专题05 正余弦定理解三角形（专项训练8大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题05 正余弦定理解三角形 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、余弦定理解三角形 1 题型二、正弦定理解三角形 2 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 3 题型四、三角形解的个数问题（难点） 4 题型五、外接圆半径问题 4 题型六、三角形面积问题（常考点） 5 题型七、三角形形状问题 5 题型八、解三角形的实际应用 6 B综合攻坚・能力跃升 8 题型一、余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ． 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足， 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 . 8．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边 . 题型二、正弦定理解三角形 1．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一下·北京西城·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一下·全国·专题练习）在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·湖南郴州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（   ） A．16 B． C． D．4 10．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 3．（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·月考）在中，若，，则角 ． 7．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 题型四、三角形解的个数问题（难点） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 2．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ）. A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 4．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、外接圆半径问题 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 3．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 5．已知中，，，，则的外接圆面积为 . 题型六、三角形面积问题（常考点） 1．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 2．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在中，，，且，则的面积是 . 6．（24-25高一下·浙江·月考）在中，若，且，则的周长为 ． 7．（24-25高一下·四川自贡·月考）在中，，，，则的内切圆半径为 . 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则 ． 题型七、三角形形状问题 1．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 题型八、解三角形的实际应用 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 5．（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 6．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，某学习小组为了测量湖中两小岛间的距离，在岸边选取了相距的两点，满足在同一平面内，测得，则 ． 1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26高一下·全国·月考）已知的面积为，角为锐角，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 10．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 12．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 16．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知中，是的中点，且，，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 19．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 22．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则 ． 23．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，，，则 ． 24．（24-25高一下·河南·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则 ， ． 25．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且的面积为，则内切圆的半径为 . 26．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，若，，则 . 27．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，内角所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 28．在中，，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 ． 29．（24-25高一下·上海金山·期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为 . 30．（23-24高一下·北京·期中）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，．则B，D的距离为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正余弦定理解三角形 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、余弦定理解三角形 1 题型二、正弦定理解三角形 4 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 8 题型四、三角形解的个数问题（难点） 11 题型五、外接圆半径问题 13 题型六、三角形面积问题（常考点） 15 题型七、三角形形状问题 18 题型八、解三角形的实际应用 20 B综合攻坚・能力跃升 24 题型一、余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】直接由余弦定理即可计算求解. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 4．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据条件及余弦定理得，再由数量积的定义，即可求解. 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足， 【答案】 【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出及. 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】3 【分析】利用余弦定理化简可得，然后简单判断即可. 【详解】依题意，，由余弦定理得，整理得. 由于是锐角三角形，所以，则. 故答案为：3 8．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边 . 【答案】2 【分析】利用余弦定理解三角形可得的长度. 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由. 所以. 在中，， 所以. 故答案为：2 题型二、正弦定理解三角形 1．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 3．（24-25高一下·北京西城·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求解. 【详解】已知，由正弦定理可得：， 因为，所以，得到，即. 又因为，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 6．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理分别求出，，即可判断. 【详解】在中，由正弦定理可得， ， 因为，所以，， 所以． 故选：C． 7．（2026高一下·全国·专题练习）在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 故选：B 8．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A,B利用正弦定理即可求得结果，对角B分情况讨论，即可判断选项C,D. 【详解】对于选项A,B：由正弦定理可得， 由于，故或，故AB错误， 对于选项C,D:若时，则，此时 ， 若时，则， 此时为三角形中最小的内角，故，故C正确，D错误， 故选：C 9．（24-25高一下·湖南郴州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（   ） A．16 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案 【详解】由，则， 即，由，则， 由，则， 因为,所以， 所以. 故选：B. 10．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 题型三、正、余弦定理结合解三角形（重点） 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理将、余弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 3．（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可 【详解】由及正弦定理得，即， 由及余弦定理可得， ∴，∴，∴. 又，∴. 故选：D. 6．（25-26高一下·全国·月考）在中，若，，则角 ． 【答案】/ 【分析】先使用正弦定理将角化边，再使用余弦定理结合条件即可求得的值，进而可求得角. 【详解】由已知，利用正弦定理可得． 由，有，因为，则有，即， 由余弦定理得，则． 故答案为：. 7．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 题型四、三角形解的个数问题（难点） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ）. A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求得，从而可求. 【详解】在中，由正弦定理得，又因为，，， 所以，解得，又因为，所以， 又，所以或. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 4．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形有两个解可得，代入值求解即可. 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 题型五、外接圆半径问题 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径. 【详解】因为， 根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径. 所以三角形外接圆直径为. 故选：A. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. 故选：C 4．（24-25高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 5．已知中，，，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积. 【详解】解：根据题意，由余弦定理可得 ， 该的外接圆的半径为r， 则由正弦定理得：. 故答案为：. 题型六、三角形面积问题（常考点） 1．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 2．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】 由面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由面积公式可知，即，解得， 由余弦定理可知，， 所以. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 4．（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 5．在中，，，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理得到，求得，再由三角函数的基本关系式，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·浙江·月考）在中，若，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 7．（24-25高一下·四川自贡·月考）在中，，，，则的内切圆半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由等面积法计算可得. 【详解】由余弦定理，即，解得， 又，所以为锐角，所以， 设内切圆的半径是， ∵，即， ∴． 故答案为： 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则 ． 【答案】2 【分析】由及三角形面积公式求，进而求即可. 【详解】 由题设，，又， 所以， 则，可得，故. 故答案为：2 题型七、三角形形状问题 1．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可. 【详解】设中，角对应的边分别是， 由正弦定理得:，即， 所以， 因为，所以为钝角，即为钝角三角形. 故选:C. 2．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先求出，再利用余弦定理可得，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又， 所以为等边三角形． 故选：C． 5．（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而利用余弦定理可得，可得，可得结论. 【详解】由正弦定理得，所以，又，所以． 由，得，可化为， 所以，所以，所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：C. 题型八、解三角形的实际应用 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中直接由正弦函数的定义计算即可. 【详解】如图，在中，，，， 所以，米， 故选：B. 2．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】A 【分析】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，根据余弦定理表达出，由二次函数开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，设距离为， 其中，显然， 则 其中开口向上，对称轴为， 故当小时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：A 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 5．（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 6．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，某学习小组为了测量湖中两小岛间的距离，在岸边选取了相距的两点，满足在同一平面内，测得，则 ． 【答案】 【分析】在三角形ABD中，利用正弦定理求得线段BD的长，再在三角形BCD中利用余弦定理即可求得结果. 【详解】在三角形ABD中，因为所以, 所以， ， 利用正弦定理，解得， 在三角形BCA中，，得到, 所以三角形ABC为以为直角的等腰直角三角形，; 在三角形BDC中，利用余弦定理， 故, 故答案为： 1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦及正弦定理可得，进而利用余弦定理可得的值. 【详解】由，可得， 由正弦定理可得， 又因为，所以，所以， 在中，，由余弦定理可得， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 4．（25-26高一下·全国·月考）已知的面积为，角为锐角，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形面积公式可得，因为角为锐角，所以，，结合余弦定理可解得，再使用一次余弦定理即可解得的值，进而得到角的大小. 【详解】在中，， 即，解得， 因为角为锐角，所以，， 在中，， 即，解得， 则， 则有． 故选：D. 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 6．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及得出，；再利用余弦定理即可求解. 【详解】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D 7．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，又因为，所以，即可得，再根据特殊角正切值求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得： ，因为， 所以, ，因为， 所以，即，因为，所以. 故选：A. 8．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 10．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径. 【详解】由得， ， 即：，可得. 又因为，可得． 又已知，， 由余弦定理得 ， 解得. 则外接圆直径. 故选：D. 12．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 15．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 16．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 17．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知中，是的中点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用正弦定理即可求解. 【详解】 是的中点，， 又，， 在中，，， 在中，，， . 故选：B. 18．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 19．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理以及三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，，可得即， 所以，由余弦定理可得， 所以面积的最大值为． 故选：C． 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，可得， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以边的最小值为. 故选：D. 21．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由已知条件，根据余弦定理，可得，所以.根据正弦定理，得． 【详解】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 22．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 即， 因为，所以， 即，所以, 所以， 故答案为： 23．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，， ，． ，． ． 由正弦定理知， ． 故答案为： 24．（24-25高一下·河南·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则 ， ． 【答案】 60 / 【分析】先利用正弦定理、余弦定理以及二倍角公式即可求出c，进而求出第一空的结果. 【详解】因为，所以，则，则， 所以，即，则， 则，解得或， 当时，，则，则， 故．所以 故答案为：； 25．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且的面积为，则内切圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式、三角形内切圆半径公式进行求解即可. 【详解】因为的面积为，所以， 由余弦定理可知， 设内切圆的半径为， 则有， 故答案为： 26．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，若，，则 . 【答案】 / 【分析】借助余弦定理与正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 即， 即， 即，即， 又，故， 若，，由余弦定理可得， 即，即， 故. 故答案为：；. 27．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，内角所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积即可. 【详解】在中，，则， 由题意得， 则由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 由诱导公式得，即， 设外接圆的半径为，且， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得外接圆面积为. 故答案为： 28．在中，，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，内切圆的半径为，内切圆的圆心为， 因为， 所以由正弦定理可得，， 不妨设， 有余弦定理可得，， 因为，所以, 由正弦定理得，, 又因为,， 所以， 所以， 所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为. 故答案为: . 29．（24-25高一下·上海金山·期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用半角公式结合余弦定理计算得，根据外心的性质，结合向量数量积的运算律计算得，代入计算可得结果. 【详解】由半角公式可得， 又由余弦定理可得， 则. 设为中点，因为为外接圆的圆心，则有， 因为， 由可得， 即， 可得，即， 即，故. 故答案为：. 30．（23-24高一下·北京·期中）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，．则B，D的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再利用正弦定理、余弦定理求出. 【详解】依题意，在中，，则，， ，在中，，则， 而， 由正弦定理得， 在中，，由余弦定理得. 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $