6.3.1平面向量基本定理（分层作业，6大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 知识点一 对平面向量基本定理的概念理解 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如果，是平面内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若实数，使，则． 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 知识点一 判断向量能否作为基底 1．（24-25高一下·重庆·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（24-25高二上·广东潮州·开学考）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建莆田·月考）（多选）设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点二 用基底表示向量 1．（24-25高一下·贵州·月考）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东·月考）已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东·月考）在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点三 利用平面向量基本定理求参数 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东潍坊·月考）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为 ． 知识点一 平面向量基本定理在几何中的应用 1．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线． 2．（22-23高一下·甘肃武威·月考）如图，在中，已知，，，． (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 知识点二 平面向量基本定理的综合应用 1．（23-24高一下·广东中山·月考）如图，在中，，点是线段上一点． (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值； (3)若，求的最小值． 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设. (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 平面向量基本定理 知识点一 对平面向量基本定理的概念理解 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确.故选：B 2．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【解析】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量， 使的实数有且只有一对，故D错误；故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如果，是平面内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若实数，使，则． 【答案】BC 【解析】由题可知，是平面内的一组基底， 所以对于平面内的任意向量，都存在唯一的一对实数对使得 所以可以表示平面内的所有向量，故A正确； 对于平面内的任一向量，使的实数，有且只有1对，故B错误； 当时，若，则任意实数均使得， 若，则不存在实数使得，故C错误； 若实数，使，假设，则，即共线，矛盾， 所以，同理，故D正确. 故选：BC 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 知识点一 判断向量能否作为基底 1．（24-25高一下·重庆·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误，故选：A. 2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得， 所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解， 所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得， 所以与共线，不能作为基底；故选：C. 3．（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量.故选：B. 4．（24-25高二上·广东潮州·开学考）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 故选：AC． 5．（24-25高一下·福建莆田·月考）（多选）设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【解析】选项A，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项B，因为，所以与共线，不能作为基底. 选项C，假设与共线，则存在实数，使得， 即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项D，假设与共线，则存在实数， 使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ACD. 知识点二 用基底表示向量 1．（24-25高一下·贵州·月考）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以.故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知，.故选：D. 3．（24-25高一下·山东·月考）已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点，分别为，的中点， 所以， 因为，所以， .故选：C. 4．（24-25高一下·广东·月考）在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，所以， 由题意，则， 由.故选：A 5．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 知识点三 利用平面向量基本定理求参数 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由题，， ， 所以.故选：A. 2．（25-26高一上·广东潍坊·月考）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得，故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以.故选：D. 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设， 则, 因为三点共线，所以，即， 所以， 所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为.故选：B. 5．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 知识点一 平面向量基本定理在几何中的应用 1．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】因为是的中点， 所以， 同理，． 因为三点共线， 所以． 又因为三点共线， 所以， 即， 可得，即， 即，所以三点共线． 2．（22-23高一下·甘肃武威·月考）如图，在中，已知，，，． (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，， 所以， 又，所以， 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以A，F，E三点共线. （2）记，则， 由（1）知， 由题知，A，F，E三点共线，记， 所以， 因为不共线，所以，解得， 所以，所以. 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 知识点二 平面向量基本定理的综合应用 1．（23-24高一下·广东中山·月考）如图，在中，，点是线段上一点． (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）点是线段的中点，且， ， ， . （2）三点共线，设， 所以，又， ， ， ， . （3）， ，， ， ， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为. 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设. (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因点为中点，点在线段上，满足， 可得，， 故； （2）由（1）得，所以， 因为，所以， 解得. （3）由题意知， ， 所以， 所以. 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $