专题08菱形同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08菱形同步专项训练讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】..................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】................................5 【题型03 利用菱形的性质求面积】..................................9 【题型04 利用菱形的性质证明】...................................11 【题型05 添一个条件使四边形使菱形】.............................14 【题型06 证明四边形是菱形】.....................................17 【题型07 由菱形的性质与判定求角度】.............................21 【题型08 由菱形的性质与判定求线段长】...........................23 【题型09 由菱形的性质与判定求面积】.............................26 【解答题5题】...................................................29 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 前提：必须是平行四边形 特征：一组邻边相等 知识点02:菱形的性质（重点） 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有性质，还有独有性质： 1.边 四条边都相等 对边平行 已知：四边形 ABCD 是菱形。 1. 四条边都相等 AB=BC=CD=DA 2. 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 2.角 对角相等 邻角互补 已知：四边形 ABCD 是菱形。 1. 对角相等 ∠A=∠C ∠B=∠D​​ 2. 邻角互补（和为 180∘） ∠A+∠B=180∘∠B+∠C=180∘∠C+∠D=180∘∠D+∠A=180∘​ 3.对角线（核心）互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 已知：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 交于点 O。 1. 互相垂直平分 ​AC⊥BD BO=OD,AO=OC​ 2. 每条对角线平分一组对角 ​∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB​ 对称性 轴对称图形：2 条对称轴（两条对角线所在直线） 中心对称图形 知识点03:菱形的判定（必考） 1. 定义判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形。 2. 判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形。 3. 判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形。 知识点04:菱形的面积公式（高频考点） 1.底 × 高（和平行四边形一样） 2.对角线乘积的一半 S=×d1×d2​ d1、d2 为两条对角线长。 知识点05:易错点提醒 1.对角线相等不是菱形性质（那是矩形） 2.对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须先是平行四边形 3.面积别忘 “÷2” 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图①是一种彭罗斯瓷砖的图案，它是由两种不同的菱形非周期性拼接而成（不重叠、无缝隙），图②是其中一部分抽象出的几何图形，图中的 °． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，正十边形的内角的度数，先根据中心角得菱形一个内角，由正十边形的每一个内角的度数得，则可得的值． 【详解】解：由题可知整个图形是边长相等的十边形，且中心角被分成5个相等的角，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，四边形均为菱形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【跟踪专练3】如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O为菱形对角线的交点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】.如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半进行解答即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为 故答案为： 【跟踪专练1】已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 直接代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴该菱形的面积=， 故选：A． 【跟踪专练2】四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】． 【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案． 【详解】 如图所示：连接 EC， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ， 在△ABE 和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE ( SAS )， ∴∠BAE =∠BCE =90°， 则 AE = CE =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等”是解题的关键． 【详解】A．菱形的对角线不一定相等，仅正方形（特殊菱形）的对角线相等，故A错误； B．菱形的对角线互相平分，，但与长度无必然“”的关系，故B错误； C．菱形的对角线互相垂直，即，故C正确； D．菱形中，，仅当菱形为正方形时两角相等，故D错误． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 【答案】 /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【跟踪专练3】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到点，延长到点，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，___________①___________． ∵，∴___________②___________． ∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，先得到对角线互相垂直平分，再结合已知条件，推导出对角线互相平分，从而证明四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形完成证明，据此补全证明过程中的①②两处． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，．① ∵ ， ∴ ，即．② ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 四边形是菱形． 故选：B． 【题型5.添一个条件使四边形是菱形】 【典例】如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据每个选项所给条件，结合平行四边形的性质以及菱形的判定方法来判断是否证明平行四边形是菱形． 【详解】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分， ∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意， 故选：D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】在下列四边形中，为菱形的是（    ） A．一组邻边相等，一组对角相等 B．一组邻边相等，对角线互相垂直 C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角 D．一组邻边相等，另一组邻边也相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，如四条边都相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，熟练运用菱形的各种判定方法是解题关键． 利用菱形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、一组邻边相等，一组对角相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意； B、一组邻边相等，对角线互相垂直，不是菱形，此选项错误，不符合题意； C、一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角，那么这个四边形的四条边都相等，这个四边形是菱形，此选项正确，符合题意； D、一组邻边相等，另一组邻边也相等的四边形不是菱形，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是 ．其判定依据是 ． 【答案】 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确理解和应用菱形的定义是解题的关键． 由，得，即可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【跟踪专练2】已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可． 【详解】解：选择①②③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴不能判断四边形是菱形， ∴选法不正确； 选择①②④： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择①③④： 同理可证：，得到四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择②③④： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 故选：C． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 【答案】3 【分析】易证明四边形是菱形，再根据菱形的判定方法证明平行四边形是菱形和平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理可得四边形是平行四边形，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 综上所示，图中共有个菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，解题的关键是熟记各种特殊四边形的判定和性质． 【题型7.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 【跟踪专练1】如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定． 先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可． 【详解】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 【跟踪专练2】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型8.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，平分，若，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定与性质．解题的关键是根据平行四边形的性质得出． 利用平行线的性质可证，，又平分，得，得，得四边形为菱形，再根据菱形的性质求周长即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 平分， ， ， ， 四边形为菱形， 四边形的周长． 故选：． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，根据题意易证四边形是菱形，连接交于点，根据菱形的面积公式求出，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形的四边相等， ∴四边形为菱形， 连接交于点， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴四边形的周长为． 故选：A． 【题型9.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的面积，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解中根据直角三角形的性质，求出，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，如图所示： 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【解答题】 1．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 2．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 3．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意选择条件即可； （2）根据为边上的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一）①． （2）证明：为边上的中线， ． 在中，，， ，， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 4．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 本题主要考查矩形的判定，平行四边形、菱形的性质，菱形面积的求法，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法． 【详解】（1）证明：四边形是矩形．理由如下： ∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形同步专项训练讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】..................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】................................4 【题型03 利用菱形的性质求面积】..................................5 【题型04 利用菱形的性质证明】....................................6 【题型05 添一个条件使四边形使菱形】..............................7 【题型06 证明四边形是菱形】......................................8 【题型07 由菱形的性质与判定求角度】..............................9 【题型08 由菱形的性质与判定求线段长】...........................10 【题型09 由菱形的性质与判定求面积】.............................11 【解答题5题】...................................................12 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 前提：必须是平行四边形 特征：一组邻边相等 知识点02:菱形的性质（重点） 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有性质，还有独有性质： 1.边 四条边都相等 对边平行 已知：四边形 ABCD 是菱形。 1. 四条边都相等 AB=BC=CD=DA 2. 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 2.角 对角相等 邻角互补 已知：四边形 ABCD 是菱形。 1. 对角相等 ∠A=∠C ∠B=∠D​​ 2. 邻角互补（和为 180∘） ∠A+∠B=180∘∠B+∠C=180∘∠C+∠D=180∘∠D+∠A=180∘​ 3.对角线（核心）互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 已知：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 交于点 O。 1. 互相垂直平分 ​AC⊥BD BO=OD,AO=OC​ 2. 每条对角线平分一组对角 ​∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB​ 对称性 轴对称图形：2 条对称轴（两条对角线所在直线） 中心对称图形 知识点03:菱形的判定（必考） 1. 定义判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形。 2. 判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形。 3. 判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形。 知识点04:菱形的面积公式（高频考点） 1.底 × 高（和平行四边形一样） 2.对角线乘积的一半 S=×d1×d2​ d1、d2 为两条对角线长。 知识点05:易错点提醒 1.对角线相等不是菱形性质（那是矩形） 2.对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须先是平行四边形 3.面积别忘 “÷2” 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图①是一种彭罗斯瓷砖的图案，它是由两种不同的菱形非周期性拼接而成（不重叠、无缝隙），图②是其中一部分抽象出的几何图形，图中的 °． 【跟踪专练2】如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则 ． 【跟踪专练3】.如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 【跟踪专练1】已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【跟踪专练2】四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 【跟踪专练3】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到点，延长到点，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，___________①___________． ∵，∴___________②___________． ∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型5.添一个条件使四边形是菱形】 【典例】如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【跟踪专练1】已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】在下列四边形中，为菱形的是（    ） A．一组邻边相等，一组对角相等 B．一组邻边相等，对角线互相垂直 C．一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一组对角 D．一组邻边相等，另一组邻边也相等 【跟踪专练1】如图，在中，，，是 ．其判定依据是 ． 【跟踪专练2】已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 【题型7.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 【跟踪专练3】按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型8.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，若，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 【题型9.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪专练1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【跟踪专练3】如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【解答题】 1．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 2．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 3．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意选择条件即可； （2）根据为边上的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 4．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $