6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解与坐标表示、平面向量加减运算的坐标表示、平面向量数乘运算的坐标表示（分层作业，8大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一 用坐标表示平面向量 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 5．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 知识点二 向量线性运算的坐标表示 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 知识点一 根据向量线性运算求参数 1．（25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 5．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 知识点二 用坐标法判断向量是否共线 1．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 知识点三 由向量共线（平行）求参数 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知向量，则实数（    ） A．-2 B．3 C．－1 D．6 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知向量，，若，则（    ） A．3 B． C．15 D． 4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点四 用坐标解决三点共线问题 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（    ） A． B．62 C．28 D． 2．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知三点共线，则（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（    ） A．1或 B． C．或 D． 4．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，则（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 知识点一 线段的定比分点问题 1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·广东东莞·期中）（多选）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 知识点二 用坐标解决几何问题 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（    ） A． B．3 C．7 D．9 4．（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一 用坐标表示平面向量 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点，，得.故选：D 2．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为．故选：C 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以.故选：A. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 5．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【解析】点P为线段AB的中点，所以，则. 知识点二 向量线性运算的坐标表示 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以.故选：C. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 解得.故选：C 3．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故选：C 4．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以．故选：B. 5．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 知识点一 根据向量线性运算求参数 1．（25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以，解得.故选：B. 2．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为.故选：B. 3．（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为，故选：A 4．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 5．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)，，． 【解析】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以，解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． 知识点二 用坐标法判断向量是否共线 1．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误.故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意．故选：D． 3．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误.故选：D. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合.故选：D 5．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】已知两点，，则， 对于A，，所以符合题意，A是； 对于B，，所以不符合题意，B不是； 对于C，，所以不符合题意，C不是； 对于D，，所以符合题意，D是.故选：AD. 知识点三 由向量共线（平行）求参数 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】向量，，由，得，所以.故选：D 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知向量，则实数（    ） A．-2 B．3 C．－1 D．6 【答案】A 【解析】由题意可得，，且， 所以，故选：A 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知向量，，若，则（    ） A．3 B． C．15 D． 【答案】B 【解析】，，，.故选：B. 4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，. 因为，所以，解得.故选：B 5．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以.故选：B. 知识点四 用坐标解决三点共线问题 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（    ） A． B．62 C．28 D． 【答案】C 【解析】由题可知，， 因为A，B，D三点共线，所以， 所以，故选：C． 2．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知三点共线，则（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解析】由可得， 因为，所以，故选：D. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（    ） A．1或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或.故选：A 4．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，且三点共线，故，故，故选：C 5．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，则（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【解析】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误.故选：B 知识点一 线段的定比分点问题 1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为.故选：C. 2．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点， 则或， 所以或， 即点的坐标为或.故选：C. 3．（23-24高一下·广东东莞·期中）（多选）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意有或， 当时，得， 所以，故A正确； 当时，得， 所以，故B正确. 故选：AB. 4．（24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 知识点二 用坐标解决几何问题 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以；故选：C. 2．（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即,故选：B. 3．（24-25高一下·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（    ） A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【解析】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系， 则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以.故选：ACD 4．（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以， 此时，所以的最小值为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 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