9.3.1平面向量基本定理（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.3 向量基本定理及坐标表示 第九章 平面向量 9.3.1平面向量基本定理 学 习 目 标 1 2 3 准确表述平面向量基本定理内容，掌握基底“非零、不共线、不唯一”三大核心特征. 能将平面内任意向量用给定基底线性表示为,并理解实数对的唯一性. 在作图、证明、解题中，提升逻辑推理能力和运算求解能力，熟练运用数形结合、化归与转化的数学思想. 新课导入 如图，为物理中的重力分解模型，重力可分解为垂直斜面向下的和平行斜面向下的，满足 此前我们学过了向量共线定理：若与非零向量共线，则存在唯一实数，使 该定理仅能否表示同一平面的所有向量？ 共线向量定理仅能表示同一直线上的向量. 那么平面内任意向量该如何表示？ 能否用两个不共线的向量线性表示？ 这就是本节课要学习的主要内容——平面向量基本定理. 一般步骤： 新知探究 探究一：已知基底作向量 已知不共线向量 ，如何作出向量 ？ 由此步骤容易作出 ①数乘向量 ②平移至同一起点 ③平行四边形法则作和 结论：对于任意实数 所作的均表示平面内一个确定向量。 推导： 新知探究 探究二：分解任意平面向量 如图，平面内任意向量，能否表示为的形式？ 任取点，作、、； 过作交所在直线于，作交所在直线于，得平行四边形； 由平行四边形法则得 存在实数、，使、， 故，完成存在性证明. 推导过程： 新知探究 探究三：证明实数对唯一 满足条件的是否唯一？若存在另一组实数,使,两组实数有何关系？ 由 得 因不共线，故、 即、 实数对唯一 结合前面证明的存在性和唯一性，你能总结出什么规律吗？ 新知探究 经过以上的证明，我们可以得到以下定理： 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量,存在唯一一对实数 ,使 基底定义：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为。 基底特征： 非零性 ②不共线性 (核心特征) ③不唯一 性 正交分解：当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解 新知探究 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述 形式上有什么区别和联系？ 维度 向量共线定理 平面向量基本定理 适用范围 一维上的向量 二维内的任意向量 基底要求 1个非零向量 2个不共线的非零向量 表示形式 （单向量数乘） 唯一性 对给定的 和 ，实数 唯一 对给定的基底 和 ，实数对 唯一 注：当 时， 与 共线；当 时， 与 共线； 当 时，； 知识小结 平面向量基本定理 ①平面向量基本定理： 不共线任意,唯一,使 ②基底:非零、不共线、不唯一 ③正交分解：当所在直线互相垂直时的分解情况 典例分析 例1 已知：在平行四边形 中，对角线 、 交于点 ，，，用基底 表示 。 【分析】利用平行四边形法则,以及对角线互相平分的性质来求解。 解： 因为平行四边形对角线互相平分，所以 是 的中点： 由 ，得： 即时训练 1.在△ABC中，点D为边BC上一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果。 【详解】因为，所以， 则 。 B 典例分析 例2 如图 ，质量为 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面对物体的摩擦力 。 【分析】数量积消元：利用,两边点乘消去由夹角关系得 方向沿斜面向上. 解： 物体受到三个力： 重力 （方向竖直向下，大小为 N） 斜面的支持力 （方向与斜面垂直向上，大小记为 N） 摩擦力 （方向与斜面平行向上，大小记为 N） 因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，即 典例分析 所以 即 从而 答： 斜面对于物体的摩擦力 的大小为 N，方向与斜面平行向上. 则 即时训练 2.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是__________。 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 典例分析 例3 设 是平面内的一组基底，，，，求证： 三点共线。 分析：要证 三点共线，只需证明共起点的两个向量 与 共线，即证明 （ 为实数）. 所以 与 共线，又 与 有公共起点 ，故 三点共线 证明： 即时训练 1.如图，在平行四边形 中，，，设 ，．注：本小题几何方法求解不得分． (1)用 ， 表示 ，； (2)用平面向量证明：，， 三点共线． 【分析】根据题意，求得 ，，得到 ，即可得证． 解（1）由题意知，向量 ， 可得 又由 ，可得 ， 所以 （2）因为 ，可得 ， 所以 ， 即时训练 且 ，可得 所以 ，， 三点共线． 巩固提升 题型1 平面向量基本定理辨析 1.若 是平面 内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. () 可以表示平面 内的所有向量 B. 对于平面 中的任一向量 ，使 的实数 有无数多对 C. 均为实数，且向量 与 共线，则有且只有一个实数 ，使 D. 若存在实数 ，使 ，则 【分析】运用平面向量基本定理可判断 A 项、B 项、D 项，举反例可判断 C. 【详解】由题意可知： 可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A 项、D 项正确，B 项不正确； 对于 C 项，当 时，则 ，此时任意实数 均有 ，故 C 项不正确。 BC 巩固提升 题型2 判断两个向量是否可作基底 2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可。 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底。 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底。 C 巩固提升 题型三 利用基底表示向量 3.在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. A 巩固提升 题型四 平面向量基本定理逆向求参 4.已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. B 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! e 平面向量基本定理 课堂小结 播放导语 课程目录 1 知识点回顾 2 易错点警示 3 解题技巧 本节重点 基底 线性表示 唯一性 平面向量基本定理 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1, λ2，使 a = λ1e1 + λ2e2 其中，不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 基底的条件 两个向量必须在同一平面内 两个向量必须不共线（即不平行） 零向量不能作为基底向量 系数的唯一性 对于确定的基底，任意向量的分解系数 λ1, λ2 是唯一确定的。这对应了平面直角坐标系的坐标原理。 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把这个向量正交分解。 特例：若基底 e1, e2 是互相垂直的单位向量（即 i, j），则分解系数即为该向量的坐标。 图1：基底分解示意图 图2：平行四边形法则 ⚠️ 常见误区与陷阱 1 忽视“不共线”条件 错误认为任意两个向量都能作为基底。 警示：若 e1 // e2，则它们只能表示与它们共线的向量，无法表示平面内的所有向量。 2 混淆基底与坐标系 误以为基底向量必须垂直或长度为1。 警示：基底向量 e1, e2 的夹角可以是任意值（0°和180°除外），模长也可以是任意正数。垂直单位向量只是基底的一种特例（正交基底）。 3 零向量的处理 忘记零向量也可以用基底表示。 警示：零向量的分解式为 0 = 0e1 + 0e2，此时 λ1 = λ2 = 0。 技巧一：基底选择法 在解决几何问题时，选择合适的基底至关重要。 ✓ 优先选择已知模长或夹角的向量作为基底。 ✓ 在三角形中，常选两边对应的向量（如 AB, AC）作为基底。 ✓ 在平行四边形中，常选邻边向量作为基底。 技巧二：待定系数法 用于求向量分解系数或证明三点共线。 设 P = xa + yb 列出方程组求解 x, y 核心思想：利用平面向量基本定理的唯一性，建立方程组。 技巧三：三点共线定理的应用 若 A, B, P 三点共线，且 O 为平面内任意一点，则存在实数 t 使得： OP = (1-t)OA + tOB 推论：若 OP = xOA + yOB 且 A, B, P 共线，则 x + y = 1。 O A B P $