺序形成其余的每一行，并使任意两行的顺序都不相同？如果一个数阵有m行，而且每行有n个互不相同的数，为使每一行都不重复，m可以取多大的值？ 【答案】 【解析】由于n个不同元素的全排列共有个，而，所以由n个不同的数可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同.为使每一行都不重复，m可以取的最大值是. 【题型】排列数的应用（全排列的最大个数） 【审题关键】数阵的每一行都是第一行 n个互不相同的数的一个排列；要求任意两行的顺序都不相同，即每一行都是一个不同的排列.问题转化为：n个不同元素的全排列有多少种，行数 m 的最大值就等于全排列的个数. 【核心方法】应用全排列的概念：n 个不同元素的所有不同排列的个数为 n!，因此，行数m的最大值等于n个元素的全排列数. 【易错警示】①忽略 “其余行都由这 n 个数以不同的顺序组成” 的条件，错误地认为行数可以无限大；②混淆 “排列” 与 “组合” 的概念，错误地使用组合数公式计算最大行数；③在类似问题中，若元素有重复，则最大行数会小于 n!，需注意区分. 12.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ 【答案】（1）360个 （2）1440个 【解析】（1）先取元素后排列，分取“0”与不取“0”两类，分类完成. 第一类，取“0”，5个数字的取法共有种，排列时0不能在首位，有种排法，其他4个数字有种排法，共有个； 第二类，不取“0”，5个数字的取法共有种，5个数字随便排，有种排法，共有个. （2）由题意知，百万位只能是5或6，其余数位可任意排，故可组成个没有重复数字，且比5000000大的正整数. 【题型】排列组合的综合应用（含特殊元素与特殊位置） 【审题关键】 (1) 从两组数字中分别选取数字组成五位数，核心限制是五位数的首位不能为 0.需分 “选出的 3 个偶数中含 0” 和 “不含 0” 两种情况讨论. (2) 用 0-6 组成比 5 000 000 大的无重复数字正整数，核心限制是首位必须是 5 或 6，且数字不重复.需按位数（7 位、8 位）和首位数字分类讨论. 【核心方法】 (1) 应用 “先选后排” 的策略：先从两组数字中按要求选出数字；再对选出的数字进行排列，同时使用 “特殊位置优先法” 处理首位不能为 0 的限制；应用分类加法计数原理，将两种情况的结果相加. (2) 应用 “分类讨论” 和 “分步乘法” 的策略：按位数（7 位、8 位）和首位数字（5、6）进行分类；对每一类，先确定首位，再对剩余数字进行全排列；应用分类加法计数原理，将所有类别的结果相加. 【易错警示】 ① 忽略 “首位不能为 0” 的关键限制，直接对所有选出的数字进行全排列，导致结果偏大. ② 在第 (1) 题中，未对 “是否选出 0” 进行分类讨论，导致漏算或多算情况. ③ 在第 (2) 题中，未对 “位数” 和 “首位数字” 进行全面分类，导致漏算情况. 13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】（1）60种（2）21种（3）91种（4）120种 【解析】由于选出的人的位置没有差㫒，所以是组合问题. （1）有种选法. （2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有种选法. （3）用直接法，则可分为3类：只含男甲，只含女乙，同时含男甲、女乙，得到符合条件的选法数为. （4）用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为. 【题型】组合计数的综合应用（含特殊元素与限制条件） 【审题关键】 (1) 从 5 男 4 女中选 4 人，要求男、女各 2 人，属于独立的组合选择问题. (2) 男生甲和女生乙必须在内，只需从剩余的人中选出补足名额. (3) 甲和乙至少有 1 人在内，可采用 “间接法”，用总选法减去甲、乙都不在内的选法. (4) 4 人中必须既有男生又有女生，可采用 “间接法”，用总选法减去全是男生和全是女生的选法. 【核心方法】 (1) 应用分步乘法计数原理：分别计算从男生中选 2 人和从女生中选 2 人的组合数，再将它们相乘. (2) 应用组合数公式：甲和乙已确定，只需从剩余的 7 人中选出 2 人. (3) 应用 “间接法”（补集思想）：总选法数为​，减去甲、乙都不在内的选法数​. (4) 应用 “间接法”（补集思想）：总选法数为，减去全是男生的选法数 和全是女生的选法数 . 【易错警示】① 在 (3)、(4) 中，直接使用 “分类讨论” 时，容易出现重复计数或漏算的情况，“间接法” 是更简洁可靠的选择.②混淆 “至少有 1 人” 和 “恰好有 1 人” 的概念，导致分类错误. ③计算组合数时，混淆上标和下标，导致结果错误. 14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 【答案】（1）63种（2）31种 【解析】（1）按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人没 有顺序差异，所以不同的去法有种. （2）甲、乙都去：有种；甲、乙都不去：有种. 共有种. 【题型】组合计数的综合应用（含 “至少” 与 “捆绑” 限制） 【审题关键】 (1)6名同学每人有 “去” 或 “不去” 两种选择，核心限制是 “必须有人去”，需排除 “全不去” 的情况. (2)甲、乙要么都去、要么都不去，需将两人视为一个整体，分“甲乙都去”“甲乙都不去” 两类讨论. 【核心方法】 (1) 应用集合子集性质：n 个元素的子集总数为，减去空集（全不去），即总去法为. (2) 应用分类加法计数原理：甲乙都去：只需从剩余 4 人中选任意人数（包括 0 人），共种；甲乙都不去：只需从剩余 4 人中选任意人数（包括 0 人），共种；总去法为两类结果相加. 【易错警示】① 第 (1) 题忽略“必须有人去”的限制，直接计算，导致多算“全不去”的情况. ②第(2)题错误将“选任意人数” 理解为“至少选 1人”，额外减1，导致结果偏小. ③分类讨论时遗漏 “甲乙都去且其余人都不去”“甲乙都不去且其余人都不去” 的情况. 15.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验. （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）种（2）种（3）种（4）种 【解析】（1）有种； （2）有种； （3）有种； （4）有种. 【题型】组合计数的综合应用（产品抽样问题） 【审题关键】总产品 100 件，其中次品 3 件、合格品 97 件，抽取 5 件，核心是按次品数量对抽取情况分类，再分步选取. (1) 全为合格品：次品选 0 件，合格品选 5 件. (2) 恰好 2 件次品：次品选 2 件，合格品选 3 件. (3) 至少 2 件次品：包含 “恰好 2 件次品” 和 “恰好 3 件次品” 两类. (4) 至多 2 件次品：包含 “0 件次品”“1 件次品”“2 件次品” 三类，或用总抽法减 “恰好 3 件次品” 的抽法. 【核心方法】 分步乘法计数原理：分别计算次品、合格品的选取组合数，再相乘；分类加法计数原理：将满足条件的不同次品数量对应的抽法数相加；补集思想：“至多 2 件次品” 可通过总抽法 减去 “恰好 3 件次品” 的抽法简化计算. 【易错警示】① 混淆次品与合格品的数量，导致组合数下标错误；② “至少 2 件次品” 时遗漏 “恰好 3 件次品” 的情况，“至多 2 件次品” 时遗漏 “0 件次品”“1 件次品” 的情况；③ 计算时错误使用排列数公式，忽略抽样无顺序的本质. 🔍【拓广探索】 16.根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖. （1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？ （2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？ 【答案】（1）注彩票中可有一个一等奖（2）6个 【解析】（1）从37个数中选7个数有种方法，其中与一等奖的7个数完全相同的只有一注，即注彩票中可有一个一等奖. （2）设取x个数，则，且，解得.可在37个数中取6个. 【题型】组合计数的实际应用（彩票中奖概率问题） 【审题关键】 (1) 彩票号码从37个数中选 7 个，不计排列顺序，中一等奖的号码唯一，问题等价于计算从 37 个元素中选7个的组合数. (2) 设选取n个数，中奖概率为组合数 的倒数，需满足 2000000≤≤3000000，通过计算不同 n 值的组合数确定符合条件的 n. 【核心方法】 (1) 直接应用组合数公式 计算总号码数，该数值即为对应一个一等奖的彩票注数. (2) 采用试值法，依次计算 n 取不同整数时的，筛选出满足不等式范围的 n 值. 【易错警示】 ① 忽略 “不计排列顺序” 的条件，错误使用排列数公式计算总号码数. ② 计算组合数时出现数值错误，导致无法准确匹配概率范围. ③ 误解概率与组合数的关系，错误将概率范围直接等同于组合数范围的倒数进行计算. 17.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 【答案】180 【解析】可以按照Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的顺序着色，分别有5，4，3，3种着色方法， 所以不同的着色方法种数为. 【题型】排列计数的综合应用（地图着色问题） 【审题关键】地图有 4 个区县，分别标记为 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ. 相邻关系：Ⅰ 与 Ⅱ、Ⅲ 相邻；Ⅱ 与 Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ 相邻；Ⅲ 与 Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ 相邻；Ⅳ 与 Ⅱ、Ⅲ 相邻;核心限制：有公共边的区县颜色不同，需按相邻关系分步选择颜色. 【核心方法】应用分步乘法计数原理，按 “Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ” 的顺序着色： Ⅰ 区：5 种颜色可选；Ⅱ 区：与 Ⅰ 相邻，有 4 种颜色可选；Ⅲ 区：与 Ⅰ、Ⅱ 相邻，有 3 种颜色可选；Ⅳ 区：与 Ⅱ、Ⅲ 相邻，有 3 种颜色可选.总着色方法数为各步选择数的乘积. 【易错警示】①错误判断相邻关系，导致某一步可选颜色数计算错误；②忽略 “有公共边不能同色” 的限制，直接计算 5⁴，导致结果偏大；③着色顺序选择不当，导致分类讨论复杂，易出现重复或遗漏. 18.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 【答案】84种 【解析】除发信息的人以外，该“群”里还有9人，其中与发信息这人是“好友”关系的有3人，故“好友”关系的情况共有种. 【题型】组合计数的综合应用（逻辑推理与组合数计算） 【审题关键】群内共 10 人，除去发信息者本人，剩余 9 人.能看到信息的 3 人，必然是发信息者的 “好友”.不能看到信息的 6 人，必然不是发信息者的 “好友”.问题转化为：从 9 人中选出 3 人作为好友，有多少种选法. 【核心方法】应用组合数公式：从 9 个不同的人中选出 3 个，选法数为. 【易错警示】①忽略发信息者本人，错误地从 10 人中进行选择；②混淆 “能看到” 和 “是好友” 的逻辑关系，导致对问题的转化错误.③计算组合数时，错误使用排列数公式，忽略选择好友不考虑顺序的本质. 19.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 【答案】54种 【解析】由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有种可能； 乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一个，有种可能； 上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有种排法. 所以5人的名次排列可能有多少3×3×6=54种不同情况 【题型】排列计数的综合应用（带限制条件的名次排列） 【审题关键】5 人排列，核心限制：甲和乙都不是冠军（第 1 名）.乙不是最后一名（第 5 名）. 可按 “冠军→乙→剩余 3 人” 的顺序分步分析，或用分类讨论法（按乙的名次）. 【核心方法】分步乘法计数原理： 冠军：从丙、丁、戊 3 人中选 1 人，有 3 种排法. 乙：不能是第 1、5 名，从剩余 3 个位置中选 1 个，有 3 种排法. 剩余 3 人：在剩下的 3 个位置全排列，有 6 种排法. 总排法数为各步选择数的乘积：3×3×6. 【易错警示】① 忽略 “乙不是最后一名” 的限制，直接计算 3×4×3×2×1，导致结果偏大；②分类讨论时遗漏乙的某些名次，或重复计算某些情况；③错误地将甲的限制条件与乙的限制条件混淆，导致分步顺序混乱. ---------------------【高考真题·赏析】---------------------- 1.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 【答案】D 【解析】由题意,初中部和高中部学生人数之比为=,所以抽取的60名学生中初中部应有60×=40(人),高中部应有60×=20(人),所以不同的抽样结果共有·种. 故选D. 2.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 【答案】C 【解析】甲、乙二人先选1种相同的课外读物,有=6(种)情况,再从剩下的5种课外读物中各自选1种不同的读物,有=20(种)情况,由分步乘法计数原理可得共有6×20=120(种)选法. 故选C. 3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 【答案】C 【解析】根据题设中的要求,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,可分两步进行安排:第一步,将5名志愿者分成4组,其中1组2人,其余每组1人,共有种分法;第二步:将分好的4组安排到4个项目中,有种安排方法.故满足题意的分配方案共有·=240(种). 故选C. 4.(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 【答案】C 【解析】先从6名同学中选1名安排到甲场馆,有种选法,再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆,有种选法,最后将剩下的3名同学安排到丙场馆,有种选法,由分步乘法计数原理知,共有··=60(种)不同的安排方法 故选C. 5.(2020·新高考Ⅱ卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.8种 【答案】C 【解析】先将3名大学生分成2组有·种分法,再分配到2个村有种分法,则不同的分配方案共有··=6种. 故选C. 6.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 【答案】B 【解析】先从5人选择1人两天均参加公益活动,有种方式; 再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日,有种安排方式. 所以不同的安排方式共有·=60(种). 故选B. 7.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【答案】B 【解析】先将丙和丁捆在一起有种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有种排列方式,最后将甲插入中间两空,有种排列方式,所以不同的排列方式共有=24(种). 故选B. 8.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.  【答案】36 【解析】将4名同学分成人数为2,1,1的3组有=6种分法,再将3组同学分到3个小区共有=6种分法,由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6=36种. 9.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  【答案】64 【解析】法一　由题意,可分三类: 第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有种方案; 第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有种方案; 第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有种方案. 综上,不同的选课方案共有++=64(种). 法二　若学生从这8门课中选修2门课,则有--=16(种)选课方案; 若学生从这8门课中选修3门课,则有--=48(种)选课方案. 综上,不同的选课方案共有16+48=64(种). ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.若，则正整数( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】因为，所以，解得. 故选B. 2.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，则不同排法的种数为( ) A.360 B.720 C.2160 D.4320 【答案】B 【解析】法一：分两步完成.第一步，从6人中选3人排前排有种不同排法；第二步，剩下的3人排后排有种不同排法.按照分步乘法计数原理，知有种不同排法，故选B. 法二：6名成员合影，每个人都可以站前排也可站后排，所以相当于6个人的全排列，即有种不同排法.故选B. 3.下列各式中与排列数相等的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，A，B错误. ，C错误. . 故选D. 4.为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为( ) A.120 B.360 C.180 D.90 【答案】A 【解析】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位， 共种排列顺序，所以满足题意的排列顺序种数为. 故选A. 5.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到2所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( ) A.35 B.40 C.50 D.70 【答案】C 【解析】将6名学生分成两组，每组不少于2人的分组中，可分成一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为. 故选C. 6.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动.根据需要，要安排这4名同学去甲、乙2个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有( ) A.20种 B.14种 C.12种 D.10种 【答案】B 【解析】先将4名同学分为两组，则两组人数可能为1，3或2，2.当两组人数为1，3时，有（种）方法，当两组人数为2，2时，有（种）方法，所以将这4名同学分为两组，共有（种）方法，再将这两组同学分配到2个文明实践站，有（种）方法，所以根据分步乘法计数原理，得共有（种）不同的安排方法. 故选B. 7.某景区新开通了A，B，C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则不同的体验方法共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.30种 【答案】C 【解析】若乙、丙、丁3人体验的项目各不相同，则有（种）体验方法； 若乙、丙、丁3人有2人体验的项目相同，则有（种）体验方法.所以不同的体验方法共有24种. 故选C. 8.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为( ) A.484 B.472 C.252 D.232 【答案】B 【解析】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有（种）. 故选B. 二、多选题 9.下列排列组合数中，计算正确的是( ) A. B. C.（，） D.（，，） 【答案】BCD 【解析】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，由于，故C正确； D选项，左边， 右边，即左边=右边，所以（，，），故D正确. 故选BCD. 10.下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人的排列方法，正确的有( ) A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种 B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法 C.个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有6种 D.甲不在排头的站法有96种 【答案】ACD 【解析】A选项中有种；由于甲、乙、丙互不相邻，先将3人排列，有种方法，再插空有2个空，共有种种，故B错误；个子最高的人在中间，则确定了中间位置的人，还剩下4人，从4人中随便选2人列一边，又因为从中间向两边看身高依次降低，则选出的2人的位置只有一种站法，即种，C正确；因为甲不在排头，则假设甲在排头，故有种排法，故甲不在排头的站法有（种），故D正确. 故选ACD. 11.某校共有东门、西门、北门三道校门，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列说法正确的是( ) A.若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法 B.若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法 C.若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法 D.若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法 【答案】ABD 【解析】甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去东门、西门、北门三道校门协助保安值守. 选项A，若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有种不同的安排方法.A正确. 选项B，若恰有一道门没有教师志愿者去，则可以先把4名教师分成2组，再分配给东门、西门、北门三道校门，则共有（种）不同的安排方法.B正确. 选项C，若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则北门可以安排1名教师或安排2名教师，则共有（种）不同的安排方法.C错误. 选项D，若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则先分配给三道校门各2把，还剩14把，将14把额温枪排成一排，在中间13个空位中置入2个挡板，共有（种）分配方法.D正确. 故选ABD. 三、填空题 12.若，则____________. 【答案】2 【解析】由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或. 故答案为2. 13.某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有______. 【答案】28 【解析】依题意，9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，所以9个人中，只会打篮球的有3人，只会踢足球的有4人，两项运动都会的有2人.从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛.①从两项运动都会的人中选2人：方法数有.②从两项运动都会的人中选1人：方法数有.③从两项运动都会的人中选0人：方法数有.所以不同的选派方案有（种）. 故答案为28. 14.某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每个数字都可以是0~9这十个数字中的一个），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5，则该密码可能的情况数为__________. 【答案】120 【解析】由题意知，前两个数字可以从7，8，9中任取2个排列，有种排列方法，后两个数字可以从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个排列，有种排列方法.由分步乘法计数原理可知，该密码可能的情况数为. 故答案为120. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 排列与组合（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）. 【题型】排列数的计算 【审题关键】 第(1)题：表达式由两个不同排列数、​组成，需分别计算后再进行线性组合. 第(2)题：表达式由四个同一下标的排列数相加构成，需逐项计算后求和. 【核心方法】应用排列数公式.对复杂表达式，先分别计算每一项，再进行代数运算. 【易错警示】①混淆排列数的上标与下标，导致公式应用错误；②计算时漏乘或多乘连续项，导致结果偏差；③忽略运算顺序，错误地先进行加减运算，再计算排列数. 2.先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）. 【题型】组合数的计算 【审题关键】第（1）（2）题：直接应用组合数公式计算单个组合数；注意第 (2) 题可利用组合数性质简化计算；第 (3) 题：先分别计算两个组合数，再进行除法运算；第 (4) 题：应用组合数公式对含字母的表达式进行化简. 【核心方法】应用组合数公式：​；利用组合数性质：简化计算. 【易错警示】①混淆组合数与排列数的公式，导致计算错误；②计算时忽略阶乘的约分，导致运算繁琐或结果错误；③在含字母的化简中，错误处理阶乘的运算关系. 3.壹圆、伍圆、拾圆、珬拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 【题型】分类加法与分步乘法计数原理的综合应用（组合计数） 【审题关键】四种人民币各1张，每种面值的纸币只有 “选” 或 “不选” 两种状态，且任意两种组合的币值都不相同.问题可转化为：从 4 个不同元素中选取 1 个、2 个、3 个或 4 个的组合数之和，排除 “都不选” 的情况. 【核心方法】应用分类加法计数原理，按选取纸币的张数（1 张、2 张、3 张、4 张）进行分类，每一类的方法数对应组合数.利用组合数性质：，简化计算. 【易错警示】①忽略 “每种纸币各 1 张” 的条件，错误地按可重复选取计算；②未排除 “不选取任何纸币” 的空集情况，导致结果偏大；③未验证不同组合的币值是否可能重复，直接套用公式，在更复杂的面值组合中可能出错. 4.填空题 （1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_________； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是_________； （3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是_________； （4）集合A有个元素，集合B有个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是__________. 【题型】分类加法与分步乘法计数原理、排列与组合的辨析应用 【审题关键】 (1) 从 5 人中选 3 人参观，只关注人选，不考虑顺序，属于组合问题. (2) 从 5 件礼物中选 3 件送给 3 位同学，礼物和同学均不同，顺序有影响，属于排列问题. (3) 5 名工人各自在 3 天中选 1 天休息，每名工人的选择独立，属于分步乘法计数问题. (4) 从两个集合中各取 1 个元素，需分两步完成，属于分步乘法计数问题. 【核心方法】(1) 应用组合数公式​. (2) 应用排列数公式：). (3) 应用分步乘法计数原理：将每个独立选择的方法数相乘. (4) 应用分步乘法计数原理：将从两个集合中选取元素的方法数相乘. 【易错警示】① 混淆 “组合” 与 “排列”，忽略问题中是否存在顺序要求，导致公式误用. ② 混淆 “分步” 与 “分类”，将独立选择的问题错误地按分类处理，导致结果偏小. ③ 在含字母的表达式中，错误地将分步乘法理解为分类加法，导致表达式错误. 5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上. （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 【题型】排列与组合的综合应用（捆绑法） 【审题关键】 (1) 从不同学科的书中选 6 本放在书架上，书的顺序有影响，属于先组合后排列的问题. (2) 全部书放在书架上且同类书不分开，需将每类书视为一个整体进行排列，再对每类内部的书进行排列，属于 “捆绑法” 的应用. 【核心方法】 (1) 先从所有书中选出 6 本（组合），再对选出的 6 本书进行全排列，应用分步乘法计数原理. (2) 应用 “捆绑法”：①将每类书视为一个整体，对这 3 个整体进行全排列；②对每类书内部的书进行全排列；③将各步的排列数相乘，得到总方法数. 【易错警示】①忽略书的排列顺序，错误地只计算组合数，导致结果偏小；②在 “捆绑法” 应用中，忘记对每类书内部的书进行排列，导致结果偏小；③混淆 “先选后排” 的顺序，错误地先排列再选择，导致逻辑颠倒. 6.（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？ （2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？ 【题型】组合计数在立体几何中的应用 【审题关键】(1) 空间中任意 4 个点不共面，意味着任意 3 个点都不共线，因此每 3 个点唯一确定一个平面，问题等价于从 8 个点中选取 3 个点的组合数. (2) 空间中任意 4 个点不共面，意味着每 4 个点唯一确定一个四面体，问题等价于从 10 个点中选取 4 个点的组合数. 【核心方法】应用组合数公式：;利用 “不共面” 的几何条件，将几何计数问题转化为纯粹的组合问题，避免了复杂的几何分析. 【易错警示】①忽略“任何 4 个点不共面” 的关键条件，错误地考虑点共线、面共面的情况，导致计算复杂或结果错误；②混淆“组合”与“排列”，错误地使用排列数公式，导致结果偏大；③在类似问题中，若存在点共面的情况，需要用总组合数减去不满足条件的组合数，而不能直接套用本题的解法. 7.在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？ 【题型】组合计数与分步乘法原理的综合应用 【审题关键】题目要求从 3 道题中分别选做不同数量的小题.第1题：从 4 个小题中选 3 个；第 2 题：从3个小题中选 2 个；第 3 题：从 2 个小题中选 1 个.总选法是每道题选法数的乘积，属于 “先分类，后分步” 的结构. 【核心方法】对每道题，应用组合数公式计算其选法数,应用分步乘法计数原理，将三道题的选法数相乘，得到总的不同选法数. 【易错警示】① 混淆 “分步” 与 “分类”，错误地将三道题的选法数相加，导致结果偏小；② 计算组合数时，混淆上标和下标，导致单题选法数计算错误；③ 忽略每道题的选择是独立的，错误地认为存在顺序影响，误用排列数公式. ♻【综合运用】 8.求证： （1）； （2）. 【题型】排列数与阶乘的恒等式证明 【审题关键】 (1)证明排列数的恒等式，需要利用排列数公式 对等式两边进行化简. (2)证明阶乘分式的恒等式，需要对分式进行通分、化简，利用阶乘的运算性质 (n+1)!=(n+1)⋅n!. 【核心方法】（1）排列数证明：将等式两边的排列数展开为阶乘形式，通过代数运算（提取公因式、化简）证明左右两边相等；（2）阶乘分式证明：对等式左边的分式进行通分，将转化为 ，然后合并分子，再与右边进行比较. 【易错警示】①排列数公式记忆错误，导致展开式错误，使证明无法进行；②阶乘运算性质应用错误，如错误地认为 ，导致化简错误. 9.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？ 【题型】排列数的分步应用（位置固定类排列问题） 【审题关键】第 1 个和最后 1 个节目已确定，无需考虑. 4 个音乐节目固定在第 2、5、7、10 位，只需在这 4 个位置上对 4 个音乐节目进行全排列. 3 个舞蹈节目固定在第 3、6、9 位，只需在这 3 个位置上对 3 个舞蹈节目进行全排列. 2 个曲艺节目固定在第 4、8 位，只需在这 2 个位置上对 2 个曲艺节目进行全排列. 总排法是这三类节目各自排法数的乘积. 【核心方法】对每类节目，应用排列数公式计算其在固定位置上的排法数；应用分步乘法计数原理，将三类节目的排法数相乘，得到总的不同排法数. 【易错警示】①忽略 “位置已确定” 的条件，错误地将所有节目进行全排列，导致结果偏大；②混淆 “分步” 与 “分类”，错误地将三类节目的排法数相加，导致结果偏小；③计算排列数时，错误地使用组合数公式，导致结果偏小. 10.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛. （1）每个小组有多少种选法？ （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？ （3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 【题型】组合与排列的辨析应用 【审题关键】 (1)从 12 人中选 4 人，只关注人选，不考虑顺序，属于组合问题. (2)先从 12 人中选 4 人，再从这 4 人中指定 1 名作替补，属于先组合后排列的分步问题. (3)从 12 人中选出 4 人并分别指定为第一、二、三、四辩手，顺序有影响，属于排列问题. 【核心方法】 (1) 应用组合数公式：​. (2) 应用分步乘法计数原理：先计算从 12 人中选 4 人的组合数，再乘以从 4 人中选 1 人的组合数（或排列数）. (3) 应用排列数公式：. 【易错警示】①混淆 “组合” 与 “排列”，忽略问题中是否存在顺序要求，导致公式误用. ②在第 (2) 题中，错误地将 “选 4 人再指定 1 人” 理解为 “从 12 人中选 1 人”，导致结果偏小. ③在第 (3) 题中，忽略辩手的顺序，错误地使用组合数公式，导致结果偏小. 11.一个有个数的数值方阵，最上面一行中有n个互不相同的数.能否由这n个数以不同的顺序形成其余的每一行，并使任意两行的顺序都不相同？如果一个数阵有m行，而且每行有n个互不相同的数，为使每一行都不重复，m可以取多大的值？ 【题型】排列数的应用（全排列的最大个数） 【审题关键】数阵的每一行都是第一行 n个互不相同的数的一个排列；要求任意两行的顺序都不相同，即每一行都是一个不同的排列.问题转化为：n个不同元素的全排列有多少种，行数 m 的最大值就等于全排列的个数. 【核心方法】应用全排列的概念：n 个不同元素的所有不同排列的个数为 n!，因此，行数m的最大值等于n个元素的全排列数. 【易错警示】①忽略 “其余行都由这 n 个数以不同的顺序组成” 的条件，错误地认为行数可以无限大；②混淆 “排列” 与 “组合” 的概念，错误地使用组合数公式计算最大行数；③在类似问题中，若元素有重复，则最大行数会小于 n!，需注意区分. 12.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ 【题型】排列组合的综合应用（含特殊元素与特殊位置） 【审题关键】 (1) 从两组数字中分别选取数字组成五位数，核心限制是五位数的首位不能为 0.需分 “选出的 3 个偶数中含 0” 和 “不含 0” 两种情况讨论. (2) 用 0-6 组成比 5 000 000 大的无重复数字正整数，核心限制是首位必须是 5 或 6，且数字不重复.需按位数（7 位、8 位）和首位数字分类讨论. 【核心方法】 (1) 应用 “先选后排” 的策略：先从两组数字中按要求选出数字；再对选出的数字进行排列，同时使用 “特殊位置优先法” 处理首位不能为 0 的限制；应用分类加法计数原理，将两种情况的结果相加. (2) 应用 “分类讨论” 和 “分步乘法” 的策略：按位数（7 位、8 位）和首位数字（5、6）进行分类；对每一类，先确定首位，再对剩余数字进行全排列；应用分类加法计数原理，将所有类别的结果相加. 【易错警示】 ① 忽略 “首位不能为 0” 的关键限制，直接对所有选出的数字进行全排列，导致结果偏大. ② 在第 (1) 题中，未对 “是否选出 0” 进行分类讨论，导致漏算或多算情况. ③ 在第 (2) 题中，未对 “位数” 和 “首位数字” 进行全面分类，导致漏算情况. 13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【题型】组合计数的综合应用（含特殊元素与限制条件） 【审题关键】 (1) 从 5 男 4 女中选 4 人，要求男、女各 2 人，属于独立的组合选择问题. (2) 男生甲和女生乙必须在内，只需从剩余的人中选出补足名额. (3) 甲和乙至少有 1 人在内，可采用 “间接法”，用总选法减去甲、乙都不在内的选法. (4) 4 人中必须既有男生又有女生，可采用 “间接法”，用总选法减去全是男生和全是女生的选法. 【核心方法】 (1) 应用分步乘法计数原理：分别计算从男生中选 2 人和从女生中选 2 人的组合数，再将它们相乘. (2) 应用组合数公式：甲和乙已确定，只需从剩余的 7 人中选出 2 人. (3) 应用 “间接法”（补集思想）：总选法数为​，减去甲、乙都不在内的选法数​. (4) 应用 “间接法”（补集思想）：总选法数为，减去全是男生的选法数 和全是女生的选法数 . 【易错警示】① 在 (3)、(4) 中，直接使用 “分类讨论” 时，容易出现重复计数或漏算的情况，“间接法” 是更简洁可靠的选择.②混淆 “至少有 1 人” 和 “恰好有 1 人” 的概念，导致分类错误. ③计算组合数时，混淆上标和下标，导致结果错误. 14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 【题型】组合计数的综合应用（含 “至少” 与 “捆绑” 限制） 【审题关键】 (1)6名同学每人有 “去” 或 “不去” 两种选择，核心限制是 “必须有人去”，需排除 “全不去” 的情况. (2)甲、乙要么都去、要么都不去，需将两人视为一个整体，分“甲乙都去”“甲乙都不去” 两类讨论. 【核心方法】 (1) 应用集合子集性质：n 个元素的子集总数为，减去空集（全不去），即总去法为. (2) 应用分类加法计数原理：甲乙都去：只需从剩余 4 人中选任意人数（包括 0 人），共种；甲乙都不去：只需从剩余 4 人中选任意人数（包括 0 人），共种；总去法为两类结果相加. 【易错警示】① 第 (1) 题忽略“必须有人去”的限制，直接计算，导致多算“全不去”的情况. ②第(2)题错误将“选任意人数” 理解为“至少选 1人”，额外减1，导致结果偏小. ③分类讨论时遗漏 “甲乙都去且其余人都不去”“甲乙都不去且其余人都不去” 的情况. 15.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验. （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【题型】组合计数的综合应用（产品抽样问题） 【审题关键】总产品 100 件，其中次品 3 件、合格品 97 件，抽取 5 件，核心是按次品数量对抽取情况分类，再分步选取. (1) 全为合格品：次品选 0 件，合格品选 5 件. (2) 恰好 2 件次品：次品选 2 件，合格品选 3 件. (3) 至少 2 件次品：包含 “恰好 2 件次品” 和 “恰好 3 件次品” 两类. (4) 至多 2 件次品：包含 “0 件次品”“1 件次品”“2 件次品” 三类，或用总抽法减 “恰好 3 件次品” 的抽法. 【核心方法】 分步乘法计数原理：分别计算次品、合格品的选取组合数，再相乘；分类加法计数原理：将满足条件的不同次品数量对应的抽法数相加；补集思想：“至多 2 件次品” 可通过总抽法 减去 “恰好 3 件次品” 的抽法简化计算. 【易错警示】① 混淆次品与合格品的数量，导致组合数下标错误；② “至少 2 件次品” 时遗漏 “恰好 3 件次品” 的情况，“至多 2 件次品” 时遗漏 “0 件次品”“1 件次品” 的情况；③ 计算时错误使用排列数公式，忽略抽样无顺序的本质. 🔍【拓广探索】 16.根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖. （1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？ （2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？ 【题型】组合计数的实际应用（彩票中奖概率问题） 【审题关键】 (1) 彩票号码从37个数中选 7 个，不计排列顺序，中一等奖的号码唯一，问题等价于计算从 37 个元素中选7个的组合数. (2) 设选取n个数，中奖概率为组合数 的倒数，需满足 2000000≤≤3000000，通过计算不同 n 值的组合数确定符合条件的 n. 【核心方法】 (1) 直接应用组合数公式 计算总号码数，该数值即为对应一个一等奖的彩票注数. (2) 采用试值法，依次计算 n 取不同整数时的，筛选出满足不等式范围的 n 值. 【易错警示】 ① 忽略 “不计排列顺序” 的条件，错误使用排列数公式计算总号码数. ② 计算组合数时出现数值错误，导致无法准确匹配概率范围. ③ 误解概率与组合数的关系，错误将概率范围直接等同于组合数范围的倒数进行计算. 17.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 【题型】排列计数的综合应用（地图着色问题） 【审题关键】地图有 4 个区县，分别标记为 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ. 相邻关系：Ⅰ 与 Ⅱ、Ⅲ 相邻；Ⅱ 与 Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ 相邻；Ⅲ 与 Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ 相邻；Ⅳ 与 Ⅱ、Ⅲ 相邻;核心限制：有公共边的区县颜色不同，需按相邻关系分步选择颜色. 【核心方法】应用分步乘法计数原理，按 “Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ” 的顺序着色： Ⅰ 区：5 种颜色可选；Ⅱ 区：与 Ⅰ 相邻，有 4 种颜色可选；Ⅲ 区：与 Ⅰ、Ⅱ 相邻，有 3 种颜色可选；Ⅳ 区：与 Ⅱ、Ⅲ 相邻，有 3 种颜色可选.总着色方法数为各步选择数的乘积. 【易错警示】①错误判断相邻关系，导致某一步可选颜色数计算错误；②忽略 “有公共边不能同色” 的限制，直接计算 5⁴，导致结果偏大；③着色顺序选择不当，导致分类讨论复杂，易出现重复或遗漏. 18.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 【题型】组合计数的综合应用（逻辑推理与组合数计算） 【审题关键】群内共 10 人，除去发信息者本人，剩余 9 人.能看到信息的 3 人，必然是发信息者的 “好友”.不能看到信息的 6 人，必然不是发信息者的 “好友”.问题转化为：从 9 人中选出 3 人作为好友，有多少种选法. 【核心方法】应用组合数公式：从 9 个不同的人中选出 3 个，选法数为. 【易错警示】①忽略发信息者本人，错误地从 10 人中进行选择；②混淆 “能看到” 和 “是好友” 的逻辑关系，导致对问题的转化错误.③计算组合数时，错误使用排列数公式，忽略选择好友不考虑顺序的本质. 19.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 【题型】排列计数的综合应用（带限制条件的名次排列） 【审题关键】5 人排列，核心限制：甲和乙都不是冠军（第 1 名）.乙不是最后一名（第 5 名）. 可按 “冠军→乙→剩余 3 人” 的顺序分步分析，或用分类讨论法（按乙的名次）. 【核心方法】分步乘法计数原理： 冠军：从丙、丁、戊 3 人中选 1 人，有 3 种排法. 乙：不能是第 1、5 名，从剩余 3 个位置中选 1 个，有 3 种排法. 剩余 3 人：在剩下的 3 个位置全排列，有 6 种排法. 总排法数为各步选择数的乘积：3×3×6. 【易错警示】① 忽略 “乙不是最后一名” 的限制，直接计算 3×4×3×2×1，导致结果偏大；②分类讨论时遗漏乙的某些名次，或重复计算某些情况；③错误地将甲的限制条件与乙的限制条件混淆，导致分步顺序混乱. ---------------------【高考真题·赏析】---------------------- 1.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 2.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 4.(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 5.(2020·新高考Ⅱ卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.8种 6.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 7.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 8.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.  9.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.若，则正整数( ) A.7 B.8 C.9 D.10 2.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，则不同排法的种数为( ) A.360 B.720 C.2160 D.4320 3.下列各式中与排列数相等的是( ) A. B. C. D. 4.为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为( ) A.120 B.360 C.180 D.90 5.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到2所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( ) A.35 B.40 C.50 D.70 6.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动.根据需要，要安排这4名同学去甲、乙2个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有( ) A.20种 B.14种 C.12种 D.10种 7.某景区新开通了A，B，C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则不同的体验方法共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.30种 8.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为( ) A.484 B.472 C.252 D.232 二、多选题 9.下列排列组合数中，计算正确的是( ) A. B. C.（，） D.（，，） 10.下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人的排列方法，正确的有( ) A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种 B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法 C.个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有6种 D.甲不在排头的站法有96种 11.某校共有东门、西门、北门三道校门，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列说法正确的是( ) A.若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法 B.若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法 C.若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法 D.若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法 三、填空题 12.若，则____________. 13.某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有______. 14.某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每个数字都可以是0~9这十个数字中的一个），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5，则该密码可能的情况数为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $