数学好玩 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册

数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 活动一：绘制校园平面图 1 活动二：神奇的莫比乌斯带 2 活动三：可爱的小猫 3 考点讲练 4 考点一：绘制校园平面图 4 考点二：莫比乌斯带的制作 5 考点三：利用数对绘制相似图形 6 综合训练 8 知识梳理 活动一：绘制校园平面图 1. 活动目标 能运用比例尺、方向与位置的知识，结合实际测量数据绘制校园平面图。 经历“实际测量—数据整理—按比例绘制”的过程，培养空间观念和应用意识。 2. 核心知识点 比例尺的应用：理解比例尺的意义（图上距离与实际距离的比），掌握数值比例尺（如1:1000）和线段比例尺的换算，能根据实际距离和比例尺计算图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）。 方向与位置：确定平面图的方向（上北下南左西右东），结合角度描述物体位置（如“教学楼在操场北偏东30°方向”）。 数据测量与整理：学习使用卷尺、测绳等工具测量校园内建筑物、道路的实际长度，记录数据并统一单位（如米）。 3. 操作步骤 ① 确定范围与方向：明确绘制区域（如整个校园或某一区域），在图纸上标出方向标（上北）。 ② 测量实际距离：分组测量关键地点（如教学楼长、操场宽、道路宽度等），记录数据（精确到厘米）。 ③ 选择比例尺：根据图纸大小和实际范围选择合适比例尺（如校园长200米，图纸长20厘米，可选用1:1000比例尺）。 ④ 计算图上距离：根据“图上距离=实际距离×比例尺”换算各部分长度（如实际长200米=20000厘米，图上距离=20000×1/1000=20厘米）。 ⑤ 绘制与标注：按比例画出建筑物轮廓，标注名称、长度、方向等信息，添加图例（如用长方形表示教学楼，用曲线表示跑道）。 4. 易错点与注意事项 单位换算错误：忘记将实际距离的“米”换算成“厘米”（1米=100厘米）。 比例尺选择不当：比例尺过大导致图纸画不下，或过小导致细节无法呈现。 方向标注遗漏：未在图上标出方向标，导致位置描述混乱。 活动二：神奇的莫比乌斯带 1. 活动目标 通过制作和操作莫比乌斯带，认识其“单侧性”“单边缘”的特性，感受图形的奇妙。 经历观察、猜想、验证的过程，培养空间想象能力和探究精神。 2. 核心知识点 莫比乌斯带的定义：将一根纸条扭转180°后，把两端粘合起来形成的曲面，只有一个面和一条边。 单侧性验证：用彩笔沿纸条中线连续画线，能不抬笔回到起点，证明其只有一个面。 剪切实验规律： 沿莫比乌斯带中线剪开：得到一个比原来长一倍的大莫比乌斯带（而非两个分开的环）。 沿莫比乌斯带1/3宽度处剪开：得到一个小莫比乌斯带和一个与原带等长的环，且两个环套在一起。 3. 操作步骤 ① 制作莫比乌斯带：取长方形纸条（长约20厘米，宽约3厘米），将一端扭转180°，与另一端对齐粘合（注意边缘完全重合）。 ② 验证单侧性：用彩笔从纸条任意一点开始画线，不离开纸面持续画，观察是否能回到起点且覆盖整个面。 ③ 剪切实验： 沿中线剪开：用剪刀沿纸条中线（或用直尺画出中线）缓慢剪开，观察得到的图形。 沿1/3宽度剪开：在纸条上量出1/3宽度并画线，沿此线剪开，观察结果。 4. 易错点与注意事项 扭转角度错误：未扭转180°（如扭转90°或360°），导致制作出普通圆环而非莫比乌斯带。 剪切不平整：剪切时偏离画线，导致得到的图形不规则。 活动三：可爱的小猫 1. 活动目标 结合坐标与比例知识，学习按一定比例放大或缩小图形，理解图形缩放的特性（形状不变，大小改变）。 能根据给定比例画出放大或缩小后的图形，培养几何直观。 2. 核心知识点 图形的缩放：放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例（即相似图形），对应角相等。 比例的应用：明确缩放比例（如“按2:1放大”表示新图形边长是原图形的2倍，“按1:2缩小”表示新图形边长是原图形的1/2）。 坐标与图形变换：通过确定原图形关键点的坐标，按比例计算新坐标，再连接各点得到缩放后的图形。 3. 操作步骤（以“按2:1放大小猫图形”为例） ① 确定原图形关键点：在方格纸上找出小猫图形的轮廓关键点（如耳朵尖、眼睛中心、鼻尖、身体转折点等），记录各点坐标（如A(1,2)、B(3,4)等）。 ② 计算新坐标：按2:1放大，各点横、纵坐标均乘2（如A(1×2, 2×2)=(2,4)，B(3×2,4×2)=(6,8)）。 ③ 绘制新图形：在方格纸上标出所有新坐标点，按原图形顺序连接各点，形成放大后的小猫图形。 ④ 验证形状不变：测量原图形与新图形对应边的比例（均为1:2），对应角大小相等（如原图形中∠A=30°，新图形中对应角仍为30°）。 4. 易错点与注意事项 比例混淆：将“放大比例”与“缩小比例”弄反（如误将“1:2”当作放大，实际为缩小）。 坐标对应错误：仅放大横（或纵）坐标，未同时放大另一坐标，导致图形变形（如原图形是正方形，只放大横坐标会变成长方形）。 关键点遗漏：未找准所有轮廓关键点，导致缩放后图形与原图形差异较大。 考点讲练 考点一：绘制校园平面图 【典例精讲】一座图书馆的底面是周长为450m的长方形，长与宽的比是5∶4，现在按1∶500的比画出图书馆的平面图，图书馆在图上的长是( )cm，宽是( )cm。 【变式训练】看图填空。 （1）量一量辛庄小学平面图的长是 厘米，宽是 厘米，这所小学实际占地面积是 平方米。 （2）如果操场的长约是60米，宽约是40米。绕操场一圈大约是 米。 （3）教学楼的面积大约占学校总面积的 %。 【变式训练】在如图平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校大门的东偏北60°方向200米处。 （2）体育馆在学校大门正东350米方向上。 【变式训练】下图是某希望小学校园平面图，请根据图示完成下列问题：     （1）食堂在校园的( )角，体育馆在校园的( )角．图书馆在校园的( )角． （2）教学楼在操场的( )面，升旗台在操场的( )面，科技楼在操场的( )面． 考点二：莫比乌斯带的制作 【典例精讲】如果沿着莫比乌斯带边缘宽度的地方剪开，你有什么发现？ 【变式训练】如图，将①号、②号纸环分别沿虚线剪开，会得到怎样的纸环？ 【变式训练】一个圆形纸环的直径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包面包屑。笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑， 这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 【变式训练】如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )cm。 考点三：利用数对绘制相似图形 【典例精讲】看图回答问题。 （1）用数对表示图①中三个点的位置： A（    ），B（    ），C（    ）。 （2）把图①先向上平移3格，再向左平移4格，得到图②，请画出图②。 （3）这时图②在图①的（    ）方向。 【变式训练】如图中字母A的位置是（    ）。 A．（2，1） B．（9，6） C．（5，9） D．（1，6） 【变式训练】用数对表示出小红家厨房墙面上每块花色瓷砖的位置。 【变式训练】用数对表示图中圆圈从上到下，再从左到右移动的位置。你有什么发现？ 综合训练 1．以下数学知识运用正确的是哪几个（    ）。 ①用一根纸条扭成莫比乌斯带，沿着二等分线剪开得到的是更大的莫比乌斯环。 ②我们用的一寸二寸的证件照片，是根据一定的比例尺将图片进行缩小的。 ③自行车车轮是圆的，运用的几何原理是圆心到圆上的任何一点距离相等。 ④在利用圆柱的体积公式推导圆锥的体积公式时，发现了等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 A．①③ B．②③④ C．② D．③④ 2．下面的造型设计没有用到莫比乌斯带元素的是（    ）。 A． B． C． D． 3．用一张长纸条做成一个莫比乌斯带，将这条莫比乌斯带沿带中线剪开，得到的图形是（    ）。 A．两个一样大小的纸环 B．一个较大的纸环 C．一个较小的纸环 D．一大一小的两个纸环 4．下面描述莫比乌斯带错误的是（    ）。 A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环 B．莫比乌斯带只有一个面 C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带 D．莫比乌斯带只有一条边 5．如图中，可以用数对（    ）表示点的位置。 A． B． C． D． 6．如图中，点P的位置可以用数对表示为（    ）。 A．（6，3） B．（6，4） C．（4，5） D．（4，6） 7．下列造型应用了莫比乌斯带原理的是( )。（填序号） 8．把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转( )°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有( )个面，有( )条边。 9．过山车的跑道采用的就是 原理，它能使过山车在轨道两面通过。 10．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上量得A，B两地的距离是6cm，如果把A，B两地画在第二幅地图上，距离是12cm，那么第二幅地图的比例尺是( )；B，C两地的距离是240km，画在第二幅地图上的距离是( )cm。 11．为了庆祝运动会中得分年级第一，六（1）班组织同学去观看《狮子山下的故事》。在电影院里，他们一共坐了8列，每一列人数都相等。如果第8列最后一名同学的位置用数对表示是（8，6），六（1）班共有( )名同学。 12．如图所示，将三角形ABC向左平移3格后，C点的位置可以用数对表示为 ；再将三角形ABC向上平移2格，C点的位置可以用数对表示为 。 13．平平家的正西方向600米是游泳馆，游泳馆的正北方向200米是图书馆，图书馆的正东方向1000米是百货超市，百货超市的正南方向400米是电影院。请你先确定比例尺，再画出上述各个地点的平面图。 14．根据所给的条件，在下面的图纸上选择合适的比例尺，并画出学校的平面图。 （1）学校大门在花坛的正南面。 （2）花坛的西面有一栋长50m，宽20m的长方形教学楼 （3）花坛的东北角有一座边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m，宽10m的图书馆。 （5）花坛的东南角有一片长30m，宽20m的绿化区。 15．游乐中心计划建一个半径为20米的半圆形花坛。请你选择合适的比例尺把这个半圆形花坛画在下面的长方形内。 16．作出小强从家到学校的路线图。小强从家出发，先向东北方向步行200米到达邮局，再向东偏南30°方向步行100米到达学校。 17．下图所示的是某小学校园的平面图。 （1）图上1cm表示实际距离（    ）。量得图上操场的长为（    ）cm，宽为（    ）cm，则实际操场的长为（    ）m，宽为（    ）m，面积为（    ）。 （2）描述一下，从大门进去，如何才能走到厕所？ 18．取一张长60cm、宽6cm的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如下图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这个莫比乌斯带上爬行，它至少爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 19．利用课间，贝贝学习小组的同学绘制了和平小学的校园平面图。 （1）图上1厘米表示实际距离是（    ）。 （2）在平面图中，操场的长是2.5厘米，宽是1.5厘米，操场实际的长是（    ）米，宽是（    ）米。操场的占地面积是（    ）平方米。 （3）和平小学的校园实际占地面积是多少？ （4）乐乐在另一张图纸上画出校园的平面图，他用54厘米表示校园的长。乐乐所画的平面图的比例尺是多少？ 20．下面的小学校园平面图是长方形，请根据这个平面图完成以下各题 （1）量一量，算一算．（测量图上距离时取整厘米．） ①校园平面图的长是________厘米，宽是________厘米． ②校园实际长________米，宽________米，占地面积是______平方米． （2）根据上面校园平面图填一填并动手操作． ①教学楼在花坛的________面，校门在跑道的________面；校园的西北角有________． ②如果在校园的东北角建一个长25米，宽10米的食堂，请在校园平面图上按比例画出食堂的位置． （3）校园的林地里一共有李子树、杏树和桃树64棵，它们的棵数之比依次是1：3：4校园里有李子树、杏树和桃树各多少棵？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 活动一：绘制校园平面图 1 活动二：神奇的莫比乌斯带 2 活动三：可爱的小猫 3 考点讲练 3 考点一：绘制校园平面图 4 考点二：莫比乌斯带的制作 7 考点三：利用数对绘制相似图形 9 综合训练 12 知识梳理 活动一：绘制校园平面图 1. 活动目标 能运用比例尺、方向与位置的知识，结合实际测量数据绘制校园平面图。 经历“实际测量—数据整理—按比例绘制”的过程，培养空间观念和应用意识。 2. 核心知识点 比例尺的应用：理解比例尺的意义（图上距离与实际距离的比），掌握数值比例尺（如1:1000）和线段比例尺的换算，能根据实际距离和比例尺计算图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）。 方向与位置：确定平面图的方向（上北下南左西右东），结合角度描述物体位置（如“教学楼在操场北偏东30°方向”）。 数据测量与整理：学习使用卷尺、测绳等工具测量校园内建筑物、道路的实际长度，记录数据并统一单位（如米）。 3. 操作步骤 ① 确定范围与方向：明确绘制区域（如整个校园或某一区域），在图纸上标出方向标（上北）。 ② 测量实际距离：分组测量关键地点（如教学楼长、操场宽、道路宽度等），记录数据（精确到厘米）。 ③ 选择比例尺：根据图纸大小和实际范围选择合适比例尺（如校园长200米，图纸长20厘米，可选用1:1000比例尺）。 ④ 计算图上距离：根据“图上距离=实际距离×比例尺”换算各部分长度（如实际长200米=20000厘米，图上距离=20000×1/1000=20厘米）。 ⑤ 绘制与标注：按比例画出建筑物轮廓，标注名称、长度、方向等信息，添加图例（如用长方形表示教学楼，用曲线表示跑道）。 4. 易错点与注意事项 单位换算错误：忘记将实际距离的“米”换算成“厘米”（1米=100厘米）。 比例尺选择不当：比例尺过大导致图纸画不下，或过小导致细节无法呈现。 方向标注遗漏：未在图上标出方向标，导致位置描述混乱。 活动二：神奇的莫比乌斯带 1. 活动目标 通过制作和操作莫比乌斯带，认识其“单侧性”“单边缘”的特性，感受图形的奇妙。 经历观察、猜想、验证的过程，培养空间想象能力和探究精神。 2. 核心知识点 莫比乌斯带的定义：将一根纸条扭转180°后，把两端粘合起来形成的曲面，只有一个面和一条边。 单侧性验证：用彩笔沿纸条中线连续画线，能不抬笔回到起点，证明其只有一个面。 剪切实验规律： 沿莫比乌斯带中线剪开：得到一个比原来长一倍的大莫比乌斯带（而非两个分开的环）。 沿莫比乌斯带1/3宽度处剪开：得到一个小莫比乌斯带和一个与原带等长的环，且两个环套在一起。 3. 操作步骤 ① 制作莫比乌斯带：取长方形纸条（长约20厘米，宽约3厘米），将一端扭转180°，与另一端对齐粘合（注意边缘完全重合）。 ② 验证单侧性：用彩笔从纸条任意一点开始画线，不离开纸面持续画，观察是否能回到起点且覆盖整个面。 ③ 剪切实验： 沿中线剪开：用剪刀沿纸条中线（或用直尺画出中线）缓慢剪开，观察得到的图形。 沿1/3宽度剪开：在纸条上量出1/3宽度并画线，沿此线剪开，观察结果。 4. 易错点与注意事项 扭转角度错误：未扭转180°（如扭转90°或360°），导致制作出普通圆环而非莫比乌斯带。 剪切不平整：剪切时偏离画线，导致得到的图形不规则。 活动三：可爱的小猫 1. 活动目标 结合坐标与比例知识，学习按一定比例放大或缩小图形，理解图形缩放的特性（形状不变，大小改变）。 能根据给定比例画出放大或缩小后的图形，培养几何直观。 2. 核心知识点 图形的缩放：放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例（即相似图形），对应角相等。 比例的应用：明确缩放比例（如“按2:1放大”表示新图形边长是原图形的2倍，“按1:2缩小”表示新图形边长是原图形的1/2）。 坐标与图形变换：通过确定原图形关键点的坐标，按比例计算新坐标，再连接各点得到缩放后的图形。 3. 操作步骤（以“按2:1放大小猫图形”为例） ① 确定原图形关键点：在方格纸上找出小猫图形的轮廓关键点（如耳朵尖、眼睛中心、鼻尖、身体转折点等），记录各点坐标（如A(1,2)、B(3,4)等）。 ② 计算新坐标：按2:1放大，各点横、纵坐标均乘2（如A(1×2, 2×2)=(2,4)，B(3×2,4×2)=(6,8)）。 ③ 绘制新图形：在方格纸上标出所有新坐标点，按原图形顺序连接各点，形成放大后的小猫图形。 ④ 验证形状不变：测量原图形与新图形对应边的比例（均为1:2），对应角大小相等（如原图形中∠A=30°，新图形中对应角仍为30°）。 4. 易错点与注意事项 比例混淆：将“放大比例”与“缩小比例”弄反（如误将“1:2”当作放大，实际为缩小）。 坐标对应错误：仅放大横（或纵）坐标，未同时放大另一坐标，导致图形变形（如原图形是正方形，只放大横坐标会变成长方形）。 关键点遗漏：未找准所有轮廓关键点，导致缩放后图形与原图形差异较大。 考点讲练 考点一：绘制校园平面图 【典例精讲】一座图书馆的底面是周长为450m的长方形，长与宽的比是5∶4，现在按1∶500的比画出图书馆的平面图，图书馆在图上的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 25 20 【分析】将周长除以2，求出长方形长和宽之和，再根据长与宽的比，利用乘法分别求出长和宽。图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式求出长和宽的图上距离即可。 【详解】450÷2＝225（m） 225×＝125（m） 225×＝100（m） 125m＝12500cm 100m＝10000cm 12500×＝25（cm） 10000×＝20（cm） 所以，图书馆在图上的长是25cm，宽是20cm。 【点睛】本题考查了长方形的周长、按比分配问题、图上距离和实际距离的换算，熟练掌握各个知识点是关键。 【变式训练】看图填空。 （1）量一量辛庄小学平面图的长是 厘米，宽是 厘米，这所小学实际占地面积是 平方米。 （2）如果操场的长约是60米，宽约是40米。绕操场一圈大约是 米。 （3）教学楼的面积大约占学校总面积的 %。 【答案】 8 5 16000 200 13 【分析】（1）用直尺即可直接量出平面图的长和宽，再据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出辛庄小学长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式求解。（2）长方形的长和宽的值已知，利用长方形的周长公式即可求解。（3）求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算即可。此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及长方形的周长和面积的计算方法，解答时要注意单位的换算。 【详解】（1）量出平面图的长和宽的图上距离分别为8厘米和5厘米， 则8÷＝16000（厘米）＝160（米） 5÷＝10000（厘米）＝100（米） 160×100＝16000（平方米） 所以这所小学实际占地面积是16000平方米。 （2）（60＋40）×2 ＝100×2 ＝200（米） 答：绕操场一圈大约是200米。 （3）2090÷16000≈13% 所以教学楼的面积大约占学校总面积的13%。 【变式训练】在如图平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校大门的东偏北60°方向200米处。 （2）体育馆在学校大门正东350米方向上。 【答案】见详解 【详解】（1）200米＝20000厘米 20000×＝2（厘米） （2）350米＝35000厘米 35000×＝3.5（厘米） 图书馆和体育馆的位置如图所示： 【点睛】 【变式训练】下图是某希望小学校园平面图，请根据图示完成下列问题：     （1）食堂在校园的( )角，体育馆在校园的( )角．图书馆在校园的( )角． （2）教学楼在操场的( )面，升旗台在操场的( )面，科技楼在操场的( )面． 【答案】 西北 西南 东北 北 东 西 【详解】略 考点二：莫比乌斯带的制作 【典例精讲】如果沿着莫比乌斯带边缘宽度的地方剪开，你有什么发现？ 【答案】发现：可以得到一大一小两个套在一起的纸环。其中窄一点的大的纸环不是莫比乌斯带，另一个窄一点的小的纸环仍是莫比乌斯带。 【分析】通过动手进行实际操作，发现：如果沿着“莫比乌斯带”边缘的宽度的地方一直剪下去，就会出现一个小环套着一个大环。其中窄一点的大的纸环不是莫比乌斯带，另一个窄一点的小的纸环仍是莫比乌斯带。据此解答。 【详解】根据分析得： 如果沿着莫比乌斯带边缘宽度的地方剪开，我发现：可以得到一大一小两个套在一起的纸环。其中窄一点的大的纸环不是莫比乌斯带，另一个窄一点的小的纸环仍是莫比乌斯带。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 【变式训练】如图，将①号、②号纸环分别沿虚线剪开，会得到怎样的纸环？ 【答案】将①号纸环沿虚线剪开，得到两个分离的纸环。将②号纸环沿虚线剪开，得到一个窄一点的大的纸环。 【分析】①号纸环是普通的纸环，沿虚线剪开后会得到 两个分离的纸环。 ②号纸环是莫比乌斯带，沿虚线剪开后会得到 一个窄一点的大的纸环。据此解答。 【详解】根据分析得： 将①号纸环沿虚线剪开，得到两个分离的纸环。将②号纸环沿虚线剪开，得到一个窄一点的大的纸环。 【变式训练】一个圆形纸环的直径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包面包屑。笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑， 这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 【答案】31.4 【分析】让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，根据“莫比乌斯环”的特点，爬行的最短距离即为圆环的周长，根据圆的周长公式，代入数据即可解答。 【详解】（cm） 即蚂蚁至少需要爬行31.4cm才能吃到面包屑。 【变式训练】如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )cm。 【答案】120 【分析】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面，一面长为60cm，则两面是120cm。 【详解】60×2＝120（cm） 则它爬行的距离是120cm。 考点三：利用数对绘制相似图形 【典例精讲】看图回答问题。 （1）用数对表示图①中三个点的位置： A（    ），B（    ），C（    ）。 （2）把图①先向上平移3格，再向左平移4格，得到图②，请画出图②。 （3）这时图②在图①的（    ）方向。 【答案】（1）A（6，1），B（9，1），C（7，3） （2）见详解 （3）西北 【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行。 （1）用数对表示图①中三个点的位置A表示第6列第1行，B表示第9列第1行，C表示第7列第3行。 （2）把图①三角形的每个顶点都向上平移3格，再向左平移4格后连线。 （3）图上方位是：上北下南，左西右东，先确定观测点，再根据目的地与观测点的位置关系确定方向。 【详解】（1）用数对表示图①中三个点的位置： A（6，1），B（9，1），C（7，3）。 （2）如图： （3）这时图②在图①的西北方向。 【点睛】熟悉用数对表示位置的方法及图形平移的方法是解决本题的关键。 【变式训练】如图中字母A的位置是（    ）。 A．（2，1） B．（9，6） C．（5，9） D．（1，6） 【答案】C 【分析】根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此解答。 【详解】图中字母A在第5列第9行，用数对表示字母A的位置是（5，9）。 故答案为：C 【点睛】本题考查数对与位置的知识，掌握用数对表示物体位置的方法是解题的关键。 【变式训练】用数对表示出小红家厨房墙面上每块花色瓷砖的位置。 【答案】见详解 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号；据此解题即可。 【详解】用数对表示出小红家厨房墙面上每块花色瓷砖的位置，如下： 【点睛】熟记用数对表示位置的方法，表示列的数在前，表示行的数在后中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，是解答此题的关键。 【变式训练】用数对表示图中圆圈从上到下，再从左到右移动的位置。你有什么发现？ 【答案】见详解 【分析】用数对表示圆圈所在位置时，先看它在第几列，数对的第1个数就是几，再看它在第几行，数对的第2个数就是几，依照此法写圆圈所在位置的数对；再比较数对中第1个数的变化，以及第2个数的变化来总结发现。 【详解】第2列的圆圈从上到下依次用数对表示是（2，8）；（2，7）；（2，4）； 第4行从左到右的圆圈用数对表示依次是（2，4）；（3，4）；（6，4）； 答：我发现数对沿竖直方向平移时，列不变行变；数对沿水平方向平移时，列变行不变。 【点睛】数对的第1个数表示列数，第2个数表示行数。 综合训练 1．以下数学知识运用正确的是哪几个（    ）。 ①用一根纸条扭成莫比乌斯带，沿着二等分线剪开得到的是更大的莫比乌斯环。 ②我们用的一寸二寸的证件照片，是根据一定的比例尺将图片进行缩小的。 ③自行车车轮是圆的，运用的几何原理是圆心到圆上的任何一点距离相等。 ④在利用圆柱的体积公式推导圆锥的体积公式时，发现了等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 A．①③ B．②③④ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】①将莫比乌斯带沿着二等分线剪开，得到的不是更大的莫比乌斯环，而是一个有两个扭转的环。 ②一寸二寸的证件照片，确实是按照一定比例尺将实际的人像进行缩小处理得到的，这符合比例尺在实际中的应用。 ③因为圆心到圆上任意一点距离都相等，这样自行车车轮滚动时车轴到地面距离始终保持不变，能保证车辆行驶平稳，所以自行车车轮设计成圆运用了此原理。 ④在数学推导中，通过实验等方法发现，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这是圆柱和圆锥体积关系的重要知识点。 【详解】由分析可得，①说法错误；②③④说法正确。 故答案为：B 2．下面的造型设计没有用到莫比乌斯带元素的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】莫比乌斯带是一种单侧曲面，它只有一个面和一条边界，形状通常呈现出连续的、扭曲的环状等特征。观察四个选项中的造型，判断是否具有莫比乌斯带的这些特征。 【详解】A．摩天轮是常见的旋转对称结构，没有用到莫比乌斯带元素； B．造型设计呈现连续的、扭曲的环状，符合莫比乌斯带的特征，用到了莫比乌斯带元素； C．造型设计具有莫比乌斯带独特的单侧、扭曲的曲面特点，用到了莫比乌斯带元素； D．造型设计呈现类似莫比乌斯带的连续扭曲的环状结构，用到了莫比乌斯带元素。 故答案为：A 3．用一张长纸条做成一个莫比乌斯带，将这条莫比乌斯带沿带中线剪开，得到的图形是（    ）。 A．两个一样大小的纸环 B．一个较大的纸环 C．一个较小的纸环 D．一大一小的两个纸环 【答案】B 【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。 【详解】当沿着莫比乌斯带的中线剪开时，并不会得到两个独立的纸环，而是会形成一个更大的纸环，这个纸环的长度是原来莫比乌斯带长度的两倍。 故答案为：B 4．下面描述莫比乌斯带错误的是（    ）。 A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环 B．莫比乌斯带只有一个面 C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带 D．莫比乌斯带只有一条边 【答案】A 【分析】莫比乌斯带是德国数学家在1858年发现的，把一条长方形纸带先捏着一端，另一端扭转180°，再粘贴起来就成了莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一个面，一条边；如果沿着中线剪一次，纸带会变成一个更大的纸环；如果沿着三等分线剪开没有一分为三，而成了一大一小两个相连的环，据此解答。 【详解】A．沿着莫比乌斯带中线剪开，会得到一个更大的纸环；原说法错误； B．莫比乌斯带只有一个面；此说法正确； C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带；此说法正确； D．莫比乌斯带只有一条边；此说法正确。 故答案为：A 5．如图中，可以用数对（    ）表示点的位置。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行，同一列的两个点，第一个数相同；同一行的两个点，第二个数相同。据此解答即可。 【详解】根据图示，点B与同一列，与同行，所以可以用数对表示点B的位置。 故答案为：C 【点睛】本题考查用数对表示位置的知识，解题关键是分析题中用数对表示位置的规则，即：数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行，同一行的两个点，第二个数相同，同一列的两个点，第一个数字相同。 6．如图中，点P的位置可以用数对表示为（    ）。 A．（6，3） B．（6，4） C．（4，5） D．（4，6） 【答案】A 【分析】根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由图可知点P和（4，3）在同一行，和（6，8）在同一列，所以点P的位置为第6列、第3行，用数对表示是（6，3），据此即可解答。 【详解】由图可知点P的位置为第6列、第3行，用数对表示是（6，3）。 故答案为：A 7．下列造型应用了莫比乌斯带原理的是( )。（填序号） 【答案】①②③ 【分析】一个长方形的长条，先扭一下或几下，再将长条的两端粘上，得到的闭环是莫比乌斯带。据此找出题中的莫比乌斯带，从而解题。 【详解】①②③符合莫比乌斯带定义，所以应用了莫比乌斯带原理。 ④是圆环交叉在一起，所以没有应用莫比乌斯带原理。 8．把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转( )°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有( )个面，有( )条边。 【答案】 180 1 1 【分析】把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条特殊的带子，即一条莫比乌斯带。莫比乌斯带具有独特的性质，它只有1个面，有1条边，据此解答。 【详解】由分析得：把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有1个面，有1条边。 9．过山车的跑道采用的就是 原理，它能使过山车在轨道两面通过。 【答案】莫比乌斯带 【分析】莫比乌斯带的原理是普通纸带的两个面（即双侧曲面），正面与反面涂成不同的颜色把这个纸带变成一个面（即单侧曲面），一只小虫爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘，这种纸带被称为“莫比乌斯带”。据此解答。 【详解】根据分析可知，过山车的跑道采用的就是莫比乌斯带原理，它能使过山车在轨道两面通过。 10．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上量得A，B两地的距离是6cm，如果把A，B两地画在第二幅地图上，距离是12cm，那么第二幅地图的比例尺是( )；B，C两地的距离是240km，画在第二幅地图上的距离是( )cm。 【答案】 1∶1000000 24 【分析】 比例尺是1∶2000000，即就是图上距离与实际距离的比是1∶2000000，也就是1cm的距离相当于实际距离的2000000cm，则实际距离就是12000000cm，再用第二幅图的图上距离与实际距离的比就是12∶12000000，将比化简成最简整数比。第二幅地图的比例尺是1∶1000000相当于图上1cm的距离相当于实际距离1000000cm，因为1km＝100000cm，则240km＝24000000cm，图上的距离就是在24000000cm找有几个1000000。 【详解】6×2000000＝12000000（cm） 12∶12000000＝1∶1000000 则第二幅地图的比例尺是1∶1000000； 240 km＝24000000cm 24000000÷1000000＝24（cm） 则画在第二幅地图上的距离是24cm。 11．为了庆祝运动会中得分年级第一，六（1）班组织同学去观看《狮子山下的故事》。在电影院里，他们一共坐了8列，每一列人数都相等。如果第8列最后一名同学的位置用数对表示是（8，6），六（1）班共有( )名同学。 【答案】48 【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，（8，6）中的8表示第8列，6表示第6行，即这个班的同学一共坐了8列、6行，用乘法即可求出该班学生人数。 【详解】8×6＝48（名） 即六（1）班共有48名同学。 12．如图所示，将三角形ABC向左平移3格后，C点的位置可以用数对表示为 ；再将三角形ABC向上平移2格，C点的位置可以用数对表示为 。 【答案】 （1，1） （1，3） 【分析】根据平移的方法，先找到平移后C点的位置，再按照用数对表示位置的规则“先列后行”表示出C点的位置，数对中间要用逗号隔开，要用小括号括起来。将三角形ABC向左平移3格后，C点的位置在第1列第1行，所以用数对表示为（1，1）；现再将三角形ABC向上平移2格，C点的位置在第1列第3行，所以用数对表示为（1，3）。 【详解】根据分析可知： 将三角形ABC向左平移3格后，C点的位置可以用数对表示为（1，1）；现再将三角形ABC向上平移2格，C点的位置可以用数对表示为（1，3）。 13．平平家的正西方向600米是游泳馆，游泳馆的正北方向200米是图书馆，图书馆的正东方向1000米是百货超市，百货超市的正南方向400米是电影院。请你先确定比例尺，再画出上述各个地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】根据利用方向和距离确定物体位置的方法，先确定方向，再确定距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，确定比例尺为：1∶20000，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 平平家到游泳馆的图上距离为：600米＝60000厘米 60000×＝3（厘米） 游泳馆到图书馆的图上距离为：200米＝20000厘米 20000×＝1（厘米） 图书馆到百货超市的图上距离为：1000米＝100000厘米 100000×＝5（厘米） 百货超市到电影院的图上距离为：400米＝40000厘米 40000×＝2（厘米） 画图如下：    【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用方向和距离确定物体位置的方法及应用。 14．根据所给的条件，在下面的图纸上选择合适的比例尺，并画出学校的平面图。 （1）学校大门在花坛的正南面。 （2）花坛的西面有一栋长50m，宽20m的长方形教学楼 （3）花坛的东北角有一座边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m，宽10m的图书馆。 （5）花坛的东南角有一片长30m，宽20m的绿化区。 【答案】见详解 【分析】根据长度单位1米＝100厘米换算单位，根据每个小问可以选择一小段是表示20米，据此即可表示出每个图形图上的长度，再根据上北下南，左西右东结合图上确定方向的方法，完成作图即可。 【详解】由分析可知： （1）、（2）、（3）、（4）、（5）如图： 【点睛】考查了应用比例尺画图，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一。 15．游乐中心计划建一个半径为20米的半圆形花坛。请你选择合适的比例尺把这个半圆形花坛画在下面的长方形内。 【答案】见详解 【分析】先测量出长方形的长和宽；量的长是5厘米，宽是3厘米；由此可知，直径小于5厘米，即半径选择为2厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出比例尺，然后找一个点为圆心，以20米的图上距离为半径画出半圆即可。 【详解】20米＝2000厘米 2∶2000 ＝（2÷2）∶（2000÷2） ＝1∶1000 （画法不唯一）。 【点睛】熟练掌握比例尺的意义是解答本题的关键。 16．作出小强从家到学校的路线图。小强从家出发，先向东北方向步行200米到达邮局，再向东偏南30°方向步行100米到达学校。 【答案】见详解 【分析】东北方向即东偏北45°或北偏东45°，以小强家为观测点，邮局在以正东方向为始边向北偏45°的角的终边上，距离是200÷100＝2个单位长度；再以邮局为观测点，学校在以正东方向为始边向南偏30°的角的终边上，距离是100÷100＝1个单位长度。 【详解】如下图。 【点睛】绘制路线图时，以谁为参照点，就以谁为中心画出“十”字方向标，然后判断下一地点的方向和距离。 17．下图所示的是某小学校园的平面图。 （1）图上1cm表示实际距离（    ）。量得图上操场的长为（    ）cm，宽为（    ）cm，则实际操场的长为（    ）m，宽为（    ）m，面积为（    ）。 （2）描述一下，从大门进去，如何才能走到厕所？ 【答案】（1）40m；2.5；1.5；100；60；； （2）从大门进去，先向北走，经过花坛到达教学楼前，再向东走，经过图书馆到达厕所。 【分析】先用直尺量出图上操场的长、宽的距离，再利用：实际距离＝图上距离÷比例尺，算出实际距离，最后利用：长方形面积＝长×宽，算出长方形操场的实际面积； 根据图上标的方向，上北下南左西右东，描述路线。 【详解】根据图中比例尺可知：图上距离1cm表示实际距离4000cm，cmmm， 量得操场图上长为2.5cm，操场实际长：（cm）m 量得操场图上宽为1.5cm，操场实际宽：（cm）m 操场实际面积：（m2） （1）图上1cm表示实际距离40m。量得图上操场的长为2.5cm，宽为1.5cm，则实际操场的长为100m，宽为60m，面积为6000m2。 （2）从大门进去，先向北走，经过花坛到达教学楼前，再向东走，经过图书馆到达厕所。 18．取一张长60cm、宽6cm的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如下图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这个莫比乌斯带上爬行，它至少爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 【答案】120厘米 【分析】将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到一个大环，大环的周长是原来长方形纸条长度的2倍。将纸条长度乘2，求出大环的周长，即蚂蚁至少爬行多少厘米可以回到起点。 【详解】（厘米） 答：它至少爬行120厘米可以回到起点。 19．利用课间，贝贝学习小组的同学绘制了和平小学的校园平面图。 （1）图上1厘米表示实际距离是（    ）。 （2）在平面图中，操场的长是2.5厘米，宽是1.5厘米，操场实际的长是（    ）米，宽是（    ）米。操场的占地面积是（    ）平方米。 （3）和平小学的校园实际占地面积是多少？ （4）乐乐在另一张图纸上画出校园的平面图，他用54厘米表示校园的长。乐乐所画的平面图的比例尺是多少？ 【答案】（1）18米 （2）45；27；1215 （3）5832平方米 （4）1∶200 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离可求得实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得1厘米表示18米； （2）已知1厘米表示18米，则由长和宽的图上距离×18即可得出实际的长和宽，根据长方形面积＝长×宽即可计算出操场的占地面积； （3）观察图形可知，和平小学图上的长是6厘米，宽是3厘米，根据比例尺可求得其实际的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽代入数据即可计算出和平小学的校园实际的占地面积； （4）乐乐画的平面图用54厘米表示出的校园的长，与贝贝的平面图用6厘米表示的校园的长，实际长度是一样的，因此可先用贝贝的比例尺求出校园的实际长度，再用乐乐的图上距离∶实际距离求出乐乐画的平面图的比例尺。 【详解】（1）1÷＝1×1800＝1800厘米 1800厘米＝18米，即图上1厘米表示实际距离18米； （2）2.5×18＝45（米） 1.5×18＝27（米） 45×27＝1215（平方米） 则操场实际的长是45米，宽是27米，操场的占地面积是1215平方米； （3）3÷＝3×1800＝5400厘米 5400厘米＝54米 6÷＝6×1800＝10800（厘米） 10800厘米＝108米 54×108＝5832（平方米） 答：和平小学的校园实际占地面积是5832平方米。 （4）6÷＝6×1800＝10800（厘米） 54∶10800＝1∶200 答：乐乐所画的平面图的比例尺是1∶200。 【点睛】 20．下面的小学校园平面图是长方形，请根据这个平面图完成以下各题 （1）量一量，算一算．（测量图上距离时取整厘米．） ①校园平面图的长是________厘米，宽是________厘米． ②校园实际长________米，宽________米，占地面积是______平方米． （2）根据上面校园平面图填一填并动手操作． ①教学楼在花坛的________面，校门在跑道的________面；校园的西北角有________． ②如果在校园的东北角建一个长25米，宽10米的食堂，请在校园平面图上按比例画出食堂的位置． （3）校园的林地里一共有李子树、杏树和桃树64棵，它们的棵数之比依次是1：3：4校园里有李子树、杏树和桃树各多少棵？ 【答案】（1）12 ；8 ；120 ；80 ；9600 （2）南 ；东 ；草地 食堂的位置如下图所示： （3）李子树8棵、杏树24棵和桃树32棵． 【分析】（1）用直尺即可直接测量所需要的数据；再据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可分别求出长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式即可求解；（2）依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”以及图上标注的其他信息，即可解答；先依据“图上距离=实际距离×比例尺”分别求出食堂的图上距离，进而完成画图；（3）果树的棵数比已知，于是可以求出总份数，进而利用按比例分配的方法即可得解．此题是一道综合性的题目，涉及到了比例尺的应用，地图上的方向辨别方法，以及按比例分配的方法，要求学生要细心审题，仔细作答． 【详解】（1）①量得校园平面图的长是12厘米，宽是8厘米． ②12÷ =12000（厘米）=120（米）， 8÷ =8000（厘米）=80（米）， 120×80=9600（平方米）； 答：校园实际长120米，宽80米，占地面积是9600平方米． （2）①教学楼在花坛的南面，校门在跑道的东面；校园的西北角有草地． ②25米=2500厘米，10米=1000厘米， 则2500× =2.5厘米，1000× =1厘米， 所以食堂的位置如下图所示： （3）解：64× =8（棵）， 64× =24（棵）， 64﹣8﹣24=32（棵）； 答：校园里有李子树8棵、杏树24棵和桃树32棵． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $