广东韶关市武江中学等校2025-2026学年高三下学期2月开学考试数学试卷

2026年2月25日金太阳联考（广东省） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知向量a=(t+1,-2).b=(4,),且a1b,则1= () A.-3 C.-2 D.2 2.设集合A=x|VF<2,B={-4,-2,0,1,2,4,5},则A∩B的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.若x∈[0，】，95≥m,则m的取值范围为 () A.(-e,] B.[l,+o) C.(-0,9 D.[1,9] 已知E分别是椭圆C芳+片=1(a>b>0的左、右焦点，M为C上一点， MF=10,且ME⊥ME,则C的离心率为 () B. c.②6 3 6 D. 5.某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通 颜率组距 过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动 积分（单位：分）.为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与 00t 后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第80百分位数定 001 为核心资格门槛线.活动结束后，平台从10万参与者中随机抽 001 取100人的积分数据，将所得数据按照[40,50)，[50,60)， 000 [60,70),[70,80),[80,90),[90,1001分成6组，其频率分 40 60 010积分/分 布直方图如图所示。据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛 线约为 () A.84分 B.85分 C.86分 D.82分 【试卷】第1页共8页 6.已知数列a,}满是a,=6,an1-2=a.+2n,则上+1 +…+1 a142 A 9 B.0 C.D 19 D.20 7.已知函数f(x)对任意的x∈R,f(x+y)=f(x)+f0y)+2y-8恒成立，f)=11,则() A.f(-)=-11 B.f(0)=-8 C.f(x)为偶函数 D.y=f(x)-x2-8为奇函数 8.在高为5的正三棱台ABC-ABC中，AB=2AB=4N5,D,E,F分别为侧棱A4,BB,CC 的中点，记平面ABF、平面BCD、平面ACE交于点O,则三棱台ABC-ABC与三棱锥O-ABC的 体积之差为 A.325 B.28V5 c.315 D.275 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.设复数：=(1+31)i,则 () A.+5-3列=2√2 B.z的虚部是-3 C.3+z为纯虚数 D.三在复平面内对应的点位于第一象限 已知数=2ar+引孙mao>0.则 ( A.当f(x)的最小正周期为π时，0=2 B.当fx)在(0，π)上单调时，0<o≤ 12 C.当f(x)在(0，π)上恰有两个零点时， 6 D,当a2时，在0的值拔为) 4 【试卷】第2页共8页 1l.若mn-m=(e"-l1)lnn,则 A.当m>0时，m=nn B.当0<n<1时，m<0 C.当m>0时，n2+2m+3>4n D.3n∈(0，+o),(m-n+1)2=0.01 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若5ina=2ma+写引 则tana= 13.已知圆C的半径为5，且圆心C与抛物线Ω：x2=16y的焦点关于2的准线对称，直线 3x+4y+28=0与C相交于P,Q两点，则Pg= 14.如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选 一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数 字，后面4个圆均不能在左方位上选数字)，且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数， 则共有 种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况） 0000 【试卷】第3页共8页 四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.13分) 若△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sinC-sin2A=sinBsinC(4cosA-l). (1)求角A的大小： (2若a=4V2,求△ABC面积的最大值. 【试卷】第4页共8页 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA=PC=2√5，AB=AC=4,PB=6,M,N分别 是AP,AC的中点，E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点 (I)证明：M,N,E,F四点共面. (2)证明：平面PAC⊥平面ABC, (3)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值. M N 【试卷】第5页共8页 17.(15分) 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段 代码均调试成功才算一次挑战成功。已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为 。若第一 2 段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为三：若第一段代码调试未成功，成 员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为 1 (1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率. (2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获 50元奖励.若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总 金额为随机变量X,求X的数学期望E(X). 【试卷】第6页共8页 18.17分) 已知双曲线C:女 a2 京=1(a>0,b>0)上的点与坐标原点0之间距离的最小值为2，点P(2W巨，)在C 上，且OP=3 ()求C的标准方程 (2)过点T(-3,0)的直线/交C于异于顶点的A(:,y),B(x2,y2)两点，且：>0，x2<0,设C的左、 右顶点分别为D,E,直线AD与BE交于点H, (①证明：点H在定直线上. (i)证明：∠HTE=∠BTH. 【试卷】第7页共8页 19.(17分) 已知函数f(x)=ta-(x-1)(a>0且a≠1). ()当a=e,1=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程. a当a=号1=1时.记6=+广+n+月 Sn为数列{b}的前n项和，证明：S1<10011. (3)当a=e,1=e*时，函数g(x)= /(得化-+-k有两个零点名与：证明名+5>2. 【试卷】第8页共8页 2026年2月25日金太阳联考（广东省）参考答案 6 7 9 10 11 12 13 A 0 0 C AC BCD ACD 5 6 2304 4 1.C【解析】由题意知a-b=4+4-21=0,解得1=-2. 2.B【解析】因为A={x0≤x<4},所以A∩B=0,1,2},则A∩B的元素个数为3. 3.A【解析】依题意得m≤(9S）)·因为函数y=9S在[0，上单调递增，所以m≤(9S）=9S°=1. 4.B【解析】F5=√0+5=55，所以C的离心率e= 2c FF 55_5 2a MF+MF 5+10 3 5.A【解析】(0.010+0.015+0.020+0.025)×10=0.7<0.8， (0.010+0.015+0.020+0.025×2)×10=0.95>0.8,所以第80百分位数位于[80,90)内， 不妨设第80百分位数为x分，则0.7+(x-80)×0.025=0.8,解得x=84. 6.D【解析】因为an1-2=an+2n,a2=6,所以a=2.因为an1-an=2n+2,所以当n≥2时， an=a+(a-4)+…+(an-an-)=21+2+3+…+m)=n1+m),a=2满足an=n(n+1）, 所以a,=n+,则上=一【=11 a。n(n+l)nn+1 aa, 2020 7.D【解析】令x=y=0,则f(0)=2f(O)-8,解得f(O)=8,B错误。 令y=-x=-1,则f(0)=f)+f(-1)-2-8,得f(-1)=7,A错误.f(-1)≠f(①)，C错误. 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2x2-8,所以f(x)-x2-8+f(-x)-(-x)2-8=0,D正确 8.C【解析】如图，设AF∩CD=P,BF∩CE=H,连接PH,AH, B BP,DF,易知AH∩BP=O.由AB=2AB=4N5,得DF=3V5 所贯则骨号藏骨号u器品 ABT OB-7 所以O到底面ABC的距离d= 7.4.1 0*7*2×5=1. x12x5x48 =35√5，三棱锥0-ABC的体积为 4 4 1x×48三.则巨校台BC-48C与三枚雅0-BC的体积之差为35-45 9.AC【解析】由题意可知z=(1+3i)i=-3+i,所以2+5-3列=2-2列=2√2，A正确.易知z的虚 部是1，B错误.3+三=3+(-3-)=-1为纯虚数，C正确.：在复平面内对应的点为(-3，)，位于第二 象限，D错误。 10.BCD【解析】f(x)=2sin or+}emor+君引mar+写引当国的最小正周開为x时 由无=，得0=1，A错误由xe0列.则20r+号气后20r+号 所以2x+≤ 解 20 3 2 得0<0≤方B正确，由2x<2ar+号≤3，得名<0≤等C正骑，当®=2时， 2 6 f(x)=sin (+周引由o引将+号得号》m4r引别9 D正确， I1.ACD【解折】当0<n<1时，m=0符合题意，B错误.设函数f)=二，则=-e+ 设函数g(x)=(x-I)e+1,则由g'(x)=xe>0,得x>0,则g(x)在(0+o)上单调递增，所以当x>0 时，g(x)>g(0)=0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增. 由g'(x)=xe<0,得x<0,则g(x)在(-o,0)上单调递减，所以当x<0时，g(x)>g(0)=0,则 f'(x)>0,所以f(x)在(-o,0)上单调递增.设函数p(x)=e-1-x,则p'(x)=e-1.当x<0时， p'(x)<0,p(x)单调递减，当x>0时，p'(x)>0,p(x)单调递增，所以p(x)≥p(0)=e°-1-0=0. 所以e-1≥x,当且仅当x=0时，等号成立.当x>0时.>1，当r<0时，e-<1, 所以当m>0时，由题意可得二-，因为/m)=,所以m=1,A正确当m>0时， m Inn nn>0.则n>l.令函数)=-少+nr-x+l6x>),则ha)=x-2+>0, 所以)在化+切)上单调透增，则a)>k=0,所以a-广+n=a-+m>n-l,。高三数学 注意亦项： 1.答愿前，考生务必将自己的姓名、为生号、为场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答米标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答愿卡上，写在木试卷上无效。 3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知向量a=(1十1，一2)，b=(4,1),且a⊥b,则1= A.-3 B号 C.-2 D.2 2.设集合A=(xx<2),B=(-4,-2,0以12s4,5),则A∩B的元弥个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.若Hx∈[0.1]，95≥，则m的取值范围为 /A.(-∞，1 B.[1.+c∞) .(-c∞，95] ,6.[1.95] 4已知FF:分别是椭圆C:号+若=1a>b>0)的左右瓶点M为C上-点MF,=5: |MF:|=10,且MF,⊥MF:,则C的离心率为 A器 B汽 c26 6 Dt 5.某元宇宙平台举办“星际文明探弥”虚拟文化节，参与者通过 ?须米/组死 完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作"等任务获得互动积0.2s 分（单位：分）.为筛选“核心探紫者”（享受专瓜虚拟道具与后0.02 0.015 续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的笼80百分数0.010 定为核心资格门槛线.活动结束后，平台从10万参分米中随0.005 机抽收100人的积分数据，将所得数按照[40,50)， 040506070609010l分/分 [50,60),[60,70).[70,80),(80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.据此， 以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为 A84分 B.85分 C.86分 D.82分 6尼知数列(a.}满足a,=6a1-2=a.十2m,则上+上+…十 a1 a2 a13 &8 Cis 09 20 【高三学第】页（共4页）】 1/4 7.已知函数(x)对任愈的r∈R.「(x+v)=f(x)+∫(y)+2xy一8恤成立，∫(1)=11，则， A.∫(-1)= B.f(0)=·18 C.∫(r)为佃呐 D.y=∫(x)-x-8为奇函数V 8.在高为5的正三棱台AB心，B,C,中，AB=2A,B,=4V3,D.E.F分别为侧悛AA,BB,, CC,的中点，记平而ABF、平而BCD、平而ACE交于点O,则三按台ABC-A,B,C1与三梭 锥O-ABC的休积之差为 八.323 B.28√3 C.313 D.273 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数：=(+3i)i,则 人1：+5-3i1=2√2孙 B.:的虚部是一3) C.3十乏为纯虚数 D.z在复平面内对应的点位于第一象限 10.已知函数f(x)=2sin(ur+若)sin(号-ux)w>0).则 A当∫(x)的最小正周期为π时，w=2 B当/r)在(0上单调时.0<a≤是 C当了(x)在(0，x上恰有两个零点时，吾<w≤号 D当u=2时./z)在(0.)上的值坡为(-5.] 11.若mn一m=(e“-1)lnn.则 A.当m>0时，m=lnn B.当0<n<1时，m<0 C.当m>0时.n2+2m+3>4n D.3n∈(0，+∞)，(m-n+1)2=0.01 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若5sina=2sin(e+哥）.则ano=L 13.已知圆C的半径为5.且肉心C写抛物线2：x2=16y的焦点关于2的准线过称，直线3x+ y+28=0与C相交于P,Q两点，则|PQ|=▲ 14.如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下，左、行、中五个方位均行T个数学，烫从这5个圆中 各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第】个 圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字)，且这5个数字之积为0，然 后将这5个数字排成一个5位数，则共有 种情况（在排5位数的过程中，若数字 相同但来自不可的圆，也视为不同的情况). g00000Qg 【高三数学第2页（共1页）】 2/4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤， 15.（13分) 在△BC中，角八，B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sin2C-simA=sin Bsin C(4cosA -1). (1)求角A的大小3· (2)若a=4√2，求△八BC面积的最大值.2 16.(15分) 如图，在三梭锥P-ABC中，AB⊥AC,PA=PC=2√5，AB=AC=4,PB=6.M,N分别是 AP,AC的中点，E为BP上常近点B的四答分点，F为BC上靠近点B的四等分点. (1)证明：M,N,E,F四点共面. (2)证明：平面PAC⊥平面ABC (3)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值， 17.(15分) 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次 挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功.已知成员M在每次挑战中调试第一段代 码成功的概率为了·若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概 率为号：若第一段代码调试未成功，成员M会亚谨慎，则调试第二段代码成功的概率为号 (1)求成员M在一次挑战中调试第二段代成功的概率 (2)该社团组织规定每个成员每次战成可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码 中的一段可获50元奖励.若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互 独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变，求X的数学期望E(X). 【高三数学第3页（共4页）】 3/4 18.(17分) 已知双曲线C:。一方=1(a>0,b>0)上的点与坐标原点0之向距离的最小值为2，点 P(22,t)在C上，且|ORl=3 (1)求C的标准方程. (2)过点T(-3,0)的直线l交C于异于顶点的A(x1y),B(x2y,)两点，且x1>0,x,< O,设C的左、右顶点分别为D,E,直线AD与BE交于点H. (|)证明：点H在定直线上 (i)证明：∠HTE=∠BTH 19.(17分) 已知函数f(x)=a'-（x一1)2(a>0且a≠1)： (1)当a=e,l=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程， (2)当a=号，1=1时，记6.=∫八n)+n2+ln(1+月S.为数列b,}的前n项和，证明：Sm <10011. (3)当a=e,t=e·时，函数g(x)=(）+(三-1)°+nx-k有两个零点x1x.证明： x1十x:>2k. 高三数学参考答案 题序 10 12 13 14 答案 C B AC 6 2304 4 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分. 【3】第12,13,14题，其他结果均不得分 1.C【解析】本题考查向量的垂直与坐标运算，考查数学运算的核心素养 由题意知a·b=41十4一21=0，解得1=一2. 2.B【解析】本题考查集合的交集运算，考查数学运算的核心素养。 因为A={x|0≤x<4},所以A∩B={0,1,2},则A∩B的元素个数为3. 3.A【解析】本题考查命题的真假，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 依题意得m≤(95)m,因为函数y=95r在[0,1]上单调递增，所以n(95)mn=95°=1. 4.B【解析】本题考查椭圆的离心率，考查直观想象与数学运算的核心素养， |F,F21 根据题意可得1F,F2=V10+5=55.所以C的离心率e=2a=MF,十MF 2c 55-5 5+10-3 5.A【解析】本题考查百分位数与频率分布直方图，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 (0.010+0.015+0.020+0.025)×10=0.7<0.8<(0.010+0.015+0.020+0.025×2)×10 =0.95,所以第80百分位数位于[80,90)内，不妨设第80百分位数为x分，则0.7+(x一80) ×0.025=0.8,解得x=84. 6.D【解析】本题考查数列的通项公式与裂项相消求和，考查数学运算的核心素养。 因为am+1-2=an十21，a2=6,所以a1=2.因为am41-an=2m十2，所以当n≥2时，an=a1 +(a2-a1)+…十(an-am-1)=2(1卜2十3卜…十n)=n(1+n),a1=2满足an=n(n十1)， 所以a,=a+中1则上--中所以++…+。-1-分十分 a l a? a19 合++信高1易-品 7.D【解析】本题考查抽象函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养， 令x=y=0,则f(0)=2∫(0)一8，解得f(0)=8,B错误.令y=一x=一1，则f(0)=f(1)+ f(-1)-2-8,得f(-1)=7,A错误.f(-1)≠f(1),C错误.令y=-x,则f(0)=f(x) +f(-x)-2x2-8,所以f(x)-x2-8十∫(-x)-(-x)2-8=0,D正确 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 8.C【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与直观想象的核心素养 如图，设AF∩CD=P,BF∩CE=H,连接PH,AH,BP,DF,易 知AHOBP=-0.由AB=2A,B,=45,得DF=35,所以号职 是则职-号同理得器-号所以沿-身品-号，所以0到 底面ABC的距离d=名×号×号×5=.三校台ABCA,BC,的 体积为号×5×（停×12+5<48+√停×12×9×48）=355， 三棱锥0ABC的体积为号×1×气×48=4V厅，则三棱台ABCA,B,C,与三校锥0-ABC 的体积之差为35√3-4√5=315. 9.AC【解析】本题考查复数的概念与运算，考查数学运算的核心素养， 由题意可知之=(1+3i)i=一3+i,所以|x+5一3i川=|2一2i=2√2，A正确.易知之的虚部是 1,B错误.3十乏=3十（一3一i)=一i为纯虚数，C正确.之在复平面内对应的点为（一3,1），位 于第二象限，D错误 10.BCD【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， )=2 2in(wc十吾》o(or+)=sn(2ar+号》：当/)的鼓小正周期为时，由无 =元，得u=1,A错误.由x∈(0，x,则2x+号∈（号，2仙x+号），所以2ωx+弩≤受解得 0<u≤位B正确由2x<2or+答≤3x,得名<u<专，C正确，当w=2时，fx)=sn(4红 +）,由x∈(o,),得4r+5∈（号，餐），sin(4x+)∈(-，1]D正确， 11.ACD【解析】本题考查导数的应用与方程、不等式的综合，考查数学抽象与逻辑推理的核 心素养 当0<n<1时，m=0符合题意，B错误.设函数fu)=,则f(x)=红-C+1,设 x2 函数g(x)=(.x-1)e+1.则由g'(x)=xe>0,得x-0,则g(x)在(0，+∞)上单调递 增，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增： 由g'(x)=ac'<.0.得x<0,则g(x)在（一∞，0）上单调递减，所以当x<0时，g(x)> g(0)=0,则f'(x)>0,所以∫(x)在(-∞，0)上单调递增.设函数p(x)=e-1-x,则 p'(x)=e-1.当x<0时，p'(x)<0,p(x)单调递减，当x>0时，p'(x)>0,p(x)单调递 增，所以p(x)≥p(0)=e°-1-0=0.所以e-1≥x,当且仅当x=0时，等号成立.当x>0 时，>1，当x<0时，<1，所以当m>0时，由题意可得1-因为 m In n 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 fm)=fnm,所以m=ln,A正确当m>0时，lnn>0,则>1.令函数h(x)=z 一1)+nz一x+1x>1,则h'(x)=x-2+>0,所以h(x)在(1，十)止单调递增，则 A(x)>1)=0,所以号n-1+lnn=2(a-1)+m>n-1,即m3+2m+3>4,C正 确.若存在n∈(0，十∞)，使得(m一1+1)2=0.01，则m一n+1=0.1或m-n十1=-0.1， 即lnn=n一1.1或lnn=n一0.9，画出函数y=x一1.1与函数y=lnx的图象，易得两图 象有交点，)正确. y=x-1.1 123 4 【解析】本题考查正弦的和角公式与同角三角函数的关系，考查数学运算的核心素养， 由5sina=2sin(a+5）=sine+3cosa,得4sina=5cosa,则tana=na-5 cos a 4 13.6【解析】本题考查抛物线的性质与圆的弦长，考查数学运算与直观想象的核心素养， 2的焦点为F(0,4),准线方程为y=一4，根据题意可得圆心C(0,12),圆心C到直线3x 十4y十28=0的距离d=13X0+4X(-12)+28=4,所以1PQ1=2√25-6=6. √32+4 14.2304【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养 因为这5个数字之积为0并排成一个5位数，所以第4个圆的上方位被选，左方位有C种 选择，同理右方位有C种选择，下方位有C种选择，正中间有C种选择，且0不能在万位 上，先排万位有C种，剩下的有A种，所以共有C4CC2C·CA=2304种情况. 15.【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 解：(1)根据正弦定理可得b2十c2一Q2=bc(4c0sA一1)，…1分 根据余弦定理可得4cosA-一1=2+c2-a2 _bc =2cosA、…3分 1 所以cosA=。 …5分 因为A∈(0，π)，所以A=买 2.0…6分 (2)由(1)易得b2十c2-a2=bc,即b2+c2-a2=bc≥2bc-a2,…8分 所以bc≤32，当且仅当b=c=4V2时，等号成立，… …9分 所以△ABC的面积S=号sinA<号X32X9-8V原， 12分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 即△ABC面积的最大值为8√. …13分 【评分细则】 【1】第(1)向中，没写A∈(0，)，直接得出A=号，不扣分. 【2】第(2)问中，没写当且仅当b=c=4√2时，等号成立，扣1分. 16.【解析】本题考查空间中点、线、面的关系及空间角的余弦值，考查直观想象与逻辑推理的核 心素养。 (1)证明：因为M,N分别是P,AC的中点，所以MN∥P℃.…1分 因为E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点，所以EF∥PC, 2分 所以MNEF,所以M,N,E,F四点共面.…4分 (2)证明：因为PA=2√5，AB=4,PB=6,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.… 6分 因为AB⊥AC,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.…7分 因为ABC平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.…8分 (3)解：连接PN.因为PA=PC,所以PN⊥AC,则由(2)得平面t PAC⊥平面ABC,所以PN⊥平面ABC.以A为坐标原点，以 AB,AC所在直线分别为x,y轴，以过点A且平行于PN的直线 为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(00,0,E(3, M 1,F(3,1,0),A=(3,2,1,A市=(31,0). …9分 设平面AEF的法向量为n=(x,y,之)， A应=3x+2y+=0, 则 n·AF=3x+y=0, 令y=6,则n=(一2,6,3).…11分 易得m=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量.…13分 设平面ABC与平面AEF的夹角为0，则co0=os(m,n)=mm-V4+36干9 n·n 3 3 7 3 所以平面ABC与平面AEF夹角的余弦值为 …15分 【评分细则】 【1】第(2)问中，没写PA∩AC=A,扣1分；没写ABC平面ABC,不扣分 【2】第(3)问中，法向量不唯一，只要是与参考答案给出的法向量共线的非零向量均可. 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 17.【解析】本题考查全概率公式与数学期望，考查逻辑推理与数学建模的核心素养. 解：(1)设成员M在一次挑战中调试第一段代码成功为事件A,调试第二段代码成功为事件 B,由题意得P(B)=P(BA)P(A)+P(BA)P(A)=名X+1X2=5 3 321 X 3-9 …5分 (2)成员M一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为3X 1 .22 39 ，…6分 只调试成功两段代码中的一段的概率为兮×号十号×号一 1214 ,…7分 2.11 两段代码均未调试成功的概率为3×2=3 8分 由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,50,100,150,200. 9分 10分 4、1 P(X=50) 8 -9X3 X2= 27 11分 2、1 P(X=100)=号×3×2+ 4 428 9X98] 12分 16 P(X=150)= 2、24 P(X=200)= 9×9=8i …14分 所以B0X)=0x+50×号+160×+150×8+20×导-8 28 81-9· …15分 【评分细则】 【】(1巾，设设事件，直接得出所求概率为号×号+号×号-号 义=分，不扣分 【2】第(2)问还可以这样解答： 设成员M在一次“代码调试挑战"中恰有Y段代码调试成功，则P(Y=2)=号×号-号， 22 2、11 3 2 8分 28 则EY)=1×号+2×号=g… 10分 800 故E(X)=E(100Y)=100E(Y)= 9 15分 18.【解析】本题考查双曲线性质的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， (1)解：依题意可得a=2.…1分 由OP|=√8+t2=13,得2=5.… 2分 将点P的坐标代人C的方程，得 =1,解得b2=5, …3分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 x2 y2 故C的标准方程为4一方 =1.…4分 (2)证明：(i)根据题意可设直线l的方程为x=y一3， x=my-3, 由x2y2_1得(5m2-4)y2-30my+25=0,… …5分 (45=1, △=900m2-100(5m2-4)=400m2+400>0,且5m2-4≠0，y1+y2= 30m 5m2-4'y1y2= 25 5m2-4 …6分 因为-号所以1g-音+ 5 ,…7分 yiy2 直线AD的方程为y=汁2+2)，直线BE的方程为y=产2-2》. 所以+名=yx+2=(my-1)=myy2-2_ 6y+y2)-y2 x-2-y1(x2-2)y1(my2-5)my1y2-5y1 2=5y- 6y1+y2)-5y1 -25y1+5y2 5,…10分 则x=一专，即H在定直线x=- 3上. 11分 (i)油i海H(-号2+2， 12分 则kAr=tan∠BTE=y!=l x1+3m …13分 2y1 tan∠HTE=kH= (x1+2) 2y1 5 5(x1+2),… 14分 06 4y1 tan2∠HTE=,2tan∠HTE 5(.x1十2) 20y1(r1+2) 1-tan∠HTE 25(.x1+2)2-4y月 …15分 1一 4y: 25(x1+2)2 20y1(.x1+2) =,=1 25(x1+2)-5.x+20x1+3m ………16分 即tan∠BTE=tan2∠HTE,所以∠BTE=2∠HTE,则∠HTE=∠BTH.…17分 【评分细则】 第(2)（ⅰ）问还可以用下列方法解答： 根据题意可设直线L的方程为x=my一3， 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】