精品解析：辽宁省盘锦市双台子区第一中学2024—2025学年 九年级上学期数学期初测试卷

2024双区一中九年级（上）期初测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象与轴交点坐标为 C. 函数图象的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（是常数，）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，下列说法中①；②；③当时，；④；⑤．正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①②③④⑤ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 化简：＝_________． 12. 在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为______． 13. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是________． 14. 如图，在矩形中，，为的中点，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，，若，，则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为__________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 17. 如图，O，M，N在正方形网格纸的格点上，每个小正方形的边长为1个单位长度，连接． （1）先将线段向左平移4个单位长度得到线段．，其中M，N的对应点分别为，再将线段绕点 O 逆时针旋转得线段 ,的对应点分别为． （2）连接 ，利用尺规作图画出平分线，并在射线上描出点Q，使得． 18. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 19. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有700名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：，B：，C：，D：四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x/分 频数 频率 A 25 0.5 B b 0.02 C 14 0.28 D 10 0.2 八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下： 80，80，80，82，83，85，86，87，88，88，89，89，89． （1）表格中，______； （2）八年级测试成绩的中位数是______，八年级测试成绩评价等级为A的人数有______人； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探 （1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则 ． 探究迁移 （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 23. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024双区一中九年级（上）期初测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象与轴交点坐标为 C. 函数图象的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析图象的开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，进而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数的顶点式，其中，，， ∴，抛物线开口向上，故A错误； 当时，，与y轴交点为，故B错误； 对称轴为直线，故C正确； ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用提公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故选：B． 4. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律是解题关键．根据“左加右减，上加下减”，求解平移后的解析式即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是， 故选：A． 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D． 【详解】解：甲的速度为：（米/分）， （米/分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意； 设，， 由函数图象得：， 解得 ， ∴， ∵乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍， ∴乙提速后的速度为：30米/分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ， ∴， 当时， 则， 解得， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时， 甲、乙两人共攀登了：（米）， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 故选：D． 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点，点，点到对称轴的距离分别为2、1、3，距离对称轴越近的点，函数值越小， ∴． 故选：B． 10. 已知二次函数（是常数，）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，下列说法中①；②；③当时，；④；⑤．正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，从而判断①②，根据抛物线与x轴交点情况可判断③④，由y＝a−b＋c＜0结合即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下，则a＜0．对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， 则，即b=-2a， ∴，故②正确； 由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和−1之间，在两个交点之间时，y＞0，在x=3和x＝−1时，y＜0，故③错误； ∵当x＝−1时，有y＝a−b＋c＜0，故④正确； ∵， ∴a=， ∵a−b＋c＜0， ∴，即， 整理得，故⑤错误， ∴正确的有①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 化简：＝_________． 【答案】2x-3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，x≥2，再根据x的取值范围进行化简即可． 【详解】解：∵x−2⩾0， ∴x⩾2， ∴=x−1， ∴原式=x−2+(x−1)=x-2+x-1=2x-3． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 12. 在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点O对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是解题的关键． 13. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，根据方差越小，数据波动越小，身高越整齐，故比较四队方差，丙队方差最小可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平均身高相同， ∴身高比较整齐的游泳队是丙队． 故答案为：丙． 14. 如图，在矩形中，，为的中点，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于，， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∵，为的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．能根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，且， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣；（2）x1＝1+，x2＝1﹣ 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 整理得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0， 可得x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝-； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， 方程整理得：x2﹣2x＝， 平方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1+，x2＝1-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键． 17. 如图，O，M，N在正方形网格纸的格点上，每个小正方形的边长为1个单位长度，连接． （1）先将线段向左平移4个单位长度得到线段．，其中M，N的对应点分别为，再将线段绕点 O 逆时针旋转得线段 ,的对应点分别为． （2）连接 ，利用尺规作图画出平分线，并在射线上描出点Q，使得． 【答案】（1）如图：线段，即为所求． （2） 如图：射线，点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图、旋转作图、作角平分线、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平移、旋转的性质作图即可； （2）先用尺规作图作出平分线，再的垂直平分线，其与的交点即为点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 19. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有700名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：，B：，C：，D：四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x/分 频数 频率 A 25 0.5 B b 0.02 C 14 0.28 D 10 0.2 八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下： 80，80，80，82，83，85，86，87，88，88，89，89，89． （1）表格中，______； （2）八年级测试成绩的中位数是______，八年级测试成绩评价等级为A的人数有______人； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【答案】（1）1 （2）88.5，22 （3）854人 【解析】 【分析】（1）用总人数乘以相应的频率可得b的值； （2）根据中位数的定义和扇形统计图中等级为A的人数所占的比例求解即可； （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：1； 【小问2详解】 因为A等级人数为：人，抽选总人数为50人， 所以中位数是第25、26位的成绩的平均数，即89分和88分的平均数， 所以八年级测试成绩的中位数是； 八年级测试成绩评价等级为A的人数为人， 故答案为：88.5，22； 【小问3详解】 由题意得：不低于80分的为A、B等级，七年级有人， 则七年级防电信诈骗意识较强的约有人， 八年级A、B等级的有人， 则八年级防电信诈骗意识较强的约有人， 人， 答：估计该校七八年级防电信诈骗意识较强的一共有854人． 【点睛】本题考查了频数、频率分布表，扇形统计图，中位数以及用样本估计总体，熟练掌握频数、频率和总数之间的关系是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ． 又点分别是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理， （1）根据题意得．由三角形中位线定理得是的中位线，则，那么，四边形是平行四边形，结合垂直得，即四边形是矩形． （2）由（1）可知则，．在中求得，则，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知 ∵ ∴， ． ． 在中，， ， ， 四边形的面积是． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 22. 综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探 （1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则 ． 探究迁移 （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，过点D作交于点H． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵将绕点D按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而得出，然后根据中点的定义，接下来根据勾股定理求出，再根据旋转的性质得，最后根据勾股定理得出答案； 对于（2），作交于点H，先根据等腰三角形的性质得出，及，再根据“边角边”证明， 可得，然后根据“角边角”证明， 可得，进而得出，则此题可证； 对于（3），在上截取，连接，先根据“边角边”证明，可得 ，当M，，D三点共线，且时，有最小值，再根据等腰三角形的性质得，然后说明，可得点B，Q，D三点共线，接下来说明，可得，进而得出,则此题可解． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵D恰好为的中点， ∴， ∴． ∵将绕点D按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）解：．理由如下： 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当M，，D三点共线，且时，有最小值，如图． ∵， ∴． 由题可知，． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴B，Q，D三点共线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 【答案】（1）解析式为；B的坐标为 （2）不会失误，理由如下： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为(米). ∵， ∴运动员此次跳水不会失误 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为(米).即可得到答案； （3）由人水处点得到，①当抛物线经过点M时，，②，解得；当抛物线经过点N时，，③由①③联立方程组，解得.即可得到答案． 【小问1详解】 设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 当时，， 解得或(舍去)， 点B的坐标为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∵. ∵人水处点， ∴，① 当抛物线经过点M时，，② 由①②联立方程组，解得； 当抛物线经过点N时，，③ 由①③联立方程组，解得 ∵出水处点D在之间(包括M，N两点)， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $