专题06 整式的乘法（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题06 整式的乘法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单项式乘多项式的计算 1 题型二、单项式乘多项式的计算 4 题型三、多项式乘多项式的计算 8 题型四、求不含某项的字母的值 13 题型五、化简求值相关计算 16 题型六、图形面积相关计算 18 题型七、多项式乘法中的规律性问题 21 题型八、整式乘法中的混合运算 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单项式乘多项式的计算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，先利用相关法则计算括号内的乘方，再与前面的单项式相乘得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则及单项式乘法法则，需根据相关法则逐一判断各选项的计算是否正确． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A选项中，，故A错误； ∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴B选项中，，故B错误； ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂分别按法则计算， ∴C选项中，，故C正确； ∵与底数不同，无法合并为以6为底的幂， ∴D选项中，，故D错误． 故选：C． 5．“三角”表示，“方框”表示，则 ． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 6．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 计算两个单项式的乘积，涉及负号和分数，先确定符号，再计算系数和变量的乘法，即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 9．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 10．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 题型二、单项式乘多项式的计算 1．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 2．若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 3．计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 4．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 5．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 6．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 7． ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，直接应用此运算法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 10．计算： （1）________________． （2）_________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与合并同类项，掌握单项式乘多项式法则，以及合并同类项的法则是解题的关键． （1）通过单项式乘多项式法则展开并合并同类项； （2）运用单项式与多项式相乘的法则，分别相乘后合并． 【详解】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． 11．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法的应用，根据长方体的表面积公式，计算长、宽、高的两两乘积的和，再乘以2并化简即可． 【详解】解：长方体的表面积公式为 ，其中，，， 计算： ， ， ， 则， 表面积， 故答案为：． 12．把任意数对放入魔盒后，会得到运算．若把数对放入该魔盒，得到结果n，则把数对放入该魔盒，得到的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算的代数化简，掌握理解新运算规则，分步代入并化简表达式是解题的关键． 根据新运算规则，先计算数对放入魔盒得到，再计算数对放入魔盒的结果． 【详解】解：由题意，， 将数对放入魔盒，结果为， 代入， 得， ∴ ． 题型三、多项式乘多项式的计算 1．（24-25七下·云南昭通·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25七下·吉林长春·期末）已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，整体代入法求代数式的值． 先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后由得出代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选C． 3．（24-25七下·广东广州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 4．（24-25七下上·云南曲靖·期末）已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键，将给定方程展开并变形，得到的值，然后代入代数式求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. ∴. 故选：C 5．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 6．若多项式除以，得到的商式为，余式为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘除运算，掌握被除式除式商式和余式的关系是解题的关键． 根据被除式、除式、商式和余式的关系，即被除式=除式×商式+余式，本题中余式为． 【详解】由题意，， 计算得： ． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．填空： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）．( ) 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （2）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （3）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （4）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （3）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （4）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式、幂的运算、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （3）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （4）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型四、求不含某项的字母的值 1．（24-25七下·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 2．若展开后不含和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： 展开后不含和项， ， 解得． 3．若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 4．若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 题型五、化简求值相关计算 1．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 2．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 3．计算题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，11 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项把原式化简； （2）根据多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 当时，原式 4．先化简，再求值：，其中,． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，整式加减运算中的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据多项式乘以多项式运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当,时，原式． 题型六、图形面积相关计算 1．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（）；（）（）当时， 方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， 方案合算； 【分析】（）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案； （）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可； 【详解】解：（）根据材料得， ∴ 故填答案为：； （）由图知： ∴ ∵是正整数 ∴ ∴ ∴ （）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，为正整数， ∴当时，，故，此时方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时方案合算； 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键． 2．（24-25七下·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 3．（24-25七下辽宁朝阳·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 4．计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 题型七、多项式乘法中的规律性问题 1．（24-25七下宁夏固原·期末）我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 3．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索．观察可知把看成常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看成常数， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， 而中，项就是第二项， 展开式中含项的系数是6， 故选：B． 4．（2025·河北·模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 题型八、整式乘法中的混合运算 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用单项式乘多项式，以及积的乘方的运算法则去括号，再合并同类项，即可解题． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”： ． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 【答案】（1）576；（2），见解析；（3）32 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、列代数式、整式的加减，解决本题的关键是根据“美好数”的定义解决问题． （1）先利用乘法分配律变形，再求和即可； （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、，则，化简求出结果即可； （3）根据（2）可得，两个“美好数”的差是1280，即为，因为，所以． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、， 理由： ． （3）因为， 即， 由题意得， 所以． 3．定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则，平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 1．若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）下列算式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，单项式乘以多项式，根据幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，单项式乘以多项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律探究，熟练掌握相关知识是解题的关键． 观察所给展开式的系数和杨辉三角中各数的关系，先写出所求展开式中的系数，根据发现的规律得出每个展开式中的系数，进行相加求解即可． 【详解】依据规律可得到的展开式的系数是杨辉三角第6行的数， 第6行的数分别为， ∴展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， ∴原式展开式中的系数为． 故选：D． 4．若计算的结果不含项，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，得到关于m的方程是解题关键． 先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“不含项”列出关于m的方程求解即可． 【详解】解： ∵的结果不含项， ∴，解得：． 故答案为：5． 5．（2024·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 6．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，多项式与多项式的乘法，单项式与多项式的乘法，解题的关键是找到规律，正确推理． （1）观察规律：题目中的例子均为十位数字相同、个位数字之和为10的两位数相乘，其结果可分解为两部分：十位数字与比十位数字大1的乘积扩大100倍，加上个位数字的乘积． （2）代数表达：将具体数字抽象为代数形式，通过展开验证规律的正确性． 【详解】（1）和41的十位均为4，个位，符合题目规律． 按照规律，结果应为：； 故答案为：； （2）规律表达式：， 证明：展开左边：， 代入条件：由，得：， 整理右边：， 左右两边相等， 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【答案】（1）①（或16）；②，；（2） 【分析】本题考查的是有理数的运算规律的探究，整式的乘法运算的规律探究； （1）①根据满足的表达式的规律表示，再列式计算即可；②把满足的表达式相加，再整理即可； （2）由可得，再整理即可得到答案． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题． (1)求；若，求矩形C落在边l上的长； (2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【答案】(1)；x (2)，见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积等于长乘宽，先表示，因为，故，即可作答． （2）依题意，，，结合，即一定大于0，所以，即可作答． 【详解】（1）解：结合图形，； ∵ ∴， ∴矩形C落在边l上的长为x； （2）解：，理由如下： 依题意，， ∴ ∵， ∴一定大于0， ∴， 即． 9．（2025·安徽滁州·三模）【预备知识】某数学兴趣小组的成员定义了一种“运算”，如下： 若整数，，，在表格中的位置关系如图所示，则． 【规律探索】 （1）如图是年月的日历，将图平移覆盖在图中，使得，则_______． （2）如图，将的整数按顺序依次填入的表格中，将图平移覆盖在图中，使得字母随机对应一个数，经过反复计算后发现的值是定值，则这个定值为_______． 【规律证明】 （3）若将图平移覆盖在含有列的表格中，设，则_______，______， ∴． 【答案】（）；（）；（），，，，． 【分析】本题考查了有理数的减法、乘法运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）当时，则，，，然后代入求值即可； （）由题意得，，，然后代入，再根据整式的运算即可； （）由含有列的表格，，则，，，然后代入，再根据整式的运算即可． 【详解】解：（）当时，则，，， ∴ ， 故答案为：； （）由题意得，，，， ∴ ， 故答案为：； （）∵含有列的表格，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：，，，，． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【答案】(1)见解析，4216 (2)，见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，多项式乘以多项式的几何应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照例题即可求解； （）根据多项式乘以多项式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由图可得； （2）解：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴该等式成立． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06整式的乘法 目录 A题型建模·专项突破 题型一、单项式乘多项式的计算. 1 题型二、单项式乘多项式的计算 题型三、多项式乘多项式的计算… 8 题型四、求不含某项的字母的值… 13 题型五、 化简求值相关计算 16 题型六、图形面积相关计算 18 题型七、多项式乘法中的规律性问题 21 题型八、整式乘法中的混合运算. 24 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、单项式乘多项式的计算 1.化简x 的结果是() A.xyo B.xy3 C.x D.xys 4 4 2.下列各式计算正确的是() A.（-3a"+b)(-2a=6a"+b 8.（-6a0-bc=3abc C.(-4ab)-(-aic)-ab-2abe 3.计第(-3a-(号(-6的结果是() 4 A.-192ab8 B.-192ab C.64abl D.64a7b0 4.下列计算正确的是() A.a2.a23=a B.（-2ab2}2=-4a2b C.2a2b.3ab2=6ab D.2m.3”=6m+0 5.“三角” 表示3z,“方框” 表示-ad,则 n m /n3 25 6.计算： 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.计算：-a6)0 8.如果xy4与2xy"相乘的结果是2xy,那么m=_,1=一，4m+5n=一 9.若(-5ab2-）2a2b=-10ab,则2m+n=— 10.若(mx2x）=-8x8,则m+k= 题型二、单项式乘多项式的计算 1.一个长方体的长、宽、高分别是3x-4,2x和x,则它的体积等于() A.3r-4到2xx=3x2-4r B.2x= C.(3x-42x…x=6x3-8x2 D.2x3x-4)x=6x2-8x 2.若a2-a=2,则代数式(a+6)(a-3)-2aa+1的值为() A.16 B.-16 C.20 D.-20 3.计算：-x(x+y+2x2=（) A.3x2+xy B.3x2-xy C.x2+xy D.x2-xy 4.若4ab(a+2b=4a2b+nab2,则n=() A.6 B.-6 C.8 D.-8 5.己知单项式M,N满足3x(M-5x)=6x2y2+N,则MW等于() A.-30x3y2 B.-30x2y3 C.-15x2y2 D.-15x3y3 6.若xx+2)=ax2+bx,则a+b=() A.3 B.2 C.1 D.0 7.5ab2a-b+0.2)= 8.已知a2-a-1=0,则a3-2a+2025=_ 9.计算：(-2a)2(9a2-5a= 10.计算： (1)a(a-3)-a2= (2)6x2-2)(3r)= 11.一个长方体的长，宽，高分别是3x-4,2x和x,则它的表面积是一· 12.把任意数对(a,b)放入魔盒后，会得到运算(a-1)(b-2).若把数对(m,1)放入该魔盒，得到结果n,则 2/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把数对(n,m放入该魔盒，得到的结果为 题型三、多项式乘多项式的计算 1.(24-25七下·云南昭通期末)计算：（2x-3)(x-1)=() A.2x2-5x+3B.2x2-5x-3 C.2x2-x+3 D.2x2-x-3 2.(24-25七下·吉林长春期末)已知x2-x-4=0,则(x-3)(x+2)的值等于() A.-4 B.-1 C.-2 。 3.(24-25七下广东广州期末)计算(x+1(x-5)-x2的结果是() A.4x+5 B.-4x-5 C.-4x+5 D.x2+4x-5 4.(24-25七下上云南曲靖·期末)己知(x+3)(x+4)=9,则代数式2x2+14x+7的值是() A.-1 B.0 C.1 D.13 5.若一个三角形的一边长为3a+2b),这边上的高为4a-b),则它的面积为一 6.若多项式A除以2x2-3,得到的商式为3x-4,余式为0，则A=_ 7.(22-23七年级下.湖南永州期中)计算：（x-1)(x2+x+= 8.填空： (1)(x+-(2x-3y川=2x2-xy-3y2;（ (2)(4x---(x+4y)=4x2+13xy-12y2;（ (3)(x+)(x+y)=x2+2y+y2;（) (4)(a+_)(a-m=a2-m2.（ 9.计算： (1)2x-5y)(3x-y): (2x-y)x2+xy+y2): 32x+y)(x-y月-2y2-xy: (4)(a-1)3a2-2a+4 10.计算： a行y-2g+yr小-4： 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x3-2x3+3)-(x2y+x2x; 3)3x-2y)y-3x-(2x-y)(3x+y): (4)5y2-(y-2)(3y+1-2(y+1)(y-5). 题型四、求不含某项的字母的值 1.(24-25七下四川内江·期中)已知x2+mx-3(2x+n)的展开式中不含x的一次项，且常数项是-6，求 m2+n2的值. 2.若x2+px+q)(x2-2x-3展开后不含x2和x项，求p9的值. 3.若x2+px +3x-3x+9)的展开式中不含子和x的项。 28 (1)求p、94的值： (2)求代数式(-2p2q°+6pg2+p22g2025的值。 4.若关于x的代数式3x+a)(x-2)计算后不含x的一次项. (1)当a=1时，化简原代数式： (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值. 题型五、化简求值相关计算 1.先化简，再求值： (1)x2(3-x)+xx2-2x+1,其中x=-3; (2x-2y)(x+4y)-(2x-y)(x+y),其中x=-2,y=3. 2.先化简，再求值(x-2)x2-6x-xx2-2x-8),其中x=-1 3.计算题： (1)计算：2(a2)-a(a2a3-(-a)3.(a2)2(-a: (2)先化简，再求值：(2x-1)(x-4)-2(x+3)(x+2),其中x=-1. 4.先化简，再求值：(+(x-2列-2x-川x+4),其中r=2,y-名 5 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六、图形面积相关计算 1.【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化， 其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质：若x-y>0,则x>y;若x-y=0, 则x=y;若x-y<0,则x<y. 例：已知m=a2+ab,n=3ab-b2,其中a≠b.求证：m>n.证明： m-n=a2+ab-3ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2 atb (a-b)>0. .m>n. 【新知应用】 (1)比较大小：x-1 2+X· (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示(m为正整数)，其面积分别为S、S2.试比较S、S,的大小 关系 m+7 m+4 m+1 甲 m+2 乙 【实际应用】 (3)请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案： 第一次按照原价，从第二次起每次打八折.请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 2.(24-25七下陕西榆林期末)书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹.现有一 本数学课本（如图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm·小军用一张长方形纸（如图2）包好了这 本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（xCm) 即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） 20.5cm 数学 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域)的长为一cm,宽为一cm; 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积， 3.(24-25七下辽宁朝阳·期末)如图，某小区有一块长为(3a+2b)米，宽为2a-b)米的长方形地块，四个 角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化. 2a- b -3a+2b (1)求该小区绿化的面积S(用含a,b的代数式表示，并化简)； (2)若a=8,b=2,绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 4.计算图中阴影部分的面积， 2b+1 2a+3b 2b+3a =6a2+6b2+11ab-a+2b+1. 题型七、多项式乘法中的规律性问题 1.(24-25七下宁夏固原·期末)我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》(1261年)一书中， 用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”.仔细观察杨辉三角系数表，按规律 写出(a+b)展开式所缺的系数() (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)=a4+4a3b+a2b2+4ab3+b4 A.4 B.5 C.6 D.8 2.(24-25七年级下·江苏无锡期中)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式 6/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”.则(a+b)°展开式中所有项的系数和是 () (a+b)°=1 (a+b)'=a+b 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 13 31 (a+b)4=a+4a3b+4ab3+6a2b2+b4 14641 (a+b)5=a5+5ab+10ab2+10a2b3+5ab4+b5 15101051 A.512 B.1024 C.2048 D.4096 3.我国南宋数学家杨辉用“三角形"解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”， 这个“三角形”给出了(a+b)”(n=1,2,3,4,…的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）· 1 (a+b)=a+b 121 （a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b 14641(a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 … 请依据上述规律，写出(a+1)展开式中含a项的系数是() A.1 B.6 C.15 D.20 4.(2025河北模拟预测)我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角"就是一例，如表所示， 它揭示了(a+b)(n为非负整数)展开式的各项系数的规律.有如下几个结论：①(a+b)展开式有(n+1项， 系数和为21；②993+3×992+3×99+1的结果是10°；③当代数式a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，有 理数a的值是-1；④如果今天是星期一，那么6225天后是星期二.其中正确的有() 111 (a+b)°=1(a+b)'=a+b 192e1 (a+b)2=a2+2ab+b2 139391 (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八、整式乘法中的混合运算 1.计算：3ry2y-xy）+3-yj (24-25七年级下·浙江台州期末)数学探究 探究主题：月历中的数学 五六日 四 四五六日 b 10 21314 计 16171819202122 C 0 (1)用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中 算 23242526272829 发 30 现 图1 图2 图3 个数（如图1中的阴影部分），将位置A,B,C,D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加 得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”.尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”： 5x11+11×19+19×13+13×5=-. 猜 想 (2)移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关.请设出字母，用数学式子表 说 发现的规律，并说明理由. 理 拓 展 (3)在另一张月历中，两个“十"字型框架如图3摆放，两个“十"字型框架E位置上的数分别为4，b,若两个“美 研 的差为1280，求a+b. 3定 12 =ad-bc,如 41×4-2x3=-2.已知4= 2x+11 。x+1x-1 x-12x (n为常数)，B= -x-1x+1 (1)若B=4,则x的值为-： (2)若A的代数式中不含x的一次项，当x=1,求A+B的值： (3)若A中的n满足8×21=24，且A=B+2时，求16x2-8x+9的值. 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下-江苏苏州期末)先化简，再求值：a(a-2b)+2(a-b(a+b)-(2a-b)2,其中 2’6=-1. B 综合攻坚·能力跃升 1.若x+px+g=(x+m(x+m,且m+n=5,mn=6,则p2-49的值为（) A.1 B.4 C.9 D.25 2.(2025辽宁盘锦.三模)下列算式中计算正确的是（) A.(m2）=m3B.m5÷m2=m2 C.-x3-(-x3=0D.-x(x-1=-x2 3.(2025·四川绵阳.三模)南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了 如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： (a+b)°=1 (a+b)'=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b (a+b)5=a3+5ab+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 10 10 根据前面各式的规律，则(3x-1+(3x-1)4+(3x-1)+(3x-1)2+(3x-1)的展开式中x2的系数是() A.72 B.39 C.-47 D.-54 4.若计算(2+x2+mx3)(1-5x)的结果不含项，那么m的值为 5.(2024山西大同·模拟预测)如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的.上面是半圆，半圆 的直径为xm;下面是长方形，宽为xm,长是宽的2倍.这个共形门的面积可表示为一m2.(结果保 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 留π) 6.（2025·安徽滁州·二模)观察下列等式. 14×16=1×2×100+4×6=224 23×27=2×3×100+3×7=621 38×32=3×4x100+8×2=1216 … 按照以上规律，解答下列问题. (1)仿照上面的书写格式：49×41= (2)设等式左边的两个两位数分别是10m+a,(10m+b),其中a+b=10,用含m,a,b的等式表示上述规 律，并证明 7.(24-25七年级下.安徽合肥期中)【阅读材料】 对于任意实数x,都有(x+1)2=x2+2x+1. 当x分别取值1,2,3,4，，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式22=12+2×1+1； 第2个等式32=22+2×2+1； 第3个等式42=32+2×3+1： 第4个等式52=42+2×4+1： 第n个等式(n+1)2=n2+2n+1; 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得(n+1)2=12+21+2+3++n)+n, 进一步化简，得1+2+3+…+n=nm+ 2 【初步理解】 有一列数a1,a2,a3,…,an满足以下等式： a1=3×1-2,a2-a1=3×2-2,a-a2=3×3-2,a4-a=3×4-2,a5-a4=3×5-2,… 10/12