解三角形微专题03正弦定理与余弦定理的综合应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——03正弦定理与余弦定理的综合应用 一、题型梳理 题型1、综合运用正弦定理、余弦定理求“边” 题型2、综合运用正弦定理、余弦定理求“角” 题型3、综合运用正弦定理、余弦定理求“半径” 题型4、综合运用正弦定理、余弦定理求“面积” 二、典例讲解 题型1、综合运用正弦定理、余弦定理求“边” 例1、在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，根据正弦定理化简可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由，根据正弦定理得，， 在中，，则，即，又，则， 由余弦定理得，，则，即，则，则，所以.故选：B 例2．在中，角所对的边分别为，且满足．，的面积为1，则边=（ ） A． B．4 C． D．. 【解析】∵bcosA+asinB=0，∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0，∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π，∴，又S△ABC=1，∴即，又，由余弦定理得，故：。 例3．记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】A 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出. 【详解】由正弦定理可得：又因为，所以由余弦定理可得：，所以， 又因为解得：故选：A. 例4．在中，分别为内角的对边，若，且，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．1 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式，结合同角三角函数的关系求得的值，利用正弦定理将已知角化边，结合使用余弦定理，求得的值. 【详解】已知等式，由正弦定理角化边得：， ，可得，，解得， 由余弦定理得：，解得，故选：. 【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合运用，属中档题. 题型2、综合运用正弦定理、余弦定理求“角” 例5、中，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化知识结合题设可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化，可得.则.又,则或.又当时，， 由余弦定理可得：，得，这与题意不符，则.故选：B 例6、的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：，. 故选：A. 例7、．在中，内角、、所对的边分别为、、，为的面积，，且，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由，，， 又由，则有，变形可得：① ，又，所以，根据余弦定理可得 ，即：，变形可得： ② 联立①②可得：，即，又由，则，即， ，，故。 例8、在中，内角所对的边分别为．已知，．则的值为 ； 【答案】 【解析】在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得． 题型3、综合运用正弦定理、余弦定理求“半径” 例9．中，，，则此三角形的外接圆半径是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，根据，，由余弦定理求得，再由平方关系得到，然后由正弦定理求解. 【详解】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圆半径是，故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 例10．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为，所以，即， 则，又，则，又，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为.故选：A. 例11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又，故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得，解得，则外接圆的半径为2. 题型4、综合运用正弦定理、余弦定理求“面积” 例12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，再利用余弦定理求出，最后利用面积公式即可. 【详解】由正弦定理化简得，再由余弦定理结合题干信息可得，，得，，则的面积是. 故选：B 例13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以，由正弦定理得， 又，则，所以，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍），所以，即角， 所以的面积.故选：C 【跟踪训练】 专题03 正弦定理与余弦定理的综合应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得，所以，因为，所以. 2. 在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以根据正弦定理有.故选：C. 3．在中，若，，则角（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先使用正弦定理将角化边，再使用余弦定理结合条件即可求得的值，进而可求得角. 【详解】由已知，利用正弦定理可得．由，有，因为，则有，即，由余弦定理得，则． 4．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据余弦定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】由余弦定理得，又，所以，所以，所以由正弦定理得．故选：C 5．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得：， 所以 ，再利用正弦定理：，代入已知值：，整理得：.故选：A 6.的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以，故选：C 7.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为，所以，即， 则，又，则，又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为.故选：A. 8．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，所以， 即，因为为钝角三角形，则，所以， 由正弦定理得，又，则，又因为，由余弦定理得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【分析】在中，由题中条件及正弦定理可得，∴，，即可判断选项A；由余弦定理可得，结合，即可判断选项B；又，可得为的最大角.由余弦定理可得，即可判断选项C；由选项B知，则由正弦定理可求出的外接圆半径，即可判断选项D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得.又，∴，，∴周长为，故选项A正确；由余弦定理可得.因为，所以，故选项B正确；又，所以，所以为的最大角. 由余弦定理可得，结合，可知为锐角，所以为锐角三角形，故选项C错误；由选项B知，所以.设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，解得，所以的外接圆面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 10、在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质求出，再利用余弦定理求出，接着根据正弦定理求出外接圆直径，然后求出，最后根据三角形面积公式求出三角形面积，再结合大边对大角判断角的范围，从而对各选项进行判断. 【详解】已知，因为是三角形内角，即，根据三角函数平方关系，可得： 根据余弦定理， 已知，，，代入可得：， 所以. 根据正弦定理，可得，将，，代入可得：，所以选项正确. 因为，根据大边对大角可知，又因为，且是三角形内角，所以，那么， 同时，所以选项错误. 根据三角形面积公式，将，，代入可得：，所以C选项错误. 根据正弦定理（为外接圆半径），可得外接圆直径，所以选项正确. 故选：AD. 11．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，,所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中，、、分别是角、、的对边，，面积，且，则边等于 ． 【答案】 【分析】由条件利用正弦定理可得，再由，求得，从而求得和的值．再由余弦定理求得，从而得到三角形的周长． 【详解】在中，角，，由正弦定理可得，再由，可得，解得：，．又由余弦定理可得：，解得：． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式属于基础题． 13．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由已知条件，根据余弦定理，可得，所以.根据正弦定理，得． 【详解】由余弦定理，得.因为，所以，化简得.由正弦定理，得． 14、在中，内角的对边分别是，若，，则____. 【答案】 【解析】根据正弦定理：可得，根据余弦定理：，由已知可得：，故可联立方程：， 解得：.由。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离。 （注：，）． 【答案】． 【分析】先在中利用等角对等边求出，再在中用正弦定理求出，最后在中用余弦定理算出的长度. 【详解】在中，，，．． 在中，．在中，由正弦定理，得． 则在中，由余弦定理，得 ．．∴两目标A，B之间的距离为． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的值． 【答案】(1)60°；(2) 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，可得，结合已知条件，得，从而求得角A的大小； （2）由余弦定理，得，由，可得的值. 【详解】（1）因为 所以由正弦定理，得， ，，，． （2）由余弦定理，得， 因为，得，故． 17．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，根据余弦定理求即可； （2）利用余弦定理解得，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为中，， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得，因为，所以. （2）由余弦定理得， 则，即，解得， 所以面积，即面积为. 18．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算即可. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得，则， 因为，所以，得，故的面积为. 19．中，角所对的边分别为. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得； （2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. （2）因为，所以，即， 因为，所以，所以，由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——03正弦定理与余弦定理的综合应用 一、题型梳理 题型1、综合运用正弦定理、余弦定理求“边” 题型2、综合运用正弦定理、余弦定理求“角” 题型3、综合运用正弦定理、余弦定理求“半径” 题型4、综合运用正弦定理、余弦定理求“面积” 二、典例讲解 题型1、综合运用正弦定理、余弦定理求“边” 例1、在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．在中，角所对的边分别为，且满足．，的面积为1，则边=（ ） A． B．4 C． D．. 例3．记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 例4．在中，分别为内角的对边，若，且，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．1 题型2、综合运用正弦定理、余弦定理求“角” 例5、中，若，，则（    ） A． B． C． D．或 例6、的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 例7、．在中，内角、、所对的边分别为、、，为的面积，，且，则的大小为（ ） A． B． C． D． 例8、在中，内角所对的边分别为．已知，．则的值为 ； 题型3、综合运用正弦定理、余弦定理求“半径” 例9．中，，，则此三角形的外接圆半径是（    ） A．4 B． C． D． 例10．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 例11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为 ． 题型4、综合运用正弦定理、余弦定理求“面积” 例12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 例13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【跟踪训练】 专题03 正弦定理与余弦定理的综合应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A． B． C． D． 2. 在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，，则角（ ）． A． B． C． D． 4．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 6.的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 7.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 8．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 10、在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 11．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中，、、分别是角、、的对边，，面积，且，则边等于 ． 13．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 14、在中，内角的对边分别是，若，，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离。 （注：，）． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的值． 17．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 18．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 19．中，角所对的边分别为. (1)若，求； (2)若，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $