解三角形微专题01正（余）弦定理的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二解三角形微专题——01 正（余）弦定理的基本应用 一、题型梳理 题型1：已知两角及任意一边解三角形 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 题型3：已知两边及一角解三角形 题型4：已知三边解三角形 二、知识梳理 1、正弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系：由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 二、余弦定理 1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2、余弦定理可以用于两类解三角形问题 （1）已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. （2）已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、典例讲解 题型1：已知两角及任意一边解三角形 解题策略：(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 例1、在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】，由正弦定理可得即，故，故选：A. 例2．在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，，，．，． ． 由正弦定理知，． 例3．在中，，，，则 ， ． 【答案】 8 4 【分析】由条件确定三角形为直角三角形，再结合正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，得．又，所以，． 例4．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设，由正弦定理知，即， 所以米． 例5．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 【答案】，， 【分析】运用三角形内角和定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，，，所以． 由，得． 由，得． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 解题步骤:①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边.其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 例6．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，，由正弦定理得，得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得．因此或．故选：B. 例7．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即．又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意．故选：D． 例8、在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因为，故或.故选：D. 题型3：已知两边及一角解三角形 解题策略：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 例9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】直接由余弦定理即可计算求解. 【详解】由余弦定理得，所以.故选：D 例10、在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 例11．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，，由余弦定理可得， 即，整理得，解得或（舍去），故.故选：D. 例12、在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得，得， 整理得，解得或（舍去）.所以. 例13．在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】先由余弦定理求出c边，再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，，所以，故， 所以由余弦定理得. 题型4：已知三边解三角形 解题策略：已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 例14．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算公式即可得解. 【详解】由余弦定理得．故选：A. 例15、在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得，由，所以.故选：C 例16.已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小.因为，所以设，则由余弦定理可得， 又因为，所以；因为，所以，所以三角形的最大角与最小角之和为.故选：A 例17、在中，若，，，则的最小角为 ． 【答案】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则，可知，即最小内角为角， 且，又因为，所以.故答案为：. 【跟踪训练】 专题01 正（余）弦定理的应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得．故选：C 2．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】根据余弦定理得.由于，所以.故选：D. 3．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即，解得或（舍去），故选：A 4．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，，由正弦定理得：， 则，因为，所以，则，故选：C 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，，则为锐角，，则．故选：B． 6、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知.故选：C 7、在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以.因为，所以，可得，解得.因为，，所以.由正弦定理得，故，解得.故选：C 8、记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得：， ，所以 ，再利用正弦定理：， 代入已知值：，整理得：.故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以，所以或．故选：CD． 10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】ABC 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，可得，，，又，则，故，所以.故选：ABC. 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即，则，得，则， 所以，所以的周长，所以 的面积为,由上可知AC错误，BD正确，故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、在中，角的对边分别为，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 13．在中，若，，，则 ，的面积 ． 【答案】 / 【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由正弦定理得，又，， 则，． 14．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为 m（注：） 【答案】 【分析】过点D作交于E，可得，进而利用正弦定理可得，求得，进而可求得. 【详解】过点D作交于E，因为，故． 于是． 又，故， 由正弦定理得． 所以在中，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）在中，已知，，，解三角形． （2）在中，已知，，，解三角形． 【答案】（1），，；（2），，. 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，正弦定理求得边，勾股定理可得边. （2）使用三角形内角和及正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由，，得.由正弦定理，可得， 在中，． （2）∵，，∴，由，得，， 所以，∴，，. 16．已知在中，，，，求a，b和B． 【答案】，， 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由，得， ， ， 由，得． 17．（1）在中，已知，，，其中，求，和． （2）在中，已知，，，求，和． 【答案】（1），，；(2)，， 【分析】(1)先由题意结合余弦定理依次直接计算求解c、A，再由三角形内角和即可求解角B. (2)根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】(1)由余弦定理得， ．所以，又， ，．，，． (2)由余弦定理得：， ， ，，又， ，，，，． 18．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 【答案】． 【分析】先在中利用等角对等边求出，再在中用正弦定理求出，最后在中用余弦定理算出的长度. 【详解】在中，，，． ．在中，． 在中，由正弦定理，得． 则在中，由余弦定理，得 ．． ∴两目标A，B之间的距离为． 19．（1）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 （2）在中，角，，的对边分别为，，，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． 【答案】（1）或；（2）时，，a=；时，，a=c= 【分析】（1）由正弦定理解三角形即可求解. （2）利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由， 利用正弦定理得，所以或． ①当时，利用三角形内角和定理； ②当时，利用三角形内角和定理. （2）在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得， 又因为，所以或， 当时，，所以. 当时，，所以△ABC为等腰三角形，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二解三角形微专题——01 正（余）弦定理的基本应用 一、题型梳理 题型1：已知两角及任意一边解三角形 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 题型3：已知两边及一角解三角形 题型4：已知三边解三角形 二、知识梳理 1、正弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系：由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 二、余弦定理 1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2、余弦定理可以用于两类解三角形问题 （1）已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. （2）已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、典例讲解 题型1：已知两角及任意一边解三角形 解题策略：(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 例1、在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 例2．在中，已知，，，则 ． 例3．在中，，，，则 ， ． 例4．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 例5．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 解题步骤:①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边.其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 例6．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 例7．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 例8、在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 题型3：已知两边及一角解三角形 解题策略：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 例9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 例10、在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 例11．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 例12、在中，内角的对边分别为，若，则 ． 例13．在中，若，，，则 ． 题型4：已知三边解三角形 解题策略：已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 例14．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例15、在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 例16.已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 例17、在中，若，，，则的最小角为 ． 【跟踪训练】 专题01 正（余）弦定理的应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 3．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 4．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 6、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 7、在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8、记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、在中，角的对边分别为，则 ． 13．在中，若，，，则 ，的面积 ． 14．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为 m（注：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）在中，已知，，，解三角形． （2）在中，已知，，，解三角形． 16．已知在中，，，，求a，b和B． 17．（1）在中，已知，，，其中，求，和． （2）在中，已知，，，求，和． 18．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 19．（1）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 （2）在中，角，，的对边分别为，，，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $