专题06 解三角形中边（角）、面积、周长的最值问题（专项训练3大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题06 解三角形中边（角）、面积、周长的最值问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、边（角）最值问题（难点） 1 题型二、面积最值问题（重点） 7 题型三、周长的最值问题（常考点） 11 B综合攻坚・能力跃升 14 题型一、边（角）最值问题（难点） 1．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 2．在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的三边关系可得的范围，根据余弦定理求，由基本不等式及余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，，, 所以. 由余弦定理可得, 当且仅当时等号成立, 因为，所以. 故选:A. 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解. 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 5．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 6．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可. 【详解】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 8．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知，应用余弦定理得，结合三角形三边关系即可得范围. 【详解】因，则， 若为钝角三角形，则，得， 又，则，得，故. 故答案为： 9．（24-25高一下·北京东城·期末）在锐角中，若，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，利用为锐角三角形可得，再根据正弦定理可得，利用为锐角三角形确定的范围即可求解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 因为 所以，又为锐角三角形，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，则，得， 所以， 所以， 综上，，的取值范围是. 故答案为：； 题型二、面积最值问题（重点） 1．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理得，由余弦定理结合不等式可得，进而由面积公式即可求解. 【详解】由于，且外接圆的半径为2，所以． 由余弦定理得， ， 则 故选：D． 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 3．（23-24高一下·福建泉州·月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 4．已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的取值范围，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得 ，， ，， 又，， 由余弦定理得，即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·四川成都·月考）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理进行化简，再结合二次函数求最值即可. 【详解】，故， 即，代入得：， 故 ， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为： 6．在锐角中，分别为角的对边，已知，且，则的面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件结合正余弦定理求出，利用三角形面积公式得到，由正弦定理得，代入化简可得，结合角的范围求出答案. 【详解】由及正弦定理得， 所以，因为为锐角三角形，故， 所以， 由正弦定理，, 所以， 因为为锐角三角形，，得， ，则，所以. 故答案为：. 题型三、周长的最值问题（常考点） 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数值域的知识求得的取值范围，进而求得周长的取值范围. 【详解】依题意，，， 所以， 由可知, 所以，故， 而，故， 于是的周长. 故答案为： 2．已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 3．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【详解】在中，已知，由正弦定理得：. 因为，那么， 则，得. 因为，所以，两边同时除以可得， 又因为，所以. 已知的外接圆直径为4，即， 由正弦定理可得， .且， 则的周长. 所以 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 此时周长的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】由正弦定理得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，所以，故， 所以周长的取值范围. 故答案为： 5．（24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】显然，所以， 因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角， 当为钝角时，， 故，解得， 又，故，故，故， 此时的周长取值范围是，即， 当为钝角时，， 故，故， 又，故， 此时的周长取值范围是， 综上，的周长取值范围是， 故答案为： 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【详解】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得、，再由正弦定理得，进而有，应用三角恒等变换及正切函数的性质求边的范围. 【详解】由锐角中，则， 故，同理， 由三角形面积，则， 由正弦定理，则，故， 所以，而， 所以，则. 故选：C 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 5．（24-25高一下·安徽·月考）在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，进而得到的周长，再应用换元法及三角函数的性质，令则，即可求范围. 【详解】如题图，设，由题意， 所以， 则， 所以的周长， 注意，且， 令，则， 所以，又， 所以，解得， 即周长的取值范围为. 故选：A 6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 可得， 因为为的内角，所以，则， 又因为，可得，所以， 因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 则， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：. 7．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，求范围可得. 【详解】由及已知，有，故， 于是，由，知， 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是，故的最小值是. 故答案为： 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值. 【详解】 由余弦定理知，所以， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以. 设的面积为S，所以， 令，可得， 当且仅当时，上式等号成立， 即有，解得或（舍去）， 则，所以， 故面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：利用基本不等式得到面积，通过取倒数从而设，借助于辅助角公式求出的最小值，即可得到的最大值. 9．已知满足，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法结合基本不等式计算即可. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设， 则， 化简得， 显然且， 而 ， 当且仅当，即时取得最大值. 故答案为：. 10．锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意得，结合正弦定理得，根据是锐角三角形求出的取值范围，通过换元法即可求解. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 11．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 12．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 【答案】 【分析】由余弦定理，二倍角的正余弦公式、正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性求解. 【详解】 ，即， 又为锐角，. 所以，所以， 由正弦定理可得 ， 且 是锐角三角形，， 即， 又，所以 ， 即的周长的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解三角形中边（角）、面积、周长的最值问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、边（角）最值问题（难点） 1 题型二、面积最值问题（重点） 2 题型三、周长的最值问题（常考点） 3 B综合攻坚・能力跃升 3 题型一、边（角）最值问题（难点） 1．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 9．（24-25高一下·北京东城·期末）在锐角中，若，则 ；的取值范围是 . 题型二、面积最值问题（重点） 1．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建泉州·月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是 . 5．（23-24高一下·四川成都·月考）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为 ． 6．在锐角中，分别为角的对边，已知，且，则的面积的取值范围是 . 题型三、周长的最值问题（常考点） 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，则周长的取值范围为 ． 2．已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 3．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为 . 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 5．（24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为 . 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽·月考）在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 7．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是 . 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 . 9．已知满足，则面积的最大值为 ． 10．锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 11．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 12．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $