精品解析：江西省丰城市第一中学2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

丰城一中2025—2026学年上学期初二数学期末试卷 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在、、、中，分式的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，分母中含有字母，是分式， 所以分式有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，解答此题的关键只要是分母中含有字母的式子即为分式． 2. 课堂上老师布置了四个计算题，以下是小林给出的四个题的答案，则小林做对了（ ） 计算：； ； ； ． A. 题 B. 题 C. 题 D. 题 【答案】B 【解析】 【分析】利用积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项逐项判断即可解答． 【详解】解：，故此计算错误； ，故此计算错误； ，故此计算错误； ，故此计算正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项等知识点，正确运用相关运算法则是解题关键． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项正确，符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握多项式因式分解的方法是解本题的关键． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，求一个数的立方根，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，符合题意； B．，故该选项计算正确，不合题意； C．，故该选项计算正确，不合题意； D．，故该选项计算正确，不合题意； 故选：A． 5. 已知：，，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 42 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 已知，则的值是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练运用利用整体思想是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果是二次根式，那么的取值范围是______． 【答案】x2 【解析】 【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10-5x≥0，从而解得x的取值范围． 【详解】解：∵是二次根式， ∴10-5x≥0， ∴x2． 故答案为：x2． 【点睛】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件． 8. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，先根据，，得出，从而求出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知，则的值为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，方程两边同时除以，得到，进而得到，再利用完全平方公式的变形进行计算即可． 【详解】解：∵，当时，方程不成立， ∴， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∴； 故答案为：14． 10. 若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 11. 已知，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法逆运算，幂的乘方逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．利用同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 关于x的方程无解，则______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先把原方程去分母得到，据此分式方程有增根时和两种情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∴， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根时或， ∴或， ∴， ∴， ∴； 综上所述， 或 故答案为：0或． 三．解答题（共5小题，每小题6分） 13. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）利用平方差公式因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘最简公分母，得：   ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘最简公分母，得：   ， 解得  当时，，因此是增根，原方程无解． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据乘方，零次幂，负整数指数幂的运算法则进行化简，然后再进行加减法运算即可； （2）先根据积的乘方运算法则进行化简，然后再根据整式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握乘方运算法则、零指数幂、负整数指数幂的运算法则和幂的运算法则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2． 【答案】x（x＋2），3﹣2 【解析】 【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式＝× ＝× ＝x（x＋2）． 把x＝﹣2代入，原式＝（﹣2）（﹣2＋2）＝3﹣2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题（共3题，每小题8分） 18. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系： ． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 【答案】（1） （2）， （3） （4）13 【解析】 【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差； （2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面积可表示阴影部分面积； （3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系； （4）由（3）可得，将，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知： 图②中阴影部分的正方形的边长是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方法一：阴影部分面积， 方法二：阴影部分面积， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由（2）可得：阴影部分面积， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得：， 把，代入得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全平方公式是解题的关键． 19. 已知． （1）化简分式； （2）若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 20. 某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等． 进价(元) 售价(元) A产品 a 400 B产品 120 （1）求表中a的值； （2）该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？ 【答案】（1） （2）A 种产品至少要购进40件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系与不等关系，列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据等量关系：1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等，列出分式方程，并求解，最后检验即可； （2）设A 种产品购进x件，则B种产品购进件，根据：售完后利润不低于4800元，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故a的值为300； 【小问2详解】 解：设A 种产品购进x件，则B种产品购进件， 由题意得：， 解得：； 答：A 种产品至少要购进40件． 五、（本小题共2题，每小题9分） 21. 观察下列方程及其解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为 解答下列问题： （1）请猜想：方程的解为 ； （2）请猜想：关于x的方程 的解为，； （3）解分式方程：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的特征律即可得到解答； （2）根据题中给出的特征即可得到解答； （3）先把原方程变形后，利用得出的特征即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得的解为，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， 由规律可得：， ∴， 经检验，是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，理解并找出题目中的特征是解决本题的关键． 22. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：． （2）计算：________（为正整数）． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键： （1）根据分母有理化，计算即可； （2）根据分母有理化，计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 六、（本小题12分） 23. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：________； （2）已知，求的值． （3）已知，，试比较，的大小． （4）若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） （4）3 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， 故答案为：． 【小问2详解】 ， ， ， 又，，， ，，， ，， ． 【小问3详解】 ，， ，， ． 【小问4详解】 解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城一中2025—2026学年上学期初二数学期末试卷 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在、、、中，分式的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 课堂上老师布置了四个计算题，以下是小林给出的四个题的答案，则小林做对了（ ） 计算：； ； ； ． A. 题 B. 题 C. 题 D. 题 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：，，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 42 D. 96 6. 已知，则的值是：（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果是二次根式，那么的取值范围是______． 8. 已知，则___________ 9. 已知，则的值为_________． 10. 若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 11. 已知，，则等于______． 12. 关于x的方程无解，则______． 三．解答题（共5小题，每小题6分） 13. 因式分解： （1）； （2）． 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程 （1）； （2）． 16. 计算 （1） （2） 17. 先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2． 四、解答题（共3题，每小题8分） 18. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系： ． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 19. 已知． （1）化简分式； （2）若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 20. 某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等． 进价(元) 售价(元) A产品 a 400 B产品 120 （1）求表中a的值； （2）该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？ 五、（本小题共2题，每小题9分） 21. 观察下列方程及其解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为 解答下列问题： （1）请猜想：方程的解为 ； （2）请猜想：关于x的方程 的解为，； （3）解分式方程：． 22. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：． （2）计算：________（为正整数）． （3）计算：． 六、（本小题12分） 23. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：________； （2）已知，求的值． （3）已知，，试比较，的大小． （4）若为有理数且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $