专题6.4 平面向量基本定理重难点题型专训（3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.4 平面向量基本定理重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 平面向量共线定理证明点共线问题 题型六 平面向量共线定理证明线平行问题 题型七 平面向量共线定理的推论 题型八 已知向量共线(平行)求参数 拓展训练一 平面向量基本定理的应用及求值 拓展训练二 平面向量共线定理相关问题 知识点一： 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【即时训练】 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则 . 知识点二： 平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 知识点三： 共线向量定理及其推论 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，向量，，且与的方向相反，则实数 ． 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设、是不共线的非零向量，且，. (1)证明：、可以作为一组基底； (2)以、为基底，求向量的分解式； (3)若，求、的值． 1．（2026高一·全国·课后作业）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2025高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 4．（24-25高一下·吉林·期末）已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【经典例题二 用基底表示向量】 【例1】（25-26高三上·山东·月考）已知正六边形中，设，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·期中）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 1．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津西青·期末）已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量 ；的值为 . 4．（24-25高一下·福建泉州·期中）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设， . (1)若,其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值； (2)若，，与的夹角为，求在上的投影向量(用和表示). 【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例1】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 1．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 3．（24-25高一下·北京·期中）在中，点满足，若，则 4．（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 1．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，是的中点，，若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则 ． 4．（24-25高一下·甘肃定西·月考）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 【经典例题五 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 2．（2025高三·全国·专题练习）如果 是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2025高一·全国·课后作业）已知，，则向量与关系是 ，且 ． 4．（24-25高一下·云南昭通·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【经典例题六 平面向量共线定理证明线平行问题】 【例1】（24-25高一下·安徽滁州·月考）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 1．（2025高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 2．（多选）（24-25高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知基底，，，，且，则 ． 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【经典例题七 平面向量共线定理的推论】 【例1】（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 1．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，边上的一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为 . 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 【经典例题八 已知向量共线(平行)求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）设两个非零向量与不共线，若，则为何值时，三点共线？ 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为 ． 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 【拓展训练一 平面向量基本定理的应用及求值】 【例1】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【例2】（2025高三·全国·专题练习）在所在平面上的点满足，且，请指出点的位置． 1．（24-25高一下·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 2．（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·月考）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    4．（24-25高一下·甘肃白银·月考）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 【拓展训练二 平面向量共线定理相关问题】 【例1】（24-25高一下·安徽·月考）如图所示，设，，线段与交于点，且，则（    ）    A． B．2 C． D．3 【例2】（24-25高三下·江苏扬州·月考）在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，. (1)试用基底，表示，，； (2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 2．（多选）（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设、是不共线的两个非零向量，若，，，A、B、C三点共线，则实数m的值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25高三上·重庆·月考）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与射线分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 4．（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 1．（25-26高一·江苏·课后作业）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 4．（24-25高一下·广西来宾·月考）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·海南儋州·月考）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）． A．3 B． C． D．2 6．（多选）（2025高一·全国·专题练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 7．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边BC的中点 B．若，则点是边BC的三等分点 C．若，则点是边的重心 D．若，且，则的面积是面积的 8．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 9．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 10．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，，点为内心．设，若，则 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ． 13．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 14．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ．    15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    17．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    18．（24-25高一下·广东·月考）已知为一组基底向量，其中． (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 19．（2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 20．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．    (1)当时，用向量表示，； (2)证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平面向量基本定理重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 平面向量共线定理证明点共线问题 题型六 平面向量共线定理证明线平行问题 题型七 平面向量共线定理的推论 题型八 已知向量共线(平行)求参数 拓展训练一 平面向量基本定理的应用及求值 拓展训练二 平面向量共线定理相关问题 知识点一： 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【即时训练】 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则 . 【答案】2 【分析】由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解. 【详解】是平面向量的一组基底，且， ，解得， . 故答案为：2. 知识点二： 平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用平面向量共线定理，由于，所以存在实数使得；然后将与的表达式代入，再根据平面向量基本定理，列出关于的方程组，最后求解方程组得出的关系. 【详解】解析　因为，所以存在实数使因为，， 所以，可得所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，设，然后分与讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故答案为： 知识点三： 共线向量定理及其推论 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，向量，，且与的方向相反，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量共线定理，可得，即可列方程组求解. 【详解】因为与的方向相反,即向量与的方向相反， 所以存在实数，使得， 又，不共线， 所以，消去，得． 因为，所以， 所以． 故答案为： 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设、是不共线的非零向量，且，. (1)证明：、可以作为一组基底； (2)以、为基底，求向量的分解式； (3)若，求、的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）假设，根据平面向量基本定理可得出关于的等式组，由该等式组无解可证得结论成立； （2）设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解此方程组即可得解； （3）由平面向量基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】（1）证明：设，即， 因为、是不共线的非零向量，所以，，该方程组无解， 因此，、可以作为一组基底. （2）解：设，即， 因为、是不共线的非零向量，则，解得，故. （3）解：， 因为、是不共线的非零向量，则，解得. 1．（2026高一·全国·课后作业）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据基底不共线原则判断即可. 【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可. 【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 3．（2025高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 4．（24-25高一下·吉林·期末）已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量作为基底的条件：不共线非零向量，即可得解； （2）利用向量的数量积为0建立方程，即可得解； （3）平方后得到关于的二次函数，利用函数的性质即可求最值. 【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以， 即， 又，， 所以，解得. （3）由（2）知，， 因为， 所以，当时，取得最小值3， 所以的最小值为. 【经典例题二 用基底表示向量】 【例1】（25-26高三上·山东·月考）已知正六边形中，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正六边形性质可得，从而根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意知正六边形中，设， 则, 故， 故选：C 【例2】（24-25高一下·上海·期中）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】（1）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以。 （2）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以. 1．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由B知：，D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·天津西青·期末）已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量 ；的值为 . 【答案】 【分析】由平面向量线性运算法则表示出，再利用数量积的运算律及定义计算． 【详解】因为点D，E分别为，的中点，所以，又， 所以， 所以， ， 故答案为：；． 4．（24-25高一下·福建泉州·期中）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设， . (1)若,其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值； (2)若，，与的夹角为，求在上的投影向量(用和表示). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法平行四边形法则即可求解； （2）根据平面向量基本定理得求解. 【详解】（1）在平行四边形ABCD中， ,, 因为E和F分别是边CD和BC的中点，，， 所以，， 所以， 又∵，∴，又∵， ∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. （2）记投影向量为， 则 因为若，，与的夹角为，所以， 所以. 所以投影向量为 【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例1】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 【例2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 1．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 【答案】AC 【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】选项A，若向量共线，易知与共线，显然共面；若向量不共线， 根据平面向量基本定理可知，若存在实数x，y，使，则与共面，所以A正确； 选项B，若向量与共面，如果共线，不一定有， 只有与不共线时，可以作为一组基底， 存在唯一确定的有序实数对，使任意向量，所以B错误； 选项C，根据平面向量基本定理可知，共面， 由于它们有公共点，所以M，P，A，B共面，所以C正确； 选项D，若共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，所以D错误. 故选：AC 3．（24-25高一下·北京·期中）在中，点满足，若，则 【答案】 【分析】由题中所给条件求出，结合及，即可求解，，进而求得． 【详解】由题得， 所以， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：． 4．（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由向量的线性运算即可分解向量； （2）由题意得，且可设，结合不共线，即可求解. 【详解】（1） ， （2） 由题意， 设， 因为不共线， 从而，解得. 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解； （2）由、、三点共线，得到，列出方程，得出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为点是的中点，可得，所以， 又点是靠近点将分成的一个三等分点，所以， 所以. （2）解：因为、、三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得，， 所以， 因为不共线，则，解得. 1．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，是的中点，，若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理计算求值即可. 【详解】 如图，因为，所以点为线段的中点，则有, 因为是的中点，所以， 所以. 所以，. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则 ． 【答案】18 【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，得到四边形ODCE平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解． 【详解】如图所示， 过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点， 所以四边形ODCE是平行四边形，则， 因为向量与和的夹角分别为和， 即，则， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 又由，可得， 又因为，所以， 所以． 故答案为：18． 4．（24-25高一下·甘肃定西·月考）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【详解】（1） 因为， 所以， 所以，即. （2）设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 【经典例题五 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 【答案】A 【分析】将已知等式进行变形可得，再利用向量共线的充要条件可得，共线，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以，所以，共线， 因为，，有1个公共点， 故点P在线段AB上， 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）如果 是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】选项A中，设，无解，则两向量不共线； 选项B中，设，则，无解，则两向量不共线； 选项C中，设，则，无解，则两向量不共线； 选项D中，，所以两向量是共线向量． 故选:D. 【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线. 3．（2025高一·全国·课后作业）已知，，则向量与关系是 ，且 ． 【答案】 共线反向 / 【分析】根据平面向量共线定理判断即可，再由向量数乘的定义计算. 【详解】因为，，所以，所以向量与共线反向， 又，，所以. 故答案为：共线反向； 4．（24-25高一下·云南昭通·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，又与有公共点，即可证明； （2）由已知可设，根据是两个不共线的向量，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 因为，所以， 又与有公共点， 所以三点共线； （2）由（1）知，若，且， 可设， 所以， 即， 又是两个不共线的向量，所以， 解得. 【经典例题六 平面向量共线定理证明线平行问题】 【例1】（24-25高一下·安徽滁州·月考）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底向量的定义逐项分析判断. 【详解】对A：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，A错误； 对B：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，B错误； 对C：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，C错误； 对D：∵，则与不共线， 故和不能作为基底向量，D正确； 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, 1．（2025高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【答案】A 【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， 所以， 所以与反向平行，故A正确，B错误； ， 所以与同向平行，故CD错误. 故选：A 2．（多选）（24-25高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知基底，，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则，结合共线向量的性质、基底的性质进行求解即可. 【详解】， 因为是基底，所以是不共线向量， 因此有：， 故答案为： 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【经典例题七 平面向量共线定理的推论】 【例1】（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 【例2】（24-25高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 1．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，得到，根据计算得到答案. 【详解】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，边上的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论可得答案. 【详解】由题意得：三点共线，所以， 故选：C． 3．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令则三点共线，进而可得当垂直时，最小，计算即可. 【详解】令， 所以为等边三角形， ， 记三点共线， 当垂直时，最小，则的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先根据角平分线性质将向量表示出来，然后将等式两边平方可求得结果. （2）首先用向量将向量表示出来，进而可求出 向量的表达式，利用垂直向量的数量积为0，即可求出的值. 【详解】（1）因为为的平分线，， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以. （2）根据题意知，，， 所以 因为 所以 又因为三点共线，则② 由①②可得： . 【经典例题八 已知向量共线(平行)求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】由，，且， 得，即，又不共线， 因此，解得，所以. 故选：A 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）设两个非零向量与不共线，若，则为何值时，三点共线？ 【答案】m＝7 【分析】根据题意，结合三点共线，使得成立，列出方程组，即可求解. 【详解】因为， 可得， 若三点共线，则存在实数，使得，即， 向量与不共线， 可得，解得，即当时，三点共线. 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理列式求解. 【详解】由向量与向量共线，则存在实数，使得， 而不共线，因此且，解得， 所以所求实数的值为． 故答案为： 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，进而可求解. 【详解】（1）证明：，，， 则， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线； （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数， 使，且， 又，不共线，所以，解得或， 因为，所以， 所以． 【拓展训练一 平面向量基本定理的应用及求值】 【例1】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）在所在平面上的点满足，且，请指出点的位置． 【答案】答案见解析 【分析】通过已知条件对向量表达式进行变形，构造系数之和为１的形式，再利用向量共线定理判断点的位置． 【详解】 ，，令， ， 令，，则， ， 点共线，即点在直线上， 又， 点在直线上，其中，，如上图所示． 1．（24-25高一下·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，易得，设，可得，利用平面向量基本定理求出的值，即可求得答案. 【详解】 如图，点是的中点，则， 因点在线段上，则存在，使得，又， 则得，即， 因三点共线，故，解得， 则，即，可得，即. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可． 【详解】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即， 结合选项可知ABC符合，D不符合 故选：ABC 3．（24-25高三上·重庆·月考）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    【答案】 【分析】在延长线上取点，使，取AB中点，由已知可得MN过圆心，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为．    故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与点共线的判断方法，进而求得梯形的高与上底，从而求得面积，向量的线性运算是关键.. 4．（24-25高一下·甘肃白银·月考）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 【拓展训练二 平面向量共线定理相关问题】 【例1】（24-25高一下·安徽·月考）如图所示，设，，线段与交于点，且，则（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可得，再根据，，三点共线的向量的性质求解. 【详解】由题意知，又，，三点共线， 故，所以. 故选：D. 【例2】（24-25高三下·江苏扬州·月考）在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，. (1)试用基底，表示，，； (2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可求，，； （2）利用向量的线性运算可得，故可证三点共线. 【详解】（1） ； ； . （2）， ， 又与有公共端点，三点共线， 三点不能构成三角形. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点. 【详解】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设、是不共线的两个非零向量，若，，，A、B、C三点共线，则实数m的值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BCD 【分析】A、B、C三点共线,即共线，求得，再利用向量共线定理即可求解. 【详解】因为， 又是不共线的两个非零向量， 且A、B、C三点共线,即共线，所以， 解得. 故选：BCD 3．（24-25高三上·重庆·月考）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与射线分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 4．（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算证明共线后即得； （2）用表示各向量，由已知数量积求得，再由向量夹角公式计算． 【详解】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以 ， 所以. 所以 ， 又，， 所以. 1．（25-26高一·江苏·课后作业）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线， 都可作为平面向量的基底， 而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底. 故选:D. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线的判定定理结合平面向量基本定理逐项分析判断. 【详解】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量， 且，， 对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以A、B、C三点不共线，故A错误； 对于选项B：因为， 若A、C、D三点共线，则，其中， 则则，方程组无解， 所以A、C、D三点不共线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以A、B、D三点共线，故C正确； 对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以B、C、D三点不共线，故D错误； 故选：C. 4．（24-25高一下·广西来宾·月考）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为一组基底，根据向量的线性运算求，即可得. 【详解】由题意可得： ， 又因为，即， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·海南儋州·月考）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）． A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由A，B，D三点共线，则存在实数，使，用表示后，由向量相等可得． 【详解】因为，，， 则， 又A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 则，解得． 故选：A． 6．（多选）（2025高一·全国·专题练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案. 【详解】根据平面向量基本定理可知正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误， 若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误． 故选：． 7．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边BC的中点 B．若，则点是边BC的三等分点 C．若，则点是边的重心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】根据向量的平行四边形法则，可判定A正确；由，得到，可判定B错误；取的中点，化简得到，可判定C正确；由，且，得到，设，得到三点共线，且，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的平行四边形法则，若， 则点M是边BC的中点，所以A正确； 对于B中，由，则，即， 则为的中点，所以B错误； 对于C中，如图所示，由，可得， 取的中点，可得，则点为的重心，所以C正确；    对于D中，由，且， 所以且， 设，可得，且，所以三点共线， 因为，所以为的一个三等分点（靠近），如图所示， 所以，即则的面积是面积的，所以D正确. 故选：ACD.    8．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 9．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B. 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 10．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案. 【详解】对于A选项， ，故A选项正确； 对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确； 对于C选项，结合B，，故C选项错误； 对于D选项，结合B，，故D选项正确. 故选：ABD. 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，，点为内心．设，若，则 ． 【答案】 【分析】先确认形状，然后求出内切圆半径，再利用平面向量的几何性质计算即可 【详解】由勾股定理的逆定理知以为直角．内切圆半径为， 故内切圆与的切点满足模长均为1，于是在正方形中易见 故． 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】先判断的形状，确定其内切圆半径，明确相关线段的长度，用为基底，表示即可. 【详解】如图：因为，所以为直角三角形. 设内切圆半径为． 则. 设内切圆与边，的切点分别为. 则. 又， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 14．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可. 【详解】根据题意可知，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 所以，解得， 所以， 所以，，， 故答案为： 15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 【答案】8 【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系. 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    【答案】证明见解析 【分析】结合角平分线的向量表示和定比分点公式可证． 【详解】设， 根据定比分点公式有， 而利用单位向量和共线定理，可得， 所以， 可得，， 两式相除可得． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】设，由三点共线可得，利用基底,代入可求出，即可得证. 【详解】因为是的中点， 所以， 同理，． 因为三点共线， 所以． 又因为三点共线， 所以， 即， 可得，即， 即，所以三点共线． 18．（24-25高一下·广东·月考）已知为一组基底向量，其中． (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数关系即可. （2）利用给定条件结合不共线建立方程组，求解参数即可. 【详解】（1）因为， 所以由平面向量的加法法则得， 因为，所以， 即，故三点共线. （2）若与共线，则， 得到，而为一组基底向量，则不共线， 得到，解得或. 19．（2025高一·全国·专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】解法一，利用表示，再根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理的唯一性得出关系； 解法二，利用表示，再根据三点共线得出系数和为1即可求证. 【详解】解法1：设，， 因为，， 所以，， 因为的重心，则， 因为三点共线，则存在，使得，即， 即， 所以，整理得，即， 两边同除以得． 解法2： 因为，， 所以，， 因为为的重心，所以， 因为三点共线，所以，得． 【点睛】 20．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．    (1)当时，用向量表示，； (2)证明：为定值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出； （2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系. 【详解】（1）因为点是的中点，所以是的中线，所以， 当时，； （2）由（1）知，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 由已知，，所以， 所以， 因为，不共线，所以，即，消去整理可得， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用 本题中，点为直线和的交点， 所以、、三点共线，；、、三点共线，. 学科网（北京）股份有限公司 $