专题6.5 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理平面向量坐标表示与运算的知识体系，将“平面向量的坐标表示”“坐标运算”两大知识点按逻辑关系呈现，用对比表格归纳坐标求法、线性运算规则等要点，清晰展示重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“题型分层训练”设计，9大题型覆盖从基础坐标表示到综合几何应用，如“向量坐标解决三点共线问题”培养数学思维，拓展训练提升应用意识。配套即时训练和自我检测，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师实施精准教学。

专题6.5 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用坐标表示平面向量 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 题型三 由向量线性运算结果求参数 题型四 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型五 利用坐标求向量的模 题型六 由坐标判断向量是否共线 题型七 由向量共线(平行)求参数 题型八 由坐标解决三点共线问题 题型九 由坐标解决线段平行和长度问题 拓展训练一 向量线性运算的相关求解 拓展训练二 由坐标解决相关问题 知识点一： 平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 【即时训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）设，，规定两向量之间的一个运算“”为，若已知，，则等于(　　) A．(－2,1) B．(2,1) C．(2,－1) D．(－2,－1) 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 知识点二： 平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，若三点共线，则的关系式为 . 【经典例题一 用坐标表示平面向量】 【例1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（　　） A．（4，﹣3） B．（0，﹣3） C．（，﹣3） D．（4，3） 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 4．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，． （1）求两点与的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量． 【经典例题二 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，点满足，则点的坐标为 ． 4．（24-25高一下·江西·月考）已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【经典例题三 由向量线性运算结果求参数】 【例1】（24-25高一下·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【例2】（24-25高一下·山东东营·期中）已知点，，，，且点满足，其中， (1)若，点P在直线上，求实数； (2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式. 1．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（24-25高二上·江苏南通·月考）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知点，．若＝＋，试求λ为何值时， (1)点P在一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 【经典例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．不能构成平行四边形 【例2】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 1．（2025·全国·模拟预测）在凸四边形中，，，且为等边三角形，若点在四边形上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川成都·月考）在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧的中点为(如图所示).若，则的值是 ． 4．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，点，，记，． (1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； (2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 【经典例题五 利用坐标求向量的模】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求证： 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·单元测试）已知向量 , ，则向量的模的最大值是 . 4．（24-25高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量. 求满足的实数； 设，满足.且，求向量. 【经典例题六 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知三点，,，向量,向量,求证：向量． 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·湖北武汉·三模）已知向量，，向量，，若，则实数 . 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【经典例题七 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，，若，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【经典例题八 由坐标解决三点共线问题】 【例1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 1．（2025高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三点，，共线，则的值为 ． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）已知向量，，，求的值． （2）已知，，与共线且方向相同，求x． （3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 【经典例题九 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例1】（24-25高一下·辽宁大连·期中）与向量平行的单位向量为（） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）给出下列命题：其中假命题的是（ ） A．若平面向量 满足， 则 B．若，满足且与同向，则 C．若平面向量 满足，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，且()，则 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【拓展训练一 向量线性运算的相关求解】 【例1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·湖南岳阳·月考）在直角坐标系中，已知三点，求重心G的坐标和的面积． 1．（24-25高三·云南·月考）已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·山西晋中·月考）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当为线段上的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知向量，，若，且，，则 . 4．（24-25高一下·河北衡水·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【拓展训练二 由坐标解决相关问题】 【例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【例2】（24-25高二上·湖北·月考）已知平面内有两两不重合的三点，，.若A，B，C三点共线，求实数a的值. 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，且相异三点、、共线，则实数等于 A． B．或 C． D．或 2．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为 . 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3)的单位向量． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·山东济南·月考）已知向量，则（    ） A． B．10 C． D．4 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 5．（25-26高一下·全国·课后作业）若三点共线,则的值为 A．1 B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 7．（多选）（24-25高一下·河南三门峡·月考）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 8．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 10．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 12．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则 ． 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，且，，则中点的坐标是 . 14．（25-26高一上·北京西城·期末）设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为 ， . 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，且相异三点、、共线，则实数 . 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 17．（25-26高一·湖南·课后作业）已知点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及． (1)当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明为什么． 18．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 19．（24-25高一上·青海西宁·期末）已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若（），且，求与的夹角的余弦值． 20．（24-25高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用坐标表示平面向量 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 题型三 由向量线性运算结果求参数 题型四 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型五 利用坐标求向量的模 题型六 由坐标判断向量是否共线 题型七 由向量共线(平行)求参数 题型八 由坐标解决三点共线问题 题型九 由坐标解决线段平行和长度问题 拓展训练一 向量线性运算的相关求解 拓展训练二 由坐标解决相关问题 知识点一： 平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 【即时训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）设，，规定两向量之间的一个运算“”为，若已知，，则等于(　　) A．(－2,1) B．(2,1) C．(2,－1) D．(－2,－1) 【答案】A 【分析】设,由题设中运算法则列出的方程组求解即可. 【详解】设,由题设中运算法则,得， 即解得故. 故选：A． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 知识点二： 平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由已知的坐标，结合向量共线的坐标表示检验各选项即可判断. 【详解】对于A，因为，即，故不能作为基底，故A错误； 对于B，因为是零向量，故不能作为基底，故B错误； 对于C，因为，即与为不共线的非零向量，可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，即，故不能作为一组基底，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，若三点共线，则的关系式为 . 【答案】 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件即可得到的关系式. 【详解】由可得： ， 因为三点共线，所以， 所以，整理得：. 故答案为： 【经典例题一 用坐标表示平面向量】 【例1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【答案】． 【分析】根据平行四边形法则，结合直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】如图，    作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（　　） A．（4，﹣3） B．（0，﹣3） C．（，﹣3） D．（4，3） 【答案】C 【解析】根据（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐标，再求的坐标. 【详解】因为（x，1），（1，﹣2），且∥， 所以 ， 所以 ， 所以（，1）， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，． （1）求两点与的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）结合图象以及已知条件求得的坐标. （2）利用投影向量公式计算出投影向量. 【详解】（1）过作轴，垂足为；过作轴，垂足为；过作，垂足为，如图所示. 依题意可知， ，，，则， ，所以. （2）， 所以向量在向量上的投影向量为. 【经典例题二 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的定义即可求得结果. 【详解】因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转， 因为点，，所以， 根据题干定义， 得点P的坐标为， 故选：D 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【详解】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 2．（多选）（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模的计算可判断选项． 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 因为，所以，且，故C错误，D正确. 故选：BD 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由 知 为 、 的中点，由中点坐标公式求解. 【详解】由 可得 ，所以 为 、 的中点，又 、. 所以点 的坐标为 . 故答案为：. 4．（24-25高一下·江西·月考）已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，由三点共线，可得. （2）由，，若四边形为矩形，求解．即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以，． 又三点共线，所以，所以， 解得． （2）由 ， 若四边形为矩形，则．即， 解得． 由，得 解得．所以． 【经典例题三 由向量线性运算结果求参数】 【例1】（24-25高一下·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 故选：A 【例2】（24-25高一下·山东东营·期中）已知点，，，，且点满足，其中， (1)若，点P在直线上，求实数； (2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据向量的坐标运算化简条件求出点的坐标，结合点在直线上，列方程求；(2)根据向量坐标运算化简条件，消去，可得，满足的关系式. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 故，即，化简可得， 因为点P在直线上，故，解得： （2）由，得：， 代入，得：，消去，得： 1．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：      设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故. 故选：C 2．(多选)（24-25高二上·江苏南通·月考）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别设点，，，第四个顶点为，再分、、三种情况讨论，分别计算可得. 【详解】分别设点，，，第四个顶点为， 若，即，则，解得，即； 若，即，则，解得，即； 若，即，则，解得，即； 故选：ACD 3．（24-25高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知点，．若＝＋，试求λ为何值时， (1)点P在一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 【答案】(1)λ＝ (2)－1<λ<9 【分析】根据点与坐标的关系的出向量及向量的加法的坐标表示及向量相等求出的关系， （1）根据题意可得，进而可以求出； （2）根据第一象限的特点即可求解. 【详解】（1）设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)， 又∵=(5，2λ)－(λ，3)=(5－λ，2λ－3)， ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)， ∴＝＋=(5－λ，2λ－3)+(4－λ，2)=(9－2λ，2λ－1)， ∴则 若P在一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝. （2）由（1）知， 若P在第一象限内，则 ∴－1<λ<9. ∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上； －1<λ<9时，点P在第一象限内． 【经典例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．不能构成平行四边形 【答案】B 【分析】由向量的坐标公式和向量共线定理即可得出结果. 【详解】∵＝(－4，3)，＝(8，0)，＝(4，－3)，＝(－8，0)，∴，∴四边形ABCD为平行四边形． 故选：B 【例2】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 【答案】点的坐标为. 【分析】由条件结合平行四边形的性质可得，设点的坐标为，列方程求可得结论. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，设点的坐标为， 又， 所以， 所以，， 所以，， 故点的坐标为. 1．（2025·全国·模拟预测）在凸四边形中，，，且为等边三角形，若点在四边形上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别讨论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值. 【详解】如图所示， 四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则， ①当点在边上运动时，设，则， ∴， 当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设，则， ∴， 当时，的最小值为； 综上，的最小值为； 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：AD 3．（24-25高三上·四川成都·月考）在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧的中点为(如图所示).若，则的值是 ． 【答案】 【分析】建立如图所示直角坐标系，写出各点坐标，由以为圆心，为半径的圆弧的中点为，以及，得出点的坐标，进而求出的值． 【详解】 建立如图所示直角坐标系，则，，若， 又因为以圆心，为半径的圆弧中点为， 所以点的坐标为，，， 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，点，，记，． (1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； (2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的定义，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解. 【详解】（1）设与的夹角为， 则． （2）设点，因为四边形为平行四边形，所以． 又，， 所以，解得． 故． 【经典例题五 利用坐标求向量的模】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由进行化简，由此确定正确答案. 【详解】如图所示，作，垂足为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设. 因为， 所以， 所以. 又因为，所以， 即，所以. 又AO⊥BC，故为等腰三角形. 故选：A 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求证： 【答案】证明见解析 【分析】设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，即可求出、、的坐标，即可求出其模，从而得证． 【详解】解：设，，，， 则，， 又， ，解得，即，所以，，，所以，，，，所以，，即 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，通过坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设， 则， 上式为开口向上的二次函数，当时， ， 因为， 又因为， 所以， 解得，即，故， 所以两点的横坐标相同，故, 所以为直角三角形. 故选：B.    2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为，所以， 与向量方向相反的单位向量为， 故选：B 3．（25-26高一·全国·单元测试）已知向量 , ，则向量的模的最大值是 . 【答案】 【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最大值. 【详解】∵ ， 则， 当时，有最大值，且为， 故答案为： 4．（24-25高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量. 求满足的实数； 设，满足.且，求向量. 【答案】     或. 【解析】（1）根据即可得出，从而得出，解出，即可； （2）根据，，得到方程组，解得. 【详解】解: 且 又，， ，解得或， 所以或. 【经典例题六 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 【例2】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知三点，,，向量,向量,求证：向量． 【答案】见解析 【分析】由 求得点E的坐标，同理求得点F的坐标，可得的坐标． 再求出的坐标，根据两个向量共线的条件可证∥． 【详解】，) 则点坐标为 ， 则点坐标为 则， 由 知 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】由平面向量基底的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由零向量与共线，故A错误； 对于B，因为，所以两向量不共线，故B正确； 对于C，由题意可得，所以两向量共线，故C错误； 对于D，由，可得两向量不共线，故D正确. 故选：BD 3．（2025·湖北武汉·三模）已知向量，，向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算． 【详解】根据题意可知，不共线 若，则，使得，即 则可得，解得 故答案为：． 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 【经典例题七 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据向量平行列出方程，即可求解. 【详解】根据题意知，则，解之可得. 故选： 【例2】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，，若，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】根据题意，平面向量，，且， 所以，解得. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 【答案】3或 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，且， 所以有，化简得， 解得或. 故答案为：3或-1. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，通过相等向量，坐标相同列出等式求解即可； （2）由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 即， 所以解得， 所以点D的坐标为． （2）因为， ， 所以， ． 由与平行， 得． 所以． 【经典例题八 由坐标解决三点共线问题】 【例1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的坐标，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】已知三点、、共线，则，， 由题意可知，所以，，解得. 故选：D. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】或11 【分析】求出，，由A，B，C三点共线得到与共线，利用向量共线的公式求解即可. 【详解】， ． 若A，B，C三点共线，则与共线． 则，即． 解得或． 故当的值为或11时，A，B，C三点共线． 1．（2025高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】首先根据已知条件，首先求出，的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 因为 A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线， 故，即， 解得，，. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】三点共线即向量共线，由向量共线的坐标运算求得值再判断． 【详解】三点共线，即共线，所以存在实数使得， 即， 又不共线，所以，，又，所以或． 故选：CD． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三点，，共线，则的值为 ． 【答案】6 【分析】通过向量共线的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由题意：． ． 三点共线，即向量，共线， ， ． 故答案为：6 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）已知向量，，，求的值． （2）已知，，与共线且方向相同，求x． （3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】（1）  （2）  （3）或 【解析】（1）根据向量的坐标运算法则，计算出，的坐标，再根据平面向量共线定理得到方程，解得； （2）根据平面向量共线定理得到方程，解得，再代入检验； （3）A，B，C三点共线，即，共线，存在实数，使得．得到方程组，解得. 【详解】解：（1），， 由，可得，解得． （2）∵，，，∴，解得，． 当时，，，与共线且方向相同； 当时，，，与共线且方向相反． ∴． （3）方法一  ∵A，B，C三点共线，即，共线，∴存在实数，使得． ∵，， ∴，即解得或． 方法二  由题意知，共线．∵，，∴， ∴，解得或． 【经典例题九 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例1】（24-25高一下·辽宁大连·期中）与向量平行的单位向量为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可得与向量平行的单位向量为即可求出. 【详解】因为，所以与向量平行的单位向量为． 故选：D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断标准有两个，一是反向，二是模为1. 【详解】因为与反向，所以舍去A,C,D 因为的模为1， 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）给出下列命题：其中假命题的是（ ） A．若平面向量 满足， 则 B．若，满足且与同向，则 C．若平面向量 满足，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】ABC 【分析】根据举反例否定A, 根据两向量不能比较大小判断B；举反例否定C,根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断D； 逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A，取，，此时，，但是，故A为假命题； 对于B，,两向量不能比较大小,B为假命题； 对于C，若空间向量 取，，取为零向量，此时满足，但是 ，故C为假命题； 对于D，，且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此,D选项正确； 故选：ABC. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，且()，则 ． 【答案】 【解析】根据可得与共线，再根据模长关系求解即可. 【详解】因为，故，故与共线且. 又，，所以． 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）；；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 【拓展训练一 向量线性运算的相关求解】 【例1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 【例2】（24-25高一下·湖南岳阳·月考）在直角坐标系中，已知三点，求重心G的坐标和的面积． 【答案】， 【分析】首先求出、的坐标，设重心，的中点为，则，根据向量相等得到方程组，解得即可求出的坐标，再根据求出三角形的面积； 【详解】解：因为，所以，，所以， 设重心，的中点为，，则，即，所以，解得，所以；所以，所以 1．（24-25高三·云南·月考）已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：将,视为定点,根据、分别在     轴、 轴上,得到垂直关系, 是为直径的圆上的动点,的中点为圆心,根据圆心和的位置关系即可得取值范围. 法二：设的坐标,根据,得到,,整理式子至,利用均值不等式得出,则即可算出距离的取值范围. 【详解】解：法一：将,视为定点,,视为以为直径的圆上的动点,的中点为,当过圆心,且在,之间时,取得最小值,在的延长线上时,取得最大值． 故选:C 法二：设,则,,,即,,取等号条件：,令,则或,解得． 故选:C 2．（多选）（24-25高三上·山西晋中·月考）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当为线段上的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项. 【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，即， 对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确； 对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确； 对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确； 对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知向量，，若，且，，则 . 【答案】. 【分析】由题，可设，，又由，若，可求得向量，从而可得到本题答案. 【详解】由，，可设， 又由，，可设， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·河北衡水·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）解法一：根据结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标； 解法二：根据线段、的中点重合，结合中点坐标公式可求得点的坐标； （2）利用向量旋转公式求出向量的坐标，再结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】解：（1）解法一：设点，    因为、、，则，， 因为四边形为平行四边形，则，即，解得， 故点的坐标为； 解法二：设点，线段的中点为， 因为四边形为平行四边形，则线段的中点也为点，则，解得， 故点的坐标为； （2）因为点、，则， 设点，将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 则， 又因为，所以，，解得，即点. 【拓展训练二 由坐标解决相关问题】 【例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 【例2】（24-25高二上·湖北·月考）已知平面内有两两不重合的三点，，.若A，B，C三点共线，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于三点共线，所以， 所以， 解得或. 当时，两点重合，不符合题意. 经验证可知符合题意. 所以. 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，且相异三点、、共线，则实数等于 A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出向量、的坐标，利用结合共线向量的坐标表示列等式求出的值，将实数的值代入、、的表示，要使得三个向量都不能相等. 【详解】，， 由已知得，即，解得或， 当时，，即、两点重合，与已知矛盾. 当时，，，，、、三点是相异三点.因此，，故选：C. 2．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 【详解】因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为 . 【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0) 【分析】根据平行四边形的特征：对边平行且相等，即对边的向量相等，分类讨论求得第四个顶点的坐标. 【详解】设A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点D(x，y)， 由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下: ①若平行四边形为ABCD，则=. 因为=(-1，1)，=(2-x，1-y)， 所以解得即D(3，0); ②若平行四边形为ABDC，则=. 因为=(-1，1)，=(x-2，y-1)， 所以 解得即D(1，2); ③若平行四边形为ACBD，则=. 因为=(1，1)，=(-x，1-y)， 所以解得即D(-1，0). 故答案为(3，0)或(1，2)或(-1，0). 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，注意分类讨论的思想. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3)的单位向量． 【答案】(1)（,16） (2) (3) 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示计算； （2）求出的坐标，然后由模的坐标运算得结论． （3）求出的坐标，再除以它的模即得． 【详解】（1） （2）因为，所以 （3）因为，所以的单位向量为． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由，结合向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】建立如图坐标系： 则，， ， ， 因在矩形内， 所以，即， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东济南·月考）已知向量，则（    ） A． B．10 C． D．4 【答案】A 【解析】设，根据向量的坐标运算建立方程可求出，求向量模即可. 【详解】设， 所以． 因为， 所以 解得， 所以，所以． 故选：A 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【答案】A 【分析】先根据向量共线求的值，再根据两向量方向相反进行验证. 【详解】向量，，因为，所以，解得或. 当时，，，与的方向相同，舍去； 当时，，，与的方向相反，符合题意. 故选：A 5．（25-26高一下·全国·课后作业）若三点共线,则的值为 A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三点共线得，利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题：三点共线, ， 所以，， ， 所以. 故选：B 6．（多选）（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一下·河南三门峡·月考）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 【答案】BD 【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项. 【详解】选项A：判断与是否共线. ，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误. 选项B：判断与是否共线. ，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确. 选项C：判断与是否共线. 设，可得. 若与不共线，则不存在这样的实数使得成立； 若与共线，则与共线. 由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误. 选项D：判断与是否共线.设，即. 因为，不共线，所以不存在实数使得成立. 所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确. 故答案为：BD. 8．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据条件可得或，再根据平面向量的坐标表示即可. 【详解】因为点，，所以， 设，所以， 因为，且因为点P在直线上， 所以或， 故或, 即或，计算得或， 故P点坐标为或. 故选：AB. 9．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误. 【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误； 对于D，由与共线，则，解得，故D正确. 故选：AD. 10．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设第四个顶点为，分三种情况讨论：四边形、、为平行四边形，分别转化为、、，利用向量的坐标运算求出点的坐标，即可得出答案. 【详解】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论： ①若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为； ②若四边形是平行四边形，则，则， 即，解得，此时，点的坐标为； ③若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为. 综上所述，第四个顶点的坐标为或或， 故选：ABC. 11．（24-25高三上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 【答案】 【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案. 【详解】把向量顺时针旋转定角得到，得， 关于轴的对称点记为，则，即 把向量顺时针旋转定角得到，得，即 关于轴的对称点记为，则， 以此类推可得当为奇数时，， 当为偶数时，， 故的坐标为. 故答案为： 12．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义写出点的坐标，利用向量线性运算的坐标表示得到，再根据三角形外心的性质得到，建立方程，结合条件求解即可. 【详解】 如图，以点为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设，则由可得， 所以，则. 点为的外心，点在线段的垂直平分线上，故点的横坐标， 设，则， 所以，即， 因为，即，所以， 又因为，所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，且，，则中点的坐标是 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算求出点和点的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点的坐标. 【详解】由已知可得，则， ，则点的坐标为. ，，. 由中点坐标公式可知，中点的坐标为，故答案为：. 14．（25-26高一上·北京西城·期末）设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为 ， . 【答案】 （不唯一） （不唯一） 【分析】易得，再根据向量与共线，由求解. 【详解】因为向量，， ， 所以， 又因为，且向量与共线， 所以， 即， 故答案为：（不唯一） 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，且相异三点、、共线，则实数 . 【答案】 【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果. 【详解】，， 因为相异三点、、共线，所以， 则，解得或， 当时，，、重合，舍去， 故， 故答案为：. 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作交于，则，，，结合可得解； （2）由题意得，将（1）中代入可得结果. 【详解】（1）作交于，又，则， ∴，， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴坐标为. （2）∵， ∴， ∴坐标为. 17．（25-26高一·湖南·课后作业）已知点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及． (1)当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明为什么． 【答案】(1)当时，P在x轴上；当时，P在y轴上；当时， P在第四象限； (2). 【分析】用坐标表示出向量 （1）由点P的位置，分别列式子，求出m的值或范围； （2）先假设存在m符合题意，利用向量相等的条件列方程组，求出m的值 【详解】（1）因为点A（1，2），B（4，5），O（0，0）及 所以. 若P在x轴上，则，解得：； 若P在y轴上，则，解得：； 若P在第四象限，则，解得：. 综上所述：当时，P在x轴上；当时，P在y轴上；当时， P在第四象限； （2）假设四边形OABP能构成为平行四边形，则. 因为，所以，解得：m=0. 所以m=0时，四边形OABP能构成为平行四边形. 18．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据向量共线定理可得解; (2)利用投影向量公式即可求解. 【详解】（1）由题可设点的坐标为， 因为，，三点共线， 所以， 由于,, 则, 解得：, 所以点的横坐标为; （2）由(1)可得, 所以, 则, , 向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量为 19．（24-25高一上·青海西宁·期末）已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若（），且，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）设，由，，列方程组，即可解出向量的坐标； （2）先由，解出，得到，利用夹角公式求出与的夹角的余弦值． 【详解】（1）设，由，，可得 所以故 故或． （2）因为，由， 所以， 所以，故， 因为，， 所以． 20．（24-25高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标； （2）根据向量的坐标表示判断向量的共线. 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 学科网（北京）股份有限公司 $