第一单元 圆柱与圆锥 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册

第一单元 圆柱与圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆柱的认识 2 二、圆柱的表面积 2 三、圆柱的体积 3 四、圆锥的认识 3 五、圆锥的体积 3 六、圆柱与圆锥的关系 4 考点讲练 4 考点一：点、线、面、体之间的联系 4 考点二：圆柱和圆锥的认识及特征 5 考点三：圆锥的展开图 6 考点四：圆柱的侧面积 7 考点五：圆柱的表面积 8 考点六：组合图形的表面积（圆柱） 9 考点七：圆柱的体积 10 考点八：圆柱的容积 11 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 12 考点十：圆柱与圆锥体积的关系 13 考点十一：圆锥的体积（容积） 13 考点十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 14 考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 15 考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 16 考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 17 综合训练 18 知识梳理 一、圆柱的认识 1.定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 2.各部分名称 底面：圆柱上下两个完全相同的圆面，它们的面积相等。 侧面：圆柱周围的曲面。 高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3.特征 底面是两个大小相等的圆。 侧面是一个曲面，展开后一般是一个长方形（当圆柱的底面周长和高相等时，侧面展开是一个正方形）。 圆柱有无数条高。 4.圆柱的展开图 侧面展开图：长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。若底面周长与高相等，展开图为正方形。 圆柱的表面展开图由两个圆形底面和一个长方形（或正方形）侧面组成。 二、圆柱的表面积 1.定义：圆柱所有面的面积之和叫做圆柱的表面积。 2.计算公式 侧面积：圆柱侧面展开图的面积。因为侧面展开图是长方形，长方形的长为底面周长(C)，宽为圆柱的高(h)，所以侧面积 底面积：圆柱底面是圆，根据圆的面积公式，底面积 表面积：圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面积，即 3.注意事项 在计算圆柱表面积时，要根据实际情况判断是否需要计算所有面的面积。例如，无盖水桶只需计算侧面积和一个底面积；通风管、烟囱等只需计算侧面积。 计算过程中要注意单位的统一，通常面积单位为平方厘米、平方分米、平方米等。 三、圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小叫做圆柱的体积。 2.计算公式推导：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。因为长方体的体积 = 底面积×高，所以圆柱的体积 = 底面积×高。 3.计算公式：(V=Sh)，其中(S)是圆柱的底面积，(h)是圆柱的高。又因为 4.注意事项 体积单位通常为立方厘米、立方分米、立方米等，计算时要注意单位的统一。 已知圆柱的底面半径、直径或周长以及高，都可以先求出底面积，再计算体积。 四、圆锥的认识 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 2.各部分名称 底面：圆锥下方的一个圆面。 侧面：圆锥周围的曲面。 顶点：圆锥的尖端。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 3.特征 底面是一个圆。 侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 圆锥只有一条高。 4.圆锥的展开图：由一个圆形底面和一个扇形侧面组成。 五、圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积。 2.计算公式推导：通过实验可知，等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的(\frac{1}{3})。 3.计算公式： 4.注意事项 “等底等高”是圆锥体积是圆柱体积的前提条件，若底面积或高不相等，则该关系不成立。 计算圆锥体积时，不要忘记乘以。 体积单位与圆柱体积单位相同，需注意单位统一。 六、圆柱与圆锥的关系 1.相同点：底面都是圆形。 2.不同点 形状：圆柱是由两个底面和一个侧面组成的直柱体；圆锥是由一个底面和一个侧面组成的锥体。 面的数量：圆柱有3个面（2个底面，1个侧面）；圆锥有2个面（1个底面，1个侧面）。 高的条数：圆柱有无数条高；圆锥只有1条高。 3.体积关系 等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 等体积等底时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考点讲练 考点一：点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】想一想：转动后形成怎样的图形？连一连。 【变式训练】直角三角形沿着它的直角边旋转一周，可以得到( )。 【变式训练】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 考点二：圆柱和圆锥的认识及特征 【典例精讲】如下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状，从右面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】下图中圆柱的高是( )cm，圆锥的高是( )cm。 【变式训练】下面的立体图形中，沿（    ）切开，截面是三角形。 A． B． C． 【变式训练】一个长方形的长是8cm，宽是6cm。以它的一条边所在直线为轴旋转一周，得到的图形的底面积可能是( )，也可能是( )。 考点三：圆锥的展开图 【典例精讲】下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【变式训练】将下图中圆柱形牛肉罐头侧面的标签纸沿高剪开（重叠部分不计），所得图形是一个( )形，它的长是( )cm，宽是( )cm。 【变式训练】一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 （    ）平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 【变式训练】聚源竹雕是都江堰的名片之一，在方寸之间尽显大千世界。把右图中的都江堰手绘图雕刻在竹筒（圆柱形）上应该选用（    ）的竹筒比较合适。 A．d＝10cm B．r＝8cm C．r＝10cm 考点四：圆柱的侧面积 【典例精讲】淘气用一张长是20厘米，宽是9厘米的彩纸围一个圆柱形状的饮料瓶的侧面，恰好围严，不多也不少。这个饮料瓶的侧面积是 平方厘米。 【变式训练】用一张长15.7厘米，宽12厘米的长方形的纸围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【变式训练】制作1节底面半径为5厘米，长为400厘米的圆柱形通风管，至少要用( )平方厘米的铁皮。 【变式训练】按要求计算 用铁皮制作圆柱形通风管，底面直径是6厘米，高12分米，制作这个通风管至少需要多少平方厘米铁皮？ 考点五：圆柱的表面积 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积。 【变式训练】某广场有一根底面半径是4分米、高是5米的圆柱形柱子，在柱子的侧面和上面都粉刷上涂料。刷涂料的面积是多少平方米？ 【变式训练】一个无盖的圆柱形玻璃容器，从里面量底面半径是20厘米，比高少，要制作这个玻璃容器，至少需要多少平方厘米的玻璃？ 【变式训练】把一根长是80cm，底面半径是4cm的圆柱形木料，锯成长度都是20cm的4段，表面积会比原来增加( )。 考点六：组合图形的表面积（圆柱） 【典例精讲】求表面积。（单位cm） 【变式训练】计算下列图形的表面积。 （1）    （2） 【变式训练】计算下面图形的表面积。（单位：dm） 【变式训练】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 考点七：圆柱的体积 【典例精讲】一个圆柱的侧面展开图是一个长为31.4dm、宽为6.28dm的长方形，这个圆柱的体积最大是（    ）。 A．98.596dm3 B．492.98dm3 C．1971.92dm3 D．628dm3 【变式训练】用如下图所示的硬纸做一个圆柱，该圆柱的体积约是（    ）立方米。 A．6.28 B．25.12 C．3.14 D．12.56 【变式训练】如图，一个底面内直径是10cm的药瓶，瓶子中药水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无药水部分是圆柱形，高度是4cm。这个瓶子的容积是（    ）mL。 A．1099 B．1156 C．2198 D．4396 【变式训练】普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是( )。 考点八：圆柱的容积 【典例精讲】一个圆柱形水桶的底面周长是12.56分米，容积是62.8升，水桶的高是( )分米。 【变式训练】长方体包装盒的长是20cm，宽是4.6cm，高是1cm，圆柱形零件的底面直径是2cm，高是1cm。这个包装盒内最多能放（    ）个零件。 A．20 B．23 C．29 【变式训练】一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是( )mL。 【变式训练】一个圆柱形游泳池，底面直径是12米，池深1.5米，为了保证儿童游泳安全，水深不得超过1.2米。这个游泳池规定的蓄水量最多是多少立方米？ 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 【变式训练】把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【变式训练】曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 考点十：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【变式训练】把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。( ) 【变式训练】一个圆柱削去12立方米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是( )立方米。 【变式训练】一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 考点十一：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【变式训练】把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【变式训练】把一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，铸造成一个底面半径为6厘米的圆锥形钢材，圆锥形钢材的高是多少？ 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：dm） 考点十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【变式训练】手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm2。 【变式训练】“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【变式训练】一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式训练】如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 【变式训练】如图所示，把圆锥切开，得到的切面的形状是( )。 A．平行四边形 B．长方形 C．三角形 考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【变式训练】求体积。 【变式训练】求下面物体的体积。 【变式训练】从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水深10厘米，将一个底面直径4厘米、高6厘米的圆锥体没入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【变式训练】小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练】一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【变式训练】一个圆柱形玻璃容器的底面直径为16厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径是6厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，水面下降了1.5厘米，求这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 综合训练 1．木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．100 C．500 D．1000 2．自来水管的内直径是2cm，水管内水的流速是每秒8cm。一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，半分钟浪费（    ）mL水。 A．3.14×22×8÷2 B．3.14×12×8÷2 C．3.14×22×8×30 D．3.14×12×8×30 3．用一个高为15厘米的圆锥形容器盛满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水面高度为（    ）厘米。 A．15 B．30 C．5 D．45 4．一个圆柱如果高增加3厘米，则表面积增加75.36平方厘米，体积增加30%。原来圆柱的侧面积是（    ）平方厘米。 A．100.48 B．251.2 C．351.68 D．502.4 5．有一个从里面量底面半径是6cm的圆柱形容器，将一个高是8cm的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形容器中，这时水面上升了2cm，则这个圆锥的底面积是（    ）cm2。 A．100.48 B．84.78 C．50.24 D．42.39 6．下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 7．我们曾经用如图所示方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，我能算出图2的几何体体积是( )立方厘米。 8．如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 9．如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 10．将一根底面半径分米的圆柱体，沿与底面平行方向切成完全相同的两个矮一些的圆柱体，则这两部分的表面积之和比切开前的表面积增加了( )平方分米。（用和表示） 11．ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，求得到的立体图形的体积。 12．计算下列图形的体积。 13．计算下面图形的体积。 14．一个圆锥形稻谷堆，量得它的底面直径为2米，高为1.5米，如果每立方米的稻谷重750千克，这堆稻谷共重多少千克？ 15．一根圆柱形塑料水管，底面直径是24厘米，长是30厘米。做10根这样的水管，需要多少平方分米塑料？ 16．李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数） 17．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？ 18．如图，某品牌太阳能热水器水箱的内直径是4分米，水箱长15分米；真空管的外直径是1分米，长是20分米，共15支。每支真空管的采光面积是它侧面积的一半。 （1）该品牌太阳能热水器水箱的容积是多少升？ （2）该品牌太阳能热水器所有真空管的采光面积之和是多少平方分米？ 19．按要求计算 在一个棱长是6分米的正方体木块中挖出一个最大的圆锥后，剩下的木块体积是多少？ 20．一个圆柱形玻璃杯，从里面量底面半径是10厘米，高是30厘米，玻璃杯中水深15厘米。现将一个底面直径是10厘米，高是25厘米的圆柱形铁棒竖直放入水中，有一部分铁棒露出水面，如下图。现在玻璃杯中水深多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱与圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆柱的认识 2 二、圆柱的表面积 2 三、圆柱的体积 3 四、圆锥的认识 3 五、圆锥的体积 3 六、圆柱与圆锥的关系 4 考点讲练 4 考点一：点、线、面、体之间的联系 4 考点二：圆柱和圆锥的认识及特征 7 考点三：圆锥的展开图 8 考点四：圆柱的侧面积 11 考点五：圆柱的表面积 12 考点六：组合图形的表面积（圆柱） 15 考点七：圆柱的体积 19 考点八：圆柱的容积 21 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 23 考点十：圆柱与圆锥体积的关系 26 考点十一：圆锥的体积（容积） 28 考点十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 32 考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 35 考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 38 考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 42 综合训练 45 知识梳理 一、圆柱的认识 1.定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 2.各部分名称 底面：圆柱上下两个完全相同的圆面，它们的面积相等。 侧面：圆柱周围的曲面。 高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3.特征 底面是两个大小相等的圆。 侧面是一个曲面，展开后一般是一个长方形（当圆柱的底面周长和高相等时，侧面展开是一个正方形）。 圆柱有无数条高。 4.圆柱的展开图 侧面展开图：长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。若底面周长与高相等，展开图为正方形。 圆柱的表面展开图由两个圆形底面和一个长方形（或正方形）侧面组成。 二、圆柱的表面积 1.定义：圆柱所有面的面积之和叫做圆柱的表面积。 2.计算公式 侧面积：圆柱侧面展开图的面积。因为侧面展开图是长方形，长方形的长为底面周长(C)，宽为圆柱的高(h)，所以侧面积 底面积：圆柱底面是圆，根据圆的面积公式，底面积 表面积：圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面积，即 3.注意事项 在计算圆柱表面积时，要根据实际情况判断是否需要计算所有面的面积。例如，无盖水桶只需计算侧面积和一个底面积；通风管、烟囱等只需计算侧面积。 计算过程中要注意单位的统一，通常面积单位为平方厘米、平方分米、平方米等。 三、圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小叫做圆柱的体积。 2.计算公式推导：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。因为长方体的体积 = 底面积×高，所以圆柱的体积 = 底面积×高。 3.计算公式：(V=Sh)，其中(S)是圆柱的底面积，(h)是圆柱的高。又因为 4.注意事项 体积单位通常为立方厘米、立方分米、立方米等，计算时要注意单位的统一。 已知圆柱的底面半径、直径或周长以及高，都可以先求出底面积，再计算体积。 四、圆锥的认识 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 2.各部分名称 底面：圆锥下方的一个圆面。 侧面：圆锥周围的曲面。 顶点：圆锥的尖端。 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 3.特征 底面是一个圆。 侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 圆锥只有一条高。 4.圆锥的展开图：由一个圆形底面和一个扇形侧面组成。 五、圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积。 2.计算公式推导：通过实验可知，等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的(\frac{1}{3})。 3.计算公式： 4.注意事项 “等底等高”是圆锥体积是圆柱体积的前提条件，若底面积或高不相等，则该关系不成立。 计算圆锥体积时，不要忘记乘以。 体积单位与圆柱体积单位相同，需注意单位统一。 六、圆柱与圆锥的关系 1.相同点：底面都是圆形。 2.不同点 形状：圆柱是由两个底面和一个侧面组成的直柱体；圆锥是由一个底面和一个侧面组成的锥体。 面的数量：圆柱有3个面（2个底面，1个侧面）；圆锥有2个面（1个底面，1个侧面）。 高的条数：圆柱有无数条高；圆锥只有1条高。 3.体积关系 等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 等体积等底时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考点讲练 考点一：点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】想一想：转动后形成怎样的图形？连一连。 【答案】见详解 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，第一行的平面图绕中心轴旋转一周，可围成一个立体图形，根据平面图的及立体图形的特征即可判断；或把第二行的立体图形从中心“十”字剖开，其截面是一个平面图形，根据立体图形及平面图形的特征判断即可连线。 【详解】 【点睛】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定。 【变式训练】直角三角形沿着它的直角边旋转一周，可以得到( )。 【答案】圆锥 【分析】只有直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，才能得到圆锥。 【详解】直角三角形沿着它的直角边旋转一周，可以得到圆锥。 【点睛】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体，考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力。 【变式训练】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥，据此解答。 【详解】 A．以直线为轴旋转一周，得到一个圆柱； B．以直线为轴旋转一周，得到一个球； C．以直线为轴旋转，得到一个圆锥。 以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是。 故答案为：C 【变式训练】下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形或正方形绕一边旋转一周得到一个圆柱，由此解答即可。 【详解】 以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查面动成体的意义及在实际当中的运用。 考点二：圆柱和圆锥的认识及特征 【典例精讲】如下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状，从右面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，从右面看到的图形是一个长方形，左边的圆锥被完全遮挡住，据此即可解答问题。 【详解】由分析可得： 从右面看到的图形是。 故答案为：D 【变式训练】下图中圆柱的高是( )cm，圆锥的高是( )cm。 【答案】 5 4 【分析】根据圆柱的高是指从上底面到下底面的距离，圆锥的高从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，因此，在测量圆锥高的时候，要准备两把直尺（或一把直尺、一个三角板），测量圆锥的高时把一把直尺靠近圆锥的底面竖起来，另一把直尺（或三角板）放在圆锥的顶点处且与竖放的直尺垂直；据此解答即可。 【详解】图中圆柱的高是5cm，圆锥的高是4cm。 【变式训练】下面的立体图形中，沿（    ）切开，截面是三角形。 A． B． C． 【答案】A 【分析】从不同的方向切开，得到的截面形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。 【详解】A．圆锥沿它的高切开，切开后的面是一个三角形。 B．圆柱的上下两个底面都是圆，则圆柱从中间切开后的面是圆形。 C．圆柱沿垂直于底面的平面切开，截面是长方形。 故答案为：A 【变式训练】一个长方形的长是8cm，宽是6cm。以它的一条边所在直线为轴旋转一周，得到的图形的底面积可能是( )，也可能是( )。 【答案】 200.96 113.04 【分析】由题意，需要考虑以长方形的长或宽为轴旋转一周后得到的圆柱的底面情况，再根据圆的面积公式（取3.14，r表示圆的半径）计算底面积，据此解答。 【详解】当以长方形的宽所在直线为轴旋转一周时，得到圆柱的底面半径是长方形的长，即8cm，圆的面积为（平方厘米）； 当以长方形的长所在直线为轴旋转一周时，得到圆柱的底面半径是长方形的宽，即6cm，圆的面积为（平方厘米）。 考点三：圆锥的展开图 【典例精讲】下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 【变式训练】将下图中圆柱形牛肉罐头侧面的标签纸沿高剪开（重叠部分不计），所得图形是一个( )形，它的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 长方 31.4 6 【分析】沿着圆柱的高剪开，侧面展开后是一个长方形，长是底面圆的周长，宽是圆柱的高，底面圆的直径是10cm，根据：圆的周长，用直径10cm乘3.14求出底面圆的周长，长方形的宽就是圆柱的高6cm。 【详解】＝3.14×10＝31.4（cm） 宽＝圆柱的高＝6cm 将圆柱形牛肉罐头侧面的标签纸沿高剪开（重叠部分不计），所得图形是一个长方形，它的长是31.4cm，宽是6cm。 【变式训练】一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 （    ）平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 【答案】D 【分析】圆柱侧面斜着剪开是个平行四边形，平行四边形面积＝圆柱侧面积，平行四边形的底＝圆柱底面周长，平行四边形的高＝圆柱的高，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，计算出圆柱侧面积就是这个平行四边形的面积。 【详解】2×3.14×6×10 ＝6.28×6×10 ＝37.68×10 ＝376.8（平方厘米） 得到的平行四边形的面积是376.8平方厘米。 故答案为：D 【变式训练】聚源竹雕是都江堰的名片之一，在方寸之间尽显大千世界。把右图中的都江堰手绘图雕刻在竹筒（圆柱形）上应该选用（    ）的竹筒比较合适。 A．d＝10cm B．r＝8cm C．r＝10cm 【答案】A 【分析】将一个长方形卷成一个圆柱，圆柱底面圆的周长等于长方形的长，即31.4厘米，根据圆的周长（d表示直径），圆柱的底面直径是厘米。 【详解】由分析可得： 应该选用直径是10厘米的圆柱形竹筒比较合适。 故答案为：A 考点四：圆柱的侧面积 【典例精讲】淘气用一张长是20厘米，宽是9厘米的彩纸围一个圆柱形状的饮料瓶的侧面，恰好围严，不多也不少。这个饮料瓶的侧面积是 平方厘米。 【答案】 180 【分析】圆柱的侧面积等于展开后的长方形的面积，彩纸的长和宽分别对应圆柱的底面周长和高（或高和底面周长），但无论哪种情况，侧面积均为长方形的面积。已知长方形彩纸长20厘米、宽9厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形面积，即这个饮料瓶的侧面积。 【详解】20×9＝180（平方厘米） 所以这个饮料瓶的侧面积是180平方厘米。 【变式训练】用一张长15.7厘米，宽12厘米的长方形的纸围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【答案】188.4 【分析】用长方形纸围成圆柱时，圆柱的侧面积等于长方形纸的面积。无论以长或宽作为底面周长，侧面积均为长方形的长乘宽。 【详解】15.7×12＝188.4（平方厘米） 所以这个圆柱的侧面积是188.4平方厘米。 【变式训练】制作1节底面半径为5厘米，长为400厘米的圆柱形通风管，至少要用( )平方厘米的铁皮。 【答案】12560 【分析】圆柱形通风管没有底面，所需铁皮面积即圆柱的侧面积。侧面积公式为S侧＝Ch＝2πrh，代入数据计算，即可求出要用多少平方厘米的铁皮。 【详解】2×3.14×5×400 ＝31.4×400 ＝12560（平方厘米） 至少要用12560平方厘米的铁皮。 【变式训练】按要求计算 用铁皮制作圆柱形通风管，底面直径是6厘米，高12分米，制作这个通风管至少需要多少平方厘米铁皮？ 【答案】2260.8平方厘米 【分析】通风管只有侧面积，圆柱侧面积公式S＝πdh（d为底面直径，h为高），先统一单位，12分米＝120厘米 。 【详解】S＝3.14×6×120 ＝18.84×120 ＝2260.8（平方厘米）。 答：制作通风管至少需要2260.8平方厘米铁皮。 考点五：圆柱的表面积 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积。 【答案】40.82cm2 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×2＋6.28×5.5 ＝3.14×12×2＋34.54 ＝3.14×1×2＋34.54 ＝6.28＋34.54 ＝40.82（cm2） 这个圆柱的表面积是40.82cm2。 【变式训练】某广场有一根底面半径是4分米、高是5米的圆柱形柱子，在柱子的侧面和上面都粉刷上涂料。刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】13.0624平方米 【分析】先把4分米的单位转化为以米为单位，由题意可知，刷涂料的面积是圆柱的侧面积与一个底面积之和，根据圆柱的侧面积公式、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】4分米=0.4米 （平方米） 答：刷涂料的面积是13.0624平方米。 【变式训练】一个无盖的圆柱形玻璃容器，从里面量底面半径是20厘米，比高少，要制作这个玻璃容器，至少需要多少平方厘米的玻璃？ 【答案】7536平方厘米 【分析】把高看作单位“1”，底面半径是高的（1－），对应的是底面半径20厘米，求单位“1”，用20÷（1－）解答；求需要玻璃的面积，就是求这个无盖圆柱形玻璃仪器的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝50（厘米） 3.14×202＋3.14×20×2×50 ＝3.14×400＋62.8×2×50 ＝1256＋125.6×50 ＝1256＋6280 ＝7536（平方厘米） 答：至少需要7536平方厘米的玻璃。 【变式训练】把一根长是80cm，底面半径是4cm的圆柱形木料，锯成长度都是20cm的4段，表面积会比原来增加( )。 【答案】301.44 【分析】根据题意，锯成4段需要锯3次，每次增加2个面，每个面积都是圆柱的底面积，求出一个圆的面积，再乘一共增加的面数即可。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） ＝4×4×3.14×6 ＝16×3.14×6 ＝50.24×6 ＝301.44（） 所以表面积会比原来增加301.44。 考点六：组合图形的表面积（圆柱） 【典例精讲】求表面积。（单位cm） 【答案】221.4cm2 【分析】圆柱上面的面平移到下面，这个组合体的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】（10×5＋10×3＋5×3）×2＋3.14×2×5 ＝（50＋30＋15）×2＋31.4 ＝95×2＋31.4 ＝190＋31.4 ＝221.4（cm2） 组合体的表面积是221.4cm2。 【变式训练】计算下列图形的表面积。 （1）    （2） 【答案】（1）592.5cm2 （2）244.92dm2 【分析】（1）观察图1，图形的表面积＝一个圆的面积＋长为20cm宽为10cm的长方形的面积＋圆柱的侧面积的一半，根据圆的面积公式：S＝πr2；长方形的面积公式：S＝ab；圆柱的侧面积＝底面周长×高，即S侧＝2πrh＝πdh，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的表面积的公式，图2组合图形的面积是下边圆柱体表面积减去上边圆柱体底面积，再加上边圆柱体底面积和侧面积的和，也就是下边圆柱体的表面积加上边圆柱体的侧面积，根据圆柱的表面积公式：圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此列式解答即可。 【详解】（1）3.14×10×20÷2＋3.14×（10÷2）2＋10×20 ＝3.14×10×20÷2＋3.14×52＋10×20 ＝31.4×20÷2＋3.14×52＋200 ＝31.4×20÷2＋3.14×25＋200 ＝628÷2＋3.14×25＋200 ＝314＋3.14×25＋200 ＝314＋78.5＋200 ＝392.5＋200 ＝592.5（cm2） （2）3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×8＋3.14×3×4 ＝3.14×32×2＋18.84×8＋9.42×4 ＝3.14×9×2＋150.72＋37.68 ＝28.26×2＋150.72＋37.68 ＝56.52＋150.72＋37.68 ＝207.24＋37.68 ＝244.92（dm2） 【变式训练】计算下面图形的表面积。（单位：dm） 【答案】662.8dm2 【分析】图形的表面积＝棱长是10dm的正方体的表面积＋底面直径是4dm，高是5dm的圆柱的侧面积；根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，圆柱的侧面积公式：底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋12.56×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（dm2） 表面积是662.8dm2。 【变式训练】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】282.6平方厘米 【分析】利用圆环的面积公式：S＝，再乘2，即可求出这个图形左右两边圆环的面积，里面小圆柱的侧面积可通过公式：S＝求出，外面大圆柱的侧面积同样可通过公式：S＝求出，注意两个圆柱的直径不同，把2个圆环的面积加上大小圆柱的侧面积即是这个图形的表面积。 【详解】圆环面积：R＝6÷2＝3（厘米），r＝4÷2＝2（厘米）； （3×3－2×2）×3.14×2 ＝（9－4）×3.14×2 ＝5×3.14×2 ＝31.4（平方厘米） 外侧面积：6×3.14×8＝150.72（平方厘米） 内侧面积：4×3.14×8＝100.48（平方厘米） 表面积：31.4＋150.72＋100.48＝282.6（平方厘米） 考点七：圆柱的体积 【典例精讲】一个圆柱的侧面展开图是一个长为31.4dm、宽为6.28dm的长方形，这个圆柱的体积最大是（    ）。 A．98.596dm3 B．492.98dm3 C．1971.92dm3 D．628dm3 【答案】B 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长为31.4dm、宽为6.28dm的长方形。 以长为周长宽为高，则这个圆柱的高为6.28dm，底面周长为31.4dm，根据圆的周长＝，用31.4除以3.14再除以2即可求出这个圆柱的底面半径； 以宽为周长长为高，则这个圆柱的高为31.4dm，底面周长为6.28dm，根据圆的周长＝，用6.28除以3.14再除以2即可求出这个圆柱的底面半径； 再根据圆的面积＝即可求出这个圆柱的底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出这个圆柱的体积。 【详解】以长为周长宽为高： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（dm） 3.14×52×6.28 ＝3.14×25×6.28 ＝492.98（dm3） 以宽为周长长为高： 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（dm） 3.14×12×31.4 ＝3.14×1×31.4 ＝98.596（dm3） 492.98 dm3＞98.596 dm3 即这个圆柱的体积最大是492.98dm3。 故答案为：B 【变式训练】用如下图所示的硬纸做一个圆柱，该圆柱的体积约是（    ）立方米。 A．6.28 B．25.12 C．3.14 D．12.56 【答案】A 【分析】 观察图形可知，该圆柱体底面圆的直径为2米，高为2米，根据圆柱体积＝底面积×高，底面积，所以，底面直径是2米，半径是2÷2＝1（米），代入公式即求得圆柱的体积。 【详解】 ＝3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×2 ＝6.28（立方米） 故答案为：A 【变式训练】如图，一个底面内直径是10cm的药瓶，瓶子中药水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无药水部分是圆柱形，高度是4cm。这个瓶子的容积是（    ）mL。 A．1099 B．1156 C．2198 D．4396 【答案】A 【分析】观察可知，瓶里的药水不变，所以正放的无药水部分与倒置无药水部分的容积相等，所以这个瓶子的容积等于正放时药水的容积加倒置时无药水部分的容积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，据此计算即可，注意把单位转化为mL。 【详解】 （cm3） ＝1099（mL） 如图，一个底面内直径是10cm的药瓶，瓶子中药水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无药水部分是圆柱形，高度是4cm。这个瓶子的容积是1099mL。 故答案为：A 【变式训练】普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是( )。 【答案】 266.9 【分析】西红柿放入水中后，水面上升部分的体积等于西红柿的体积。水面从6cm上升到9.4cm，上升了3.4cm，即西红柿的体积等于一个底面半径为5cm，高3.4cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积，代入数据计算。 【详解】3.14×52×（9.4－6） ＝3.14×25×3.4 ＝3.14×85 ＝266.9（cm3） 则这个西红柿的体积是266.9cm3。 考点八：圆柱的容积 【典例精讲】一个圆柱形水桶的底面周长是12.56分米，容积是62.8升，水桶的高是( )分米。 【答案】5 【分析】根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱形水桶的底面半径；再根据圆柱的容积＝底面积×高，高＝容积÷底面积，代入数据，即可求出水桶的高，据此解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 62.8升＝62.8立方分米 62.8÷（3.14×22） ＝62.8÷（3.14×4） ＝62.8÷12.56 ＝5（分米） 一个圆柱形水桶的底面周长是12.56分米，容积是62.8升，水桶的高是5分米。 【变式训练】长方体包装盒的长是20cm，宽是4.6cm，高是1cm，圆柱形零件的底面直径是2cm，高是1cm。这个包装盒内最多能放（    ）个零件。 A．20 B．23 C．29 【答案】A 【分析】长方体包装盒的高是1cm，圆柱形零件的高是1cm。所以用包装盒的长和宽分别除以零件的底面直径，商取整数，把两个商相乘即可求出最多能放零件的个数。 【详解】根据分析得出： 20÷2＝10（个） 4.6÷2≈2（个） 10×2＝20（个） 这个包装盒内最多能放20个零件。 故答案为：A 【变式训练】一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是( )mL。 【答案】1004.8 【分析】先根据圆柱的体积公式，圆的面积公式，求出豆浆的体积，再利用“对应数对应分率＝单位“1”量”求出杯子的容积；据此解答。 【详解】      （cm）   （cm） 1004.8cm＝1004.8mL 一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是1004.8mL。 【变式训练】一个圆柱形游泳池，底面直径是12米，池深1.5米，为了保证儿童游泳安全，水深不得超过1.2米。这个游泳池规定的蓄水量最多是多少立方米？ 【答案】135.648立方米 【分析】根据圆柱体的容积（体积）公式∶V＝π（d÷2）2h，游泳池的底面直径12米，深1.5米，规定游泳池水深不得超过1.2米，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×1.2 ＝3.14×36×1.2 ＝135.648（立方米） 答：这个游泳池安全规定的蓄水量最多是135.648立方米。 【点睛】解答此题应弄清要求的是什么，进而根据圆柱体体积计算方法，进行解答即可。 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】70.65立方厘米 【分析】把圆柱沿着底面直径竖着切开，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的其中一条边正好是圆柱的底面直径，它的邻边正好是圆柱的高。先求出一个长方形的面积，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的长，也就是圆柱的高，最后根据圆柱的体积公式进行计算。 【详解】长方形的长：60÷2÷3＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×（3÷2）2×10 ＝3.14×1.5×1.5×10 ＝70.65（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是70.65立方厘米。 【变式训练】如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】1004.8立方分米 【分析】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积，因为表面积增加了80平方分米，且增加的是两个长方形的面积，所以一个这样的长方形面积是平方分米，又因为长方形的长是圆柱的高，根据长方形的宽＝面积长，这里的宽是圆柱的底面半径r，所以r为分米。圆柱的体积公式为（取3.14），将半径、高的数值代入公式，即可解答。 【详解】（平方分米） （分米） （立方分米） 答：原来圆柱的体积是1004.8立方分米。 【变式训练】把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【答案】B 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知这个长方体的表面积比原来增加30cm2，用30÷2得出增加的一个面的面积，再接着除以半径可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式，把数据代入公式解答。 【详解】30÷2＝15（cm2） 15÷（6÷2） ＝15÷3 ＝5（cm） ×（6÷2）2×5 ＝×32×5 ＝×9×5 ＝9×5 ＝45（cm3） 圆柱的体积是45cm3。 故答案为：B 【变式训练】曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【分析】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【详解】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 考点十：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 36 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，假设圆锥的体积是1，则圆柱的体积是3，求出圆锥体积比圆柱体积少多少，再除以圆柱的体积即可；根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱体积。 【详解】（3－1）÷3 ＝2÷3 ＝ 48÷（3＋1）×3 ＝48÷4×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 所以等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是36立方分米。 【变式训练】把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。削去部分的体积等于圆柱体积减去圆锥体积，因此削去部分的体积是圆柱体积的。 【详解】设圆柱体积为，则圆锥体积为，削去部分的体积为。因此，削去部分的体积是圆柱体积的，说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】一个圆柱削去12立方米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是( )立方米。 【答案】18 【分析】将一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥体积是1份，圆柱体积是3份，则削去部分的体积是3－1＝2份；削去12立方米，用12立方米除以2求出每份的体积，再乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】假设圆锥体积是1份，圆柱体积是3份。 12÷（3－1）×3 ＝12÷2×3 ＝6×3 ＝18（立方米） 所以这个圆柱的体积是18立方米。 【变式训练】一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】36 【分析】已知一个圆柱和一个圆锥底面积和高都相等，圆锥的体积比圆柱少24立方分米，根据等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积比圆柱的体积少的部分占圆柱体积的（1－），根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数是多少用除法，列式解答即可。 【详解】24÷（1－） ＝24÷ ＝24× ＝36（立方分米） 所以，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是36立方分米。 考点十一：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【详解】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 【变式训练】把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】3.75分米 【分析】圆柱形钢材的体积等于圆锥的体积，已知圆柱形钢材的底面直径是8分米、高5分米，先求出底面半径是8÷2＝4分米，然后根据圆柱的体积公式求出圆柱的体积，即为圆锥的体积； 已知圆锥的底面直径是16分米，求出底面半径为16÷2＝8分米，根据圆的面积公式求出底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，用圆锥的体积乘3除以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】8÷2＝4（分米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方分米） 16÷2＝8（分米） 3.14×82＝3.14×64＝200.96（平方分米） 251.2×3÷200.96 ＝753.6÷200.96 ＝3.75（分米） 答：这个圆锥的高是3.75分米。 【变式训练】把一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，铸造成一个底面半径为6厘米的圆锥形钢材，圆锥形钢材的高是多少？ 【答案】厘米 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出钢材体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出圆锥形钢材的高。 【详解】3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方厘米） 200.96×3÷（3.14×62） ＝602.88÷（3.14×36） ＝602.88÷113.04 ＝（厘米） 答：圆锥形钢材的高是厘米。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】474.32立方分米 【分析】据图可知，图形的体积等于一个棱长是8分米的正方体的体积减去一个底面直径是6分米高是4分米的圆锥的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式计算即可。 【详解】8×8×8－3.14×（6÷2）2×4× ＝512－3.14×32×4× ＝512－3.14×9×4× ＝512－113.04× ＝512－37.68 ＝474.32（立方分米） 该立体图形的体积是474.32立方分米。 考点十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【答案】0.15分米 【分析】铅锤的体积等于铅锤取出玻璃容器时，水下降的体积。已知圆锥形铅锤底面直径为2分米，那么半径为2÷2＝1分米，高为1.8分米，根据圆锥的体积V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入即可得出圆锥的体积。圆柱形玻璃容器的底面半径为2分米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷π÷r2，把圆锥的体积和半径2分米代入计算即可解答。 【详解】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.8 ＝×3.14×1×1.8 ＝1.884（立方分米） 1.884÷3.14÷22 ＝1.884÷3.14÷4 ＝0.15（分米） 答：水面下降了0.15分米。 【变式训练】手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm2。 【答案】25.12 【分析】婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，体积不变，根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为高）求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），则S＝V÷÷h，把数据代入计算即可。 【详解】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（cm3） 75.36÷÷9 ＝75.36×3÷9 ＝25.12（cm2） 这个圆锥形橡皮泥的底面积是25.12cm2。 【变式训练】“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】157米 【分析】已知圆锥形沙子的底面周长是31.4米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙子的体积； 把这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，沙子的体积不变，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，求出能铺的长度。 【详解】5厘米＝0.05米 圆锥的底面半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 圆锥形沙子的体积： ×3.14×52×3 ＝×3.14×25×3 ＝78.5（立方米） 能铺的长度： 78.5÷10÷0.05 ＝7.85÷0.05 ＝157（米） 答：能铺157米。 【变式训练】一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【分析】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【详解】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 3 6 56.52 【分析】以正方体的棱长为底面直径和高的圆锥是正方体内最大的圆锥，则圆锥的底面直径是6厘米，高是6厘米，最后利用“”求出这个圆锥的体积，据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝56.52（立方厘米） 分析可知，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，体积是56.52立方厘米。 【变式训练】把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 12.56 25.12 【分析】根据题意可知，圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积；三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，代入数据，求出底，也就是圆锥的底面直径；根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆锥的底面面积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的体积。 【详解】24÷2÷6×2 ＝12÷6×2 ＝2×2 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3。 【变式训练】如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 【答案】 188.4 376.8 【分析】根据题意，把一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积即三角形的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积。 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，求出与它等底等高的圆柱的体积，再用减法求出圆锥比圆柱少的体积。 【详解】圆锥的底面直径： 60÷2×2÷5＝12（dm） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×5 ＝×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（cm3） 圆柱的体积： 188.4×3＝565.2（cm3） 圆锥比圆柱的体积少： 565.2－188.4＝376.8（cm3） 则这个圆锥的体积是（188.4）dm3，比和它等底等高的圆柱体积少（376.8）dm3。 【变式训练】如图所示，把圆锥切开，得到的切面的形状是( )。 A．平行四边形 B．长方形 C．三角形 【答案】C 【分析】从圆锥的顶点向底面作垂直切割，得到的是一个以底面直径为底，圆锥的高为高，侧面母线为腰的三角形，因为圆锥的母线相等，所以切面的形状是等腰三角形。 【详解】由分析可知；把圆锥沿高切开，得到的切面的形状是三角形。 故答案为：C 【点睛】抓住圆锥的切割特点，得出切割面是以底面直径为底，以圆锥的高为底边，以侧面母线为腰的三角形的等腰三角形，是解决本题的关键。 考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【答案】 75.36立方米 【分析】根据、分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【详解】 （平方米） （立方米） （立方米） （立方米） 答：这个蒙古包的体积是75.36立方米。 【变式训练】求体积。 【答案】113.04 【分析】图形由一个底面直径为4，高为7的圆柱和一个底面直径为4，高为6的圆锥组成，图形体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝，圆锥体积＝，据此计算得出答案。 【详解】图形中的圆柱、圆锥底面半径为：4÷2＝2，则图形的体积为： 【变式训练】求下面物体的体积。 【答案】351.68cm3 【分析】由图可知，这个物体由圆锥和圆柱两部分组成，，，把图中的数据代入公式计算，分别求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的和，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝351.68（cm3） 所以，这个物体的体积是351.68cm3。 【变式训练】从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【分析】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水深10厘米，将一个底面直径4厘米、高6厘米的圆锥体没入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【答案】 0.08厘米 【分析】水面上升的体积等于圆锥的体积。先根据圆锥的体积公式，计算圆锥体积，再根据圆柱的体积公式的逆运算，用圆锥体积除以圆柱的底面积得上升高度。 【详解】 （厘米） 答：水面上升了0.08厘米。 【变式训练】小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）24厘米 【分析】（1）因为圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积。上升的水形成的是一个圆柱，这个圆柱的底面半径为10厘米，水面上升了2厘米（即为高）。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可解答。 （2）已知圆锥体积为628立方厘米，圆锥底面半径为5厘米。根据公式：h＝V÷÷（πr2），π取3.14，r为半径，h为高，把数据代入公式计算即可得出圆锥铁块的高。 【详解】（1）3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是628立方厘米。 （2）628÷÷（3.14×52） ＝628×3÷（3.14×25） ＝628×3÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：圆锥形铁块的高是24厘米。 【变式训练】一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】5.55分米 【分析】根据题意，浸入水中圆锥的体积＝上升的水的体积＋溢出的水的体积即可算出圆锥的体积，其中上升的水的体积等于容器的底面积×上升的高度，由此计算出圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式，即可计算出圆锥的高，据此作答。计算时，根据1升＝1立方分米将单位统一。 【详解】12÷2＝6（分米） 3.14×62×（8－7） ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方分米） 3.14升＝3.14立方分米 113.04＋3.14＝116.18（立方分米） 116.18×3÷62.8 ＝348.54÷62.8 ＝5.55（分米） 答：这个圆锥的高是5.55分米。 【点睛】本题主要考查圆锥已知体积和底面积，计算圆锥的高；同时，需掌握利用排水法，计算不规则物体的体积时，浸没在水中物体的体积＝上升的水的体积＋溢出的水的体积。 【变式训练】一个圆柱形玻璃容器的底面直径为16厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径是6厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，水面下降了1.5厘米，求这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】水面下降的体积就是圆锥形铅锥的体积，圆柱形容器的底面积×水面下降的高度＝铅锥的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。 【详解】3.14×（16÷2）2×1.5 ＝3.14×82×1.5 ＝3.14×64×1.5 ＝301.44（立方厘米） 301.44×3÷（3.14×62） ＝904.32÷（3.14×36） ＝904.32÷113.04 ＝8（厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是8厘米。 综合训练 1．木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．100 C．500 D．1000 【答案】C 【分析】已知：将一根圆柱形原木锯成两段，增加了两个底面积，已知表面积增加了50平方分米，可以求出一个底面积，然后用底面积×高＝圆柱的体积，其中圆柱的高是2米，注意单位换算，1米＝10分米，据此列式解答。 【详解】2米＝20分米 50÷2＝25（平方分米） 25×20＝500（立方分米） 所以木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是500立方分米。 故答案为：C 2．自来水管的内直径是2cm，水管内水的流速是每秒8cm。一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，半分钟浪费（    ）mL水。 A．3.14×22×8÷2 B．3.14×12×8÷2 C．3.14×22×8×30 D．3.14×12×8×30 【答案】D 【分析】根据1分＝60秒，把半分钟换算成30秒，再根据半分钟浪费水的体积＝π×r2×水的流速×时间（π取3.14），代入数值即可解答。 【详解】半分钟＝30秒 2÷2＝1（cm） 3.14×12×8×30 ＝3.14×1×8×30 ＝3.14×8×30 ＝25.12×30 ＝753.6（cm3） 753.6cm3＝753.6mL 半分钟浪费753.6mL水，列式为3.14×12×8×30。 故答案为：D 3．用一个高为15厘米的圆锥形容器盛满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水面高度为（    ）厘米。 A．15 B．30 C．5 D．45 【答案】C 【分析】等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的，已知把一个高为15厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底的圆柱形容器里，水的体积不变，只是形状改变了，即圆锥与圆柱容器内的水的体积相等，底面积也相等，那么水在圆柱容器内的高是圆锥容器内高的；由此解答。 【详解】15÷3＝5（厘米） 所以水面高度为5厘米。 故答案为：C 4．一个圆柱如果高增加3厘米，则表面积增加75.36平方厘米，体积增加30%。原来圆柱的侧面积是（    ）平方厘米。 A．100.48 B．251.2 C．351.68 D．502.4 【答案】B 【分析】根据题意，圆柱高增加3厘米后，增加的表面积为圆柱的底面周长乘增加的高，用增加的表面积除以增加的高，求出圆柱的底面周长；设圆柱原来的底面半径是r，原来的高是h，则原来的体积是h，体积增加30%，增加了（h×30%）立方厘米，根据增加的面积等于3，列方程为h×30%＝3，解方程求出h的值，再根据圆柱的侧面积＝底面周长×高解答。 【详解】75.36÷3＝25.12（厘米） 设圆柱原来的底面半径是r，原来的高是h，则原来的体积是h。 h×30%＝3 h×0.3÷（0.3）＝3÷（0.3） h＝10 25.12×10＝251.2（平方厘米） 所以原来圆柱的侧面积是251.2平方厘米。 故答案为：B 5．有一个从里面量底面半径是6cm的圆柱形容器，将一个高是8cm的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形容器中，这时水面上升了2cm，则这个圆锥的底面积是（    ）cm2。 A．100.48 B．84.78 C．50.24 D．42.39 【答案】B 【分析】水面上升部分的体积，就是圆锥形铁块的体积。根据“圆柱底面积×水面上升高度”求出圆锥形的体积。圆锥体积＝×底面积×高，所以再将圆锥的体积除以高，再除以，求出底面积。 【详解】3.14×62×2 ＝3.14×36×2 ＝226.08（cm3） 226.08÷8÷ ＝28.26×3 ＝84.78（cm2） 所以，这个圆锥的底面积是84.78cm2。 故答案为：B 6．下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 长方 18.84 3 【分析】圆柱的侧面沿虚线（圆柱的高）剪开后，得到的图形是长方形。长方形的长等于圆柱的底面周长，已知圆柱底面直径为6cm，根据圆的周长公式C＝πd可计算出圆柱的底面周长，即为长方形的长；长方形的宽等于圆柱的高，由图可知圆柱的高为3cm，所以长方形的宽是3cm。 【详解】将圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个长方形。 3.14×6＝18.84（cm） 因此，这个图形的长是18.84cm，宽是3cm。 7．我们曾经用如图所示方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，我能算出图2的几何体体积是( )立方厘米。 【答案】6280 【分析】找一个完全相同的几何体，与图2的几何体拼接成一个完整的圆柱，根据圆柱体的体积公式：（其中是底面半径，是高），代入数据即可求出完整圆柱的体积，而该几何体的体积则是完整圆柱体积的一半，即可求出该几何体的体积。 【详解】圆柱的高：（厘米） 圆柱的半径：（厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 几何体的体积：12560÷2＝6280（立方厘米） 因此图2的几何体体积是6280立方厘米。 8．如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 【答案】188.4 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此可知，一个圆锥的体积是底面半径为3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积是圆柱体积的1－，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，求削去部分的体积，用底面半径是3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积乘1－，再乘2即可求出消去部分的体积。 【详解】3.14××（10÷2）×（1－）×2 ＝3.14×9×5××2 ＝28.26×5××2 ＝141.3××2 ＝94.2×2 ＝188.4（） 所以削去部分的体积是188.4。 9．如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 【答案】 圆锥 圆台 1 7 【分析】将圆锥从顶点量得的一半高度处平行于底面截开，所得上半部分与原圆锥相似，再根据圆锥的体积公式：体积＝，计算出上面部分的体积；下半部分是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台的体积可以通过用原圆锥的体积减去上半部分的体积得到。根据图片中给出的数据代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 4÷2＝2（厘米） 8÷2＝4（厘米） （3.14×2×2×5÷3）∶（3.14×4×4×10÷3－3.14×2×2×5÷3） ＝20∶140 ＝1∶7 上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆台，上面部分和下面部分的体积比是1∶7。 【点睛】熟悉圆锥体积公式，了解什么图形是圆台，圆台也可以看作是“截断的圆锥”。 10．将一根底面半径分米的圆柱体，沿与底面平行方向切成完全相同的两个矮一些的圆柱体，则这两部分的表面积之和比切开前的表面积增加了( )平方分米。（用和表示） 【答案】 【分析】如图所示，把这个圆柱体沿与底面平行方向切成完全相同的两个矮一些的圆柱体后，两个小圆柱的表面积之和比原来大圆柱的表面积增加了2个切面的面积，利用“”求出增加部分的面积，据此解答。 【详解】 分析可知，将一根底面半径分米的圆柱体，沿与底面平行方向切成完全相同的两个矮一些的圆柱体，则这两部分的表面积之和比切开前的表面积增加了平方分米。 11．ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，求得到的立体图形的体积。 【答案】50.24dm3 【分析】以AB为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形相当于从一个底面半径2dm，高5dm的圆柱中挖去一个底面半径2dm，高（5－2）dm的圆锥，这个立体图形的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】3.14×22×5－3.14×22×（5－2）÷3 ＝3.14×4×5－3.14×4×3÷3 ＝62.8－12.56 ＝50.24（dm3） 得到的立体图形的体积是50.24dm3。 12．计算下列图形的体积。 【答案】17.27立方厘米 【分析】观察可知，两个相同的图形可拼成一个底面直径是2厘米，高是厘米的圆柱，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算圆柱体积，再除以2，即可得解。 【详解】 （立方厘米） 13．计算下面图形的体积。 【答案】183.69cm3；100.48cm3；260cm3；64cm3 【分析】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积； （2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （3）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出长方体的体积； （4）根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出正方体的体积。 【详解】（1）3.14×32×6.5 ＝3.14×9×6.5 ＝183.69（cm3） 圆柱的体积是183.69cm3。 （2）×3.14×（8÷2）2×6 ＝×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝100.48（cm3） 圆锥的体积是100.48cm3。 （3）8×5×6.5 ＝40×6.5 ＝260（cm3） 长方体的体积是260cm3。 （4）4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 正方体的体积是64cm3。 14．一个圆锥形稻谷堆，量得它的底面直径为2米，高为1.5米，如果每立方米的稻谷重750千克，这堆稻谷共重多少千克？ 【答案】1177.5千克 【分析】圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式求出圆锥形谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量即可解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×1.5××750 ＝3.14×12×1.5××750 ＝3.14×1×1.5××750 ＝4.71××750 ＝1.57×750 ＝1177.5（千克） 答：这堆稻谷共重1177.5千克。 15．一根圆柱形塑料水管，底面直径是24厘米，长是30厘米。做10根这样的水管，需要多少平方分米塑料？ 【答案】226.08平方分米 【分析】分析题目，做一根塑料水管需要的塑料指的是圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝πdh，据此列式求出做1根水管需要的塑料，再乘10即可求出做10根需要的塑料，最后根据1平方分米＝100平方厘米把面积换算成以平方分米为单位即可。 【详解】3.14×24×30×10 ＝75.36×30×10 ＝2260.8×10 ＝22608（平方厘米） 22608平方厘米＝226.08平方分米 答：需要226.08平方分米塑料。 16．李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数） 【答案】113立方厘米 【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是4厘米的圆锥的体积，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×8×＋3.14×（6÷2）2×4× ＝3.14×32×8×＋3.14×32×4× ＝3.14×9×8×＋3.14×9×4× ＝226.08×＋113.04× ＝75.36＋37.68 ≈113（立方厘米） 答：这个冰激凌的体积大约是113立方厘米。 17．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？ 【答案】12960立方厘米 【分析】要计算箱子的体积，需要先确定箱子的长、宽、高，由于箱子是按照圆柱形饮料的摆放方式来确定尺寸的，所以要通过观察饮料在箱子中的排列情况，这张图中未明确显示饮料具体排列数量，但从常规装箱思路出发，先数出每行饮料数量和行数来确定箱子底面的长和宽，箱子的高一般与饮料的高相等（在饮料装满箱子且无多余空间堆叠的情况下），用饮料排列确定箱子尺寸，假设从图中观察到饮料在箱子里面一行摆了6个（横向），摆了4行（纵向），因为饮料底面直径是6厘米，所以箱子的长等于一行饮料的直径总和，即长为厘米，箱子的宽等于饮料行数对应的直径总和，即宽为厘米，而箱子的高和饮料的高相同为15厘米，代入长方体的体积公式：V＝abh即可求出这个箱子的体积。 【详解】这个箱子的高为15厘米 这个箱子的长：（厘米） 这个箱子的宽：（厘米） 这个箱子的体积：（立方厘米） 答：照这个样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是12960立方厘米。 18．如图，某品牌太阳能热水器水箱的内直径是4分米，水箱长15分米；真空管的外直径是1分米，长是20分米，共15支。每支真空管的采光面积是它侧面积的一半。 （1）该品牌太阳能热水器水箱的容积是多少升？ （2）该品牌太阳能热水器所有真空管的采光面积之和是多少平方分米？ 【答案】（1）188.4升；（2）471平方分米 【分析】（1）水箱是圆柱体，容积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高），先求半径4÷2＝2分米，再计算容积，最后换算成升（1立方分米＝1升）。 （2）先求一支真空管的侧面积，侧面积公式S侧＝πdh（d为外直径，h为长），再取一半得到一支的采光面积，最后乘15得总面积。 【详解】（1）V＝3.14×22×15 ＝3.14×4×15 ＝12.56×15 ＝188.4（立方分米） 即188.4立方分米＝188.4升 答：水箱容积是188.4升。 （2）一支真空管侧面积：3.14×1×20＝62.8（平方分米） 一支采光面积：62.8÷2＝31.4（平方分米） 15支总面积：31.4×15＝471（平方分米） 答：采光面积之和是471平方分米。 19．按要求计算 在一个棱长是6分米的正方体木块中挖出一个最大的圆锥后，剩下的木块体积是多少？ 【答案】159.48立方分米 【分析】先求正方体体积，再求挖出的最大圆锥体积，用正方体体积减去圆锥体积得剩余体积。最大圆锥的底面直径和高都等于正方体棱长。正方体体积公式V正＝a3（a为棱长），圆锥体积公式V锥＝πr2h（r为底面半径，h为高）。 【详解】正方体体积：V正＝63＝216（立方分米）。 圆锥底面半径： 6÷2＝3（分米），高6分米， 圆锥体积 V锥＝×3.14×32×6 ＝×（3.14×32×6） ＝×（3.14×9×6） ＝×（28.26×6） ＝×169.56 ＝56.52（立方分米）。 剩余体积：216－56.52＝159.48（立方分米） 答：剩下木块体积是159.48立方分米 20．一个圆柱形玻璃杯，从里面量底面半径是10厘米，高是30厘米，玻璃杯中水深15厘米。现将一个底面直径是10厘米，高是25厘米的圆柱形铁棒竖直放入水中，有一部分铁棒露出水面，如下图。现在玻璃杯中水深多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】已知圆柱形玻璃杯从里面量底面半径是10厘米，水深15厘米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出水的体积；现将一个圆柱形铁棒竖直放入水中，有一部分铁棒露出水面，那么现在玻璃杯中水的底面积＝圆柱形玻璃杯的底面积－圆柱形铁棒的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出现在玻璃杯中水的底面积；用水的体积除以现在玻璃杯中水的底面积，即是现在玻璃杯中水的深度。 【详解】水的体积： 3.14×102×15 ＝3.14×100×15 ＝4710（立方厘米） 放入圆柱形铁棒后水的底面积： 3.14×102－3.14×（10÷2）2 ＝3.14×102－3.14×52 ＝3.14×100－3.14×25 ＝314－78.5 ＝235.5（平方厘米） 现在玻璃杯中水深： 4710÷235.5＝20（厘米） 答：现在玻璃杯中水深20厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $