第五章 一元函数的导数及其应用（复习课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

单元复习课件 第五章 一元函数的导数及其应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过实际背景和典型实例，回顾由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想。介绍基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，进一步感悟极限思想。 3.利用导数求简单函数的单调区间，用导数求函数的极值与最值，函数的单调性、极值与最值的综合应用. 2. 导数的概念、利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数和简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间． 单元学习目标 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大(小)值 单元知识图谱 一、导数的概念及其意义 （一）变化率问题 1.平均速度与瞬时速度的关系： (1) 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 (2) 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （一）变化率问题 2.割线斜率与切线斜率的关系： (2)切线的斜率： 点P0(x0, f (x0))与P(x0x, f (x0x))两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f (x0))处的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T (1)割线的斜率： 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （一）变化率问题 3.瞬时变化率与平均变化率的关系： (1)瞬时变化率 函数 f (x)在x=x0在处的瞬时变化率是函数 f (x)从x0到x0+∆x的平均变化率在∆x ⟶ 0时的极限，即 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （一）变化率问题 3.瞬时变化率与平均变化率的关系： (2)平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. ∆y ∆x 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （二）导数的概念及其几何意义 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 1.导数的概念 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （二）导数的概念及其几何意义 2.导数f ′(x0)(瞬时变化率)的几何意义 类似地 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 因此，函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 导数f ′(x0)的几何意义 考点串讲 一、导数的概念及其意义 （二）导数的概念及其几何意义 3.导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 考点串讲 二、导数的运算 （一）基本初等函数的导数 考点串讲 二、导数的运算 （二） 导数的四则运算法则 考点串讲 二、导数的运算 （三） 简单复合函数的导数 1.复合函数 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g (x)的复合函数. 记作：y=f (g(x)). 2.复合函数的导数法则 一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （一） 函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数 f (x)的单调性与导函数 f '(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 2.判定函数单调性的步骤： 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （一） 函数的单调性 3.三次函数的单调性 ∆ F′ (x)的图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 a>0 ∆≤0 ∆>0 a<0 ∆≤0 ∆>0 在(－∞,＋∞)上递增 在(－∞，u)上递增 在(u，v)上递减， 在(v，＋∞)上递增 在(－∞,＋∞)上递减 在(－∞，u)上递减 在(u，v)上递增， 在(v，＋∞)上递减 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （一） 函数的单调性 4.函数增减的快慢与导数的关系 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 1.极值点与极值的定义： 若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a) = 0；同时在点x=a附近的左侧f ′(x) < 0,右侧f ′(x) > 0,就把a叫做函数y=f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极小值. 若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都小，且f ′(b) = 0；同时在点x=b附近的左侧f ′(x) > 0,右侧f ′(x) < 0,就把b叫做函数y=f (x)的极大值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极大值. 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 2.对极值定义的理解 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 3.求可导函数f (x)极值的步骤： （1）确定函数的定义域 （2） 求导数f ′(x)； （3）求方程f ′(x)=0的根 （4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f (x)在这个根处取极值的情况： ①如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值； x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 ②如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值. x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 4.函数最值与极值有什么关系 (1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. (2)函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 5.求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数f(x)在(a, b)内的极值； (2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； (3)将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 考点串讲 三、导数在研究函数中的应用 （二） 函数的极值与最大（小）值 6.画函数f(x)的大致图象的步骤: （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点； （3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f (x)单调性与极值； （4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 考点串讲 【题型一】导数在研究函数性质中的应用 【例1】 已知函数 <m></m> ， <m></m> . (1)记 <m></m> 的极小值为 <m></m> ，求 <m></m> ； [解析] 函数 <m></m> 的定义域是 <m></m> ， <m></m> ， 令 <m></m> ，得 <m></m> ，所以 <m></m> 的单调递增区间是 <m></m> ； 令 <m></m> ，得 <m></m> ，所以 <m></m> 的单调递减区间是 <m></m> ， 所以函数 <m></m> 在 <m></m> 处取极小值， 则 <m></m> . 题型剖析 【题型一】导数在研究函数性质中的应用 【例1】 已知函数 <m></m> ， <m></m> . (2)若对任意的实数 <m></m> ， <m></m> 恒成立，求 <m></m> 的取值范围. [解析] 当 <m></m> 时，因为 <m></m> ，所以 <m></m> 恒成立， 当 <m></m> 时，令 <m></m> ，得 <m></m> ，即 <m></m> . 令 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增， 故 <m></m> 的最小值为 <m></m> ，所以 <m></m> ，故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . 题型剖析 【训练1】已知函数 <m></m> . (1) 当 <m></m> 时，求函数 <m></m> 的单调区间和极值； [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> ，则 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增， 所以 <m></m> 的单调递增区间为 <m></m> ，单调递减区间为 <m></m> ， 极小值为 <m></m> ，无极大值. 针对训练 【训练1】已知函数 <m></m> . (2)若函数 <m></m> 在区间 <m></m> 上取得最小值4，求 <m></m> 的值. [解析] <m></m> ， <m></m> ， ①当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上单调递增， <m></m> ，解得 <m></m> ，不满足 <m></m> ，故舍去. ②当 <m></m> 时，在区间 <m></m> 上， <m></m> ， <m></m> 单调递减， 在区间 <m></m> 上， <m></m> ， <m></m> 单调递增， <m></m> ， 解得 <m></m> ，不满足 <m></m> ，故舍去. ③当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上单调递减， <m></m> ，解得 <m></m> ，满足 <m></m> . 综上， <m></m> . 针对训练 【题型二】导数在函数零点问题中的应用 【例2】已知函数 <m></m> . (1)讨论 <m></m> 的单调性，并证明 <m></m> 有且仅有两个零点； [解析] <m></m> 的定义域为 <m></m> . 因为 <m></m> ,所以 <m></m> 在 <m></m> 和 <m></m> 上单调递增. 证明：因为 <m></m> , <m></m> , 所以 <m></m> 在 <m></m> 上有唯一零点 <m></m> ,即 <m></m> . 又 <m></m> , <m></m> , 故 <m></m> 在 <m></m> 上有唯一零点 <m></m> . 综上, <m></m> 有且仅有两个零点. 题型剖析 【题型二】导数在函数零点问题中的应用 【例2】已知函数 <m></m> . (2)设 <m></m> 是 <m></m> 的一个零点，证明曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线也是曲线 <m></m> 的切线. [解析] 证明：因为 <m></m> ,所以点 <m></m> 在曲线 <m></m> 上. 由题设知 <m></m> ,即 <m></m> , 故直线 <m></m> 的斜率 <m></m> . 曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处切线的斜率是 <m></m> , 曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处切线的斜率也是 <m></m> , 所以曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线也是曲线 <m></m> 的切线. 题型剖析 【训练2】已知函数 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 均为正实数）. (1)证明:函数 <m></m> 在 <m></m> 内至少有一个零点； [解析] 证明： <m></m> , <m></m> , <m></m> , ∴函数 <m></m> 在 <m></m> 内至少有一个零点. 针对训练 【训练2】已知函数 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 均为正实数）. (2)设函数 <m></m> 在 <m></m> 处有极值,对于一切 <m></m> ,不等式 <m></m> 总成立,求实数 <m></m> 的取值范围. [解析] <m></m> , <m></m> . 由题意得 <m></m> ,即 <m></m> ,得 <m></m> , 则问题等价于 <m></m> 对于一切 <m></m> 恒成立. 记 <m></m> , <m></m> , 则 <m></m> . <m></m> , <m></m> , </m> ,即 <m></m> , <m></m> ,即 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减, <m></m> . 故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . 针对训练 【题型三】含参函数的最大（小）值 【例3】已知函数 . (1)讨论 的单调性； 类型一 含参函数求最值 [解析] ， 因为恒成立， 所以当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增. 题型剖析 【题型三】含参函数的最大（小）值 【例3】已知函数 . (2)求函数在 上的最小值. 类型一 含参函数求最值 [解析] 由（1）得， 当时，在上单调递减， ； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， ； 当时，在 上单调递增， . 综上所述， 题型剖析 【训练3】已知函数 . (1)求 的单调区间； [解析] 易知函数的定义域为， . 当时，，在上单调递减； 当 时，在上，，单调递增， 在上，， 单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为 ，无单调递增区 间；当时，的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 针对训练 【训练3】已知函数 . (2)求在 上的最大值. [解析] 由（1）知，时，在 上单调递减， ； ②时，在上单调递增， ； ③时，在上单调递增，在 上单调递减， . 综上所述， 针对训练 【题型三】含参函数的最大（小）值 【例4】已知函数， . 类型二 已知函数最值求参数 (1)讨论 的单调性； [解析] 的定义域为， . 若，则，在 上单调递增. 若，则当时，； 当时， . 所以在上单调递增，在 上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时， 在上单调递增，在 上单调递减. 题型剖析 【题型三】含参函数的最大（小）值 【例4】已知函数， . 类型二 已知函数最值求参数 (2)当有最大值，且最大值大于时，求 的取值范围. [解析] 由（1）知，当时，在 上无最大值； 当时，在 处取得最大值， 为 . 等价于 . 令，，易知在 上单调递增， . 于是，当时， ，满足题意； 当时， ，不满足题意. 因此，的取值范围是 . 题型剖析 【训练4】已知函数在区间 内的最小值为0,则实数 的值为____. [解析] 当时，函数在区间 上恒成立，不符合题意. 当时， ， 令，得 ， 所以当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. 当，即时，在区间 上单调递增， 所以的最小值为，解，得 ; 当，即时，在区间 上单调递减， 在上单调递增， 所以 的最小值为， 解 ，得 ，矛盾. 综上， . 针对训练 【题型三】含参函数的最大（小）值 【例5】已知函数，试问：是否存在实数 ，使得函数在上的最小值为2？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 类型三 与最值有关的探索性问题 [解析] 的定义域为， ， 令，则 . 当时，在 上单调递增，没有最小值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， 此时的最小值为， 令 ，解得 ，舍去； 当时，在上单调递减， 此时 的最小值为，令，解得 . 综上，存在实数，使得函数在 上的最小值为2. 题型剖析 【训练5】已知， . (1)若，判断是否存在，使得 ，并说明理由； [解析] 不存在，使得 . 理由如下：当时，， 的定义域为， ， 令，得 ； 令，得 ， 则在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 故不存在，使得 . 针对训练 【训练5】已知， . (2)设，判断是否存在实数，使得函数 在上的最小值为3， 若存在，求出 的值，若不存在，说明理由. [解析] 因为， ， 所以 ， 则，令，得 . 当时，，所以在 上单调递减， 故，解得 （舍去）. 当 时，①当时，，在上恒成立， 所以 在 上单调递减，故，解得 （舍去）； 针对训练 【训练5】已知， . (2)设，判断是否存在实数，使得函数 在上的最小值为3， 若存在，求出 的值，若不存在，说明理由. ②当时，， 当时，，则在 上单调递减， 当时，，则在 上单调递增， 所以，解得 . 综上，存在实数，使得函数在 上的最小值为3. 针对训练 【题型四】与、 有关的常用不等式 【例6】证明不等式： . 类型一 不等式的证明及其应用 证明 设函数 ， 则 . 当时，，在 上单调递减； 当时，，在 上单调递增， 所以，所以，即 . 题型剖析 【训练6】已知，， . (1)当时，求函数 的极值； [解析] ，当时，若，则 ， 即在上单调递减，故函数 不存在极值； 当时，令，得 ， 当变化时，， 的变化情况如下表： 0 - 单调递增 极大值 单调递减 故 ，无极小值. 综上，当时，函数 不存在极值； 当时，函数有极大值 ，不存在极小值. 针对训练 【训练6】已知，， . (2)当时，求证： . 证明：显然，要证 ， 即证，即证 ， 即证 . 令 ，故只要证 即可. 设，则 ， 当时， ，当时， ， 故在上单调递增，在 上单调递减， 即 ， 所以 ，从而有 . 故，即 . 针对训练 【题型四】与、 有关的常用不等式 【例7】证明不等式： . 类型二 不等式 的证明及其应用 证明 证法一：设函数， ，则 . 当时，，在 上单调递增； 当时，，在 上单调递减， 所以 ，所以 ， 即 得证. 证法二：由不等式 ， 可得 ， 即 得证. 题型剖析 【训练7】已知函数， . (1)当时，求 的单调区间； [解析] 当时，， ， 当时，，函数 单调递增； 当时，，函数 单调递减. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . (2)当时，求证： . 证明：当时，，即证 ， 因为，所以即证 ， 即证 ，显然该不等式成立， 所以原不等式得证. 针对训练 【题型四】与、 有关的常用不等式 【例8】证明不等式： . 类型三 重要切线不等式的变式及其应用 证明 先证不等式： ， 令，则 . 令，即，解得 ； 令，即，解得 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 即 ，所以 . 由，令，得 （当且仅当 时取等号）①， 由，令，得 ， 所以（当且仅当 时取等号）②， 因为①式与②式取等号的条件不同，所以 . 题型剖析 【训练8】已知函数的图象在 处的切线的斜率为1. (1)求的值及 的最大值； [解析] 函数的定义域为， ， 则，则，解得 . 此时， . 当时， ； 当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 针对训练 【训练8】已知函数的图象在 处的切线的斜率为1. (2)证明： . 证明：由（1）得，当且仅当 时，等号成立， 令，则 ， 所以 ， 将上述个不等式依次相加，得， . 针对训练 【题型五】构造函数在导数中的应用 类型一 型的函数构造 【例9】(1)已知定义在上的函数,其导函数为,当 时,， 若，，，则 ，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 令，，则 ， 当时，，即， 在 上单调递减， ， ， 即 ， .故选D. D 题型剖析 类型一 型的函数构造 【例9】(2)设函数是定义在上的偶函数，为其导函数.当 时，，且，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 令，因为是定义在 上的偶函数， 所以在上为奇函数， 因为 在上恒成立，所以在 上单调递增， 又在上为奇函数，所以在 上单调递增， 因为是偶函数，且 ，所以 ， 故， . 当时，不等式等价于，即 ，解得 ； 当时，不等式等价于，即 ，解得 ， 所以不等式的解集为 .故选A. 【题型五】构造函数在导数中的应用 题型剖析 【训练9】(1)设函数 是奇函数的导函数,,当时, ，则使得成立的 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意设，则. 当 时，， 当时，， 函数 在上单调递增， 函数是奇函数，， 函数为定义域上的偶函数，在 上单调递减， 由，得， ， 不等式 ， 或解得或， 使得成立的的取值范围是 ，故选D. D 针对训练 【训练9】(2)定义在上的偶函数 的导函数为，且当时， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， 所以当 时，，所以在上单调递增， 又 为偶函数，所以为偶函数， 所以在 上单调递减. 因为，所以，即 ，所以 ，A错误； 因为，所以，即 ，所以 ，B错误； 因为，所以 ，即 ，所以 ，C错误； 因为，所以 ， 即 所以 ，D正确.故选D. D 针对训练 【题型五】构造函数在导数中的应用 类型二 型的函数构造 【例10】(1)(多选题) 函数满足 ，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 令，则，从而 单调递减. ，即 ，A正确； ，即 ，B错误； ，即 ，C正确； ，即，D错误.故选 . AC 题型剖析 【题型五】构造函数在导数中的应用 类型二 型的函数构造 【例10】(2)设函数的导函数为 ，若对任意的,都有成立， 且 ，则不等式 的解集为________. [解析] 设，则， 因为 ，且，， 所以，所以是 上的增函数， 不等式等价于， 因为 ，所以，所以等价于， 所以 ，即不等式的解集为 . 题型剖析 【训练10】(1)已知是定义在 上的函数，且满足，其中是 的导函数，设,,,则，， 的大小关系是____________. [解析] 令，则， 所以 为增函数， 因为，所以 ， 即，所以 . 针对训练 【训练10】(2)是定义在上的函数，是 的导函数，已知， 且，则不等式 的解集为________. [解析] 由，得， 设 ，则， 所以函数在 上单调递增， 因为，所以， 所以不等式 等价于 ，等价于， 所以 ，解得， 所以不等式的解集为 . 针对训练 【题型五】构造函数在导数中的应用 类型三 （或 ）型的函数构造 【例11】(1)已知函数对于任意的 均满足（其中 是 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 由， ，得，. 令 ，，则， 所以 在上单调递增，故 ， 即，即 .故选C. C 题型剖析 【题型五】构造函数在导数中的应用 类型三 （或 ）型的函数构造 【例11】(2)函数的定义域为，其导函数是，当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为_______. [解析] 令，，则 ， 因为，所以， 所以在 上单调递减， 由，得 ，所以 ， 所以 ，所以不等式的解集为 . 题型剖析 【训练11】(1)是定义在 上的函数,是的导函数,且 ， ，，，则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为时，，所以 即可转化为 ， 设，则， 所以当 时，，所以函数在上单调递减， 因为 ，所以，所以 ， 即，所以 ，故选B. 针对训练 【训练11】(2)函数的定义域为，其导函数是，当 时，有 ，则关于的不等式 的解集为______. [解析] 令， ，则， 因为 ， 所以，所以在上单调递增， 由 ， 得 ， 所以，所以 ， 所以不等式的解集为 . 针对训练 一、利用导数判断函数性质的方法步骤 方法归纳 （1）坚持定义域优先原则：确定函数 <m></m> 的定义域,确定函数有意义; （2）计算函数的导函数并确定其零点与符号：求导函数 <m></m> ，解导数方程和导数不等式，确定 <m></m> 在对应区间内的符号; （3）判断函数的单调性：若函数含有参数，需对参数进行分类讨论,分类讨论坚持不重不漏原则,由函数的单调性计算极值和最值，得出结论. 课堂总结 二、导数在函数零点问题中的应用 方法归纳 （1）函数的零点是函数图象与 <m></m> 轴交点的横坐标，函数的零点与函数的单调性密不可分，判断函数的单调性，确定函数零点的个数是导数的重要应用之一. （2）利用导数确定函数零点的方法步骤： ①确定函数的定义域，求函数的导数，判断函数的单调性、极值和最值，结合函数图象确定函数零点的个数. ②对于含有参数的函数零点的判断问题，通常需要对参数的取值范围进行分类讨论. 课堂总结 三、含参函数的最大（小）值 1.求含有参数的函数的最值时，需对函数解析式中的参数的取值范围进行分类讨论，再求函数的最值，分类讨论的标准通常是函数在某一区间内是否具有单调性，是否具有极值等. 2.由函数的最值求参数的值或取值范围时，可以将问题转化为判断函数的单调性与极值、最值问题，建立函数最值的方程或不等式解决，方法步骤如下： （1）求函数的定义域，计算导数，确定函数的单调性与极值； （2）求函数的最值，需对参数进行分类讨论，转化为函数的最值满足的方程或不等式求解. 方法归纳 课堂总结 方法归纳 四、与、 有关的常用不等式 1.不等式的证明及其应用 （1）证明不等式，常用的方法为构造函数 ，然后 证明 即可. （2）当且仅当时不等式 取等号，其几何 意义为函数的图象在 图象的上方， 且在 时，两图象有唯一交点（如图）. 课堂总结 方法归纳 2.不等式 的证明及其应用 （1）不等式可以看作不等式 的变形应用. （2）当且仅当时不等式 取等号，其几 何意义为函数 的图象在 图象的下方，且在 时，两函数图象有唯一交点 （如图）. 课堂总结 方法归纳 3.重要切线不等式的变式及其应用 （1）不等式的常见变形 ① ，当且仅当 时取等号. ②，当且仅当 时取等号. （2）不等式 的常见变形 ①，当且仅当 时取等号. ②或 ③ 课堂总结 方法归纳 五、构造函数在导数中的应用 1. 型的函数构造 （1）当出现时，通常构造函数 . 推广：当出现时，通常构造函数 . （2）当出现时，通常构造函数 . 推广：当出现时，通常构造函数 . 课堂总结 方法归纳 2. 型的函数构造 (1)当出现时，通常构造函数 . 推广：当出现时，通常构造函数 . (2)当出现时，通常构造函数 . 推广：当出现时，通常构造函数 . 课堂总结 方法归纳 3. （或 ）型的函数构造 (1)当出现时，通常构造函数 . (2)当出现时，通常构造函数 . (3)当出现时，通常构造函数 . (4)当出现时，通常构造函数 . 课堂总结 感谢聆听! 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. $