专题02 无理数和实数（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 无理数和实数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、无理数的判断 1 题型二、无理数的大小估值 3 题型三、整数部分和小数部分的有关计算 5 题型四、实数的概念和分类 9 题型五、实数的性质 11 题型六、实数与数轴 12 题型七、实数的大小比较 14 题型八、实数的混合运算 16 题型九、程序设计与实数运算 19 题型十、新定义下的实数运算 21 题型十一、实数运算的实际应用 25 题型十二、与实数运算相关的规律 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、无理数的判断 1．下列四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、，是分数，属于有理数； D、是无限不循环小数，符合无理数的定义． 故选：D． 2．下列各组数中都是无理数的为（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义． 无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断即可． 【详解】解：∵是无理数，是无理数， ∴A中所有数都是无理数，符合题意； B中是有理数，不符合题意； C中和是有理数，不符合题意； D中是有理数，不符合题意． 故选A． 3．（24-25七下·山东淄博·期末）下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．不是分数 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了有理数、无理数、平方根和立方根的概念．通过计算和定义判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：A、，是整数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是无理数，故该选项不符合题意； C、是无理数，不是分数，故该选项不符合题意； D、的平方根是，不是，故该选项符合题意； 故选：D 4．下列说法正确的是（    ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．无理数是无限小数 D．有部分无理数不能用数轴上的点表示 【答案】C 【分析】此题考查了对无理数的概念与性质的理解与应用能力，关键是能对以上知识准确理解． 根据无理数的概念及性质进行辨别判断． 【详解】解：A、无限循环小数是有理数，故该选项说法错误，不符合题意； B、带根号的数可能是有理数，如，故该选项说法错误，不符合题意； C、无理数是无限不循环小数，故该选项说法正确，符合题意； D、所有实数包括无理数都能用数轴上的点表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型二、无理数的大小估值 1．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算． 通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴的值在5和6之间． 故选：A． 2．如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 3．若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了开平方和开立方，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． 根据条件，a 是大于 的最小整数，b 是大于 的最小整数，分别求出 a 和 b 后相加即可． 【详解】解：，， ，即 又∵ a 为整数， ∴ 的最小值为． ∵ ， ∴ ， 又∵为整数， ∴的最小值为． ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 4．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 题型三、整数部分和小数部分的有关计算 1．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 3．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 4．已知的小数部分，用表示它的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定的整数部分．已知小数部分，将和的值代入代数式．对代数式进行因式分解，简化计算过程，最后代入求值． 【详解】解：， ，即． 的整数部分． ． 将，代入，得 ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值以及平方差公式的应用．解题关键是正确估算出无理数的整数部分，并利用因式分解简化计算． 5．已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的性质可求出的值，再估算出的整数部分，可求出的值，代入即可求解； （2）将（1）中的代入，然后求出立方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是2， ， ． 的算术平方根是3， ， ． 的整数部分为，且， ． 故． （2）解：由（1）知，，， ， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及估算无理数的大小等知识点，解题的关键是能够根据已知中的定义准确求出各个字母的值． 6．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 7．观察：，即的整数部分为2，小数部分为． 根据上述规律，解决下面的问题： (1)如果的整数部分为的立方根是2，求和的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算是解题的关键： （1）夹逼法求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）夹逼法求出的值，再根据实数的混合运算法则和平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的整数部分． 的立方根是2， ， ． （2）解：， ， 的整数部分的小数部分， ， 的平方根为． 题型四、实数的概念和分类 1．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义判断各说法的正误． 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 4在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 中是无理数，故属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有、、（每两个之间依次多一个），共个， 故选：C． 题型五、实数的性质 1．（1）的倒数是 ． （2）相反数和绝对值都为的实数是 ． （3）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期末）实数的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了实数的性质，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故答案为：． 28．的相反数是 ，的倒数是 ，的立方根是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数、倒数、立方根的定义．分别根据相反数、倒数、立方根的定义解题即可． 【详解】解：的相反数是； 的倒数是； 的立方根是． 故答案为：；；． 题型六、实数与数轴 1．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以估算无理数的大小． 根据题意和数轴的特点可以求得在数和之间的整数有几个，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴在数和之间的整数有，共有个． 故答案为：． 3．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 4．春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 【答案】B与C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答． 【详解】解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 题型七、实数的大小比较 1．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 2．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 3．已知，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负指数、平方和零指数幂的计算，注意零指数幂的底数不能为零，根据运算法则分别计算的值，再比较大小． 【详解】∵  ， ， ， ∴， 即． 故选：C． 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 题型八、实数的混合运算 1．计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 2．计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 3．（2022·贵州铜仁·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，实数的加法运算，算术平方根，分式化简，幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和乘方，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂和绝对值的性质，分别计算两部分后相减． 【详解】解：原式． 故答案为． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 8．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查乘方运算、乘法运算、绝对值的性质、二次根式的化简等知识点．先分别计算各项，根据乘方的定义计算，根据乘法法则计算，根据绝对值的性质，因为，所以，化简为，最后将各项结果进行加减运算． 【详解】解： ． 9．计算：． 【答案】； 【分析】本题考查了实数的混合运算．先化简立方根、绝对值、计算乘方，再运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 题型九、程序设计与实数运算 1．（24-25七年级下·山西大同）对于如下运算程序： (1)若，则 ． (2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．（只填写一个即可） 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查立方根，程序图的计算，理解程序图的含义，掌握立方根的计算是关键． （1）根据程序图的计算，立方根的计算即可求解； （2）根据，是有理数，程序图循环，无法得到的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵是有理数， ∴，是无理数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵第一次：，是有理数， 第二次：，是有理数， ∴如此循环，无法得到的值， 故答案为：． 2．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 3．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 题型十、新定义下的实数运算 1．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（）； （）（或，答案不唯一） （） （） 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （）由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：或或， 故答案为：或或； （）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 2．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： (1)的“坐标区间”为______； (2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“坐标区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“坐标区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“坐标区间”的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“坐标区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“坐标区间”为， ∴，即， ∵的“坐标区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴的值为3． 3．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 4．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 【答案】(1)3,4 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键掌握各运算法则． （1）利用新定义运算法则进行计算即可； （2）利用新定义法则进行整理，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴； ， ∴； 故答案为：3,4； （2）解：∵， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． 题型十一、实数运算的实际应用 1．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买件同种产品．已知这三个工厂生产的产品的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 (1)快乐公司从甲厂购买 件产品； (2)快乐公司购买的件产品中优等品有 件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品的比例，提高所购买的件产品中的优等品的数量． 若从甲厂购买产品的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品，才能使所购买的件产品中优等品的数量为件； 你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的比例，使所购买的件产品中优等品的数量为件．若能，请问应从甲厂购买多少件产品；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)从乙工厂购买件产品，从丙工厂购买件产品； 应从甲厂购买件或者件产品 【分析】本题考查了扇形统计图，二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意列二元一次方程组，根据实际情况结合整数性求出方程的解． （1）从扇形图可知甲占总数的，用总数乘以所占比例可求出解； （2）根据“优等品数量购买总数购买比例对应的优等品率”即可求解； （3）设从乙厂购买件产品，从丙厂购买件产品，列方程组求解即可；设从甲厂购买件产品，从乙厂购买件产品，则从丙厂购买件产品，根据题意列方程，并结合优等品数、购买产品数量均为整数即可得解． 【详解】（1）解：快乐公司从甲厂购买产品：（件）． 故答案为： ． （2）解：快乐公司购买的件产品中优等品有：（件）． 故答案为： ． （3）解：设从乙厂购买件产品，从丙厂购买件产品， 根据题意得，， 解得 ． 答：从乙工厂购买件产品，从丙工厂购买件产品； 设从甲厂购买件产品，从乙厂购买件产品，则从丙厂购买件产品， 根据题意得， ， 整理得 ， 、、、、均为正整数， 只能取、，满足条件． 答：应从甲厂购买件或者件产品 ． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 3．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 4．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 题型十二、与实数运算相关的规律 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 2．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算方法（利用完全平方数比较）和数轴上点与实数的一一对应关系，解题的关键是通过找出与14相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再匹配数轴上各点的区间． 先找出小于 14 和大于14的最近完全平方数：，；由可得，即；结合数轴上点的区间确定表示的点为R． 【详解】解：∵，，且 ∴，即； 又∵数轴上点P在1～2之间，点Q在2～3之间，点R在3～4之间，点S在4～5之间， ∴表示的点是点 R， 故选：C． 2．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 3．已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据取整函数定义，分段计算每个整数区间内点的y值之和，再累加所有区间和最后一个点的值计算即可． 【详解】解：负数区间处理： 区间：包含4个点，每个点，和为． 区间到：共201个区间，每个区间5个点，y值从到．和为． 正数区间处理： 区间到：共203个区间，每个区间5个点，y值从0到202． 和为． 最后一个点：，直接加203． 总和计算： ． 故选：D． 5．将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是弄清楚题目给出的计算程序．由于，若，则，根据这个方程求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 化简后得，解得． 故答案为：2． 6．（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 7．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了算术平方根的概念以及对新定义“和谐组合”的理解与运用，解题的关键是根据＂和谐组合＂的定义列出关于的等式，再结合最大算术平方根与最小算术平方根的关系求解． 先根据“和谐组合”的定义，再结合最大算术平方根是最小算术平方根的3倍分情况讨论求出的值． 【详解】由题意可分3种情况， （1）， 解得：，不符合题意， （2）， 解得：，符合题意， （3）， 解得：，不符合题意， 综上，的值为18， 故答案为：18． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，立方根的定义计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 9．（2025·河北石家庄·三模）定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 【答案】(1)是；不是 (2)同意，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据定义计算即可； （2）设这个三位平衡数为，整理可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：，357是平衡数； ，314567不是平衡数； 故答案为：是；不是； （2）解：同意． 理由：设这个三位平衡数为， ， 一定能被3整除， 即任意一个三位平衡数一定能被3整除． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 无理数和实数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、无理数的判断 1 题型二、无理数的大小估值 2 题型三、整数部分和小数部分的有关计算 2 题型四、实数的概念和分类 3 题型五、实数的性质 4 题型六、实数与数轴 4 题型七、实数的大小比较 5 题型八、实数的混合运算 5 题型九、程序设计与实数运算 6 题型十、新定义下的实数运算 7 题型十一、实数运算的实际应用 7 题型十二、与实数运算相关的规律 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、无理数的判断 1．下列四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中都是无理数的为（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七下·山东淄博·期末）下列说法错误的是（   ） A．是有理数 B．是无理数 C．不是分数 D．的平方根是 4．下列说法正确的是（    ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．无理数是无限小数 D．有部分无理数不能用数轴上的点表示 题型二、无理数的大小估值 1．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 2．如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 3．若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三、整数部分和小数部分的有关计算 1．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 3．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 4．已知的小数部分，用表示它的整数部分．求的值． 5．已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 6．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 7．观察：，即的整数部分为2，小数部分为． 根据上述规律，解决下面的问题： (1)如果的整数部分为的立方根是2，求和的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 题型四、实数的概念和分类 1．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 3．下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 4在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 题型五、实数的性质 1．（1）的倒数是 ． （2）相反数和绝对值都为的实数是 ． （3）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期末）实数的相反数是 ． 28．的相反数是 ，的倒数是 ，的立方根是 ． 题型六、实数与数轴 1．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 2．如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有 个． 3．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 4．春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 题型七、实数的大小比较 1．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型八、实数的混合运算 1．计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 2．计算结果为（） A． B． C． D． 3．（2022·贵州铜仁·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 5．计算： ． 6．计算： ． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算：； 9．计算：． 题型九、程序设计与实数运算 1．（24-25七年级下·山西大同）对于如下运算程序： (1)若，则 ． (2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．（只填写一个即可） 2．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 3．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 题型十、新定义下的实数运算 1．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 2．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： (1)的“坐标区间”为______； (2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 3．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 4．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 题型十一、实数运算的实际应用 1．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买件同种产品．已知这三个工厂生产的产品的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 (1)快乐公司从甲厂购买 件产品； (2)快乐公司购买的件产品中优等品有 件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品的比例，提高所购买的件产品中的优等品的数量． 若从甲厂购买产品的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品，才能使所购买的件产品中优等品的数量为件； 你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的比例，使所购买的件产品中优等品的数量为件．若能，请问应从甲厂购买多少件产品；若不能，请说明理由． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 3．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 4．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 题型十二、与实数运算相关的规律 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 2．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 2．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 5．将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 6．（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 7．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）计算： (1)； (2) 9．（2025·河北石家庄·三模）定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $