专题 2.4 二元一次方程组的应用（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.4 二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【题型 1】根据几何图形列二元一次方程组 1 【题型 2】根据实际问题列二元一次方程组 3 【题型 3】分配问题 4 【题型 4】图表信息题 5 【题型 5】行程问题 6 【题型 6】工程问题 7 【题型 7】几何问题 8 【题型 8】方案问题 9 【题型 9】数字问题 9 【题型 10】年龄问题 10 【题型 11】销售、利润问题 11 【题型 12】和差倍分问题 12 【题型 13】古代问题 13 二.中考模拟真题 14 （一）单选题（6题） 14 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（2题） 16 一.知识梳理与题型精析 【题型 1】根据几何图形列二元一次方程组 【解题思路】从边长、面积、周长等几何关系中提取等量关系，设未知数后依据对应公式列方程，联立求解并检验解的几何合理性。 【例题1】（根据浙教版七下51页例题1改编）如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板． （1）根据题意完成下表格． x只竖式纸盒中 y只横式纸盒中 合计 正方形纸板的张数 _______________ ______________ 1000 长方形纸板的张数 ______________ ______________ 2000 （2）问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 【变式1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江西九江·月考）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【题型 2】根据实际问题列二元一次方程组 【解题思路】审题后确定两个未知量并设为，找出题目隐含的两个等量关系转化为方程，用消元法求解并检验解的实际意义。 【例题2】（根据浙教版七下61页例题2改编）（24-25七年级下·浙江金华·月考）一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长．当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，． (1)求，的值． (2)若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？ 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一辆小汽车的牌照是豫M8L〇□△，已知〇〇□，〇□□515，△△〇，那么牌照号码的后三位数是( ) 【变式3】（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【题型 3】分配问题 【解题思路】明确总量与分配对象，设分配数量为未知数，依据 “总量 = 各部分之和” 或比例关系列方程，联立求解并注意单位统一。 【例题3】（根据浙教版七下62页例题3改编）（2020·浙江杭州·模拟预测）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪含量占；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占． （1）设其中蛋白质含量是，脂肪含量是，请用含或的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量． （2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·月考）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【题型 4】图表信息题 【解题思路】从表格、统计图中提取两组关键数据，根据单价数量 = 总价等公式列方程，联立求解后还原到情境中验证。 【例题4】（根据浙教版七下63页作业题3题改编）（24-25七年级下·浙江杭州·月考）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化．科学家已测得一定温度下声音传播的速度如右表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：（为已知数）． 温度 声音传播的速度 0 20 (1)求的值； (2)求当时v的值． 【变式1】（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则 ． 6 1 4 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【题型 5】行程问题 【解题思路】抓住路程 = 速度 时间核心公式，区分相遇、追及、顺逆水等类型，根据路程差或和、速度关系列方程，联立求解。 【例题5】（根据浙教版七下64页作业题6题改编）一条高铁线A，B，C三个车站的位置如图所示．已知B，C两站之间相距530千米．高铁列车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过13分钟距A站165千米；经过80分钟距A站500千米． （1）求高铁列车的速度和AB两站之间的距离．（2）如果高铁列车从A站出发，开出多久可以到达C站？ 【变式1】（根据浙教版七下64页目标与评定18题改编） （23-24七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【题型 6】工程问题 【解题思路】设工作总量为 1，根据工作效率 = 1÷ 单独完成时间，结合合作效率 = 各效率之和列方程，联立求解并注意时间单位。 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【题型 7】几何问题 【解题思路】识别图形类型，依据面积、周长公式，设边长、高为未知数，根据边长或面积关系列方程，求解后检验几何量的合理性。 【例题7】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【变式1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为 ． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【题型 8】方案问题 【解题思路】设方案关键量为未知数，根据成本、数量限制列不等式组或方程组，求出整数解后计算各方案成本或收益，选择最优方案。 【例题8】（26-27八年级上·陕西西安·期末）陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【变式1】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）甲型流感病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触等传播.所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护.为了个人防护，小红用400元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包60元，B型每包40元，在400元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【题型 9】数字问题 【解题思路】明确多位数的代数表示法（如两位数 = 10十位个位），设各位数字为未知数，根据数字和、差或新数与原数关系列方程，注意数字为 0-9 的整数。 【例题9】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为9 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则佳佳时看到的两位数是（   ） A．18 B．27 C．36 D．54 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【题型 10】年龄问题 【解题思路】利用 “年龄差不变” 的规律，设现在两人年龄为，根据几年前几年后年龄关系列方程，联立求解并检验年龄是否符合常识。 【例题10】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【变式2】（25-26七年级上·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【题型 11】销售、利润问题 【解题思路】依据利润 = 售价 - 进价、利润率 = 利润 ÷ 进价等公式，设进价、售价或数量为未知数，根据总利润或折扣关系列方程，联立求解。 【例题11】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是 元和 元． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 【题型 12】和差倍分问题 【解题思路】设两个量为 ，根据 “和”“差”“倍数”“几分之几” 的关系列方程，直接联立求解得到数值。 【例题12】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【题型 13】古代问题 【例题13】（根据浙教版七下64页目标与评定13题改编）（2023·吉林松原·三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”    【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为 斤；1只燕重为 斤． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【解题思路】先将文言文转化为现代数学语言，明确未知量与等量关系，再按常规应用题的设元、列方程、求解步骤进行，最后用情境表述答案。 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川宜宾·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 6．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 8．（2025·吉林四平·模拟预测）开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光，开封，特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元，分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价．”设桶子鸡每包x元，酱牛肉每包y元，根据题意，可列方程组为 ． 9．（2024·湖北·模拟预测）端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日，许多国家和地区都有庆贺端午节的活动．临近端午节，某公司准备购买两种礼盒给员工发放，已知购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元．设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则可列方程组为 ． 10．（2023·北京·二模）一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住． （1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间； （2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元． 11．（24-25八年级上·陕西西安·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 ． 12．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． （三）解答题（2题） 13．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 14．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 15．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 16．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【题型 1】根据几何图形列二元一次方程组 1 【题型 2】根据实际问题列二元一次方程组 3 【题型 3】分配问题 6 【题型 4】图表信息题 9 【题型 5】行程问题 12 【题型 6】工程问题 14 【题型 7】几何问题 18 【题型 8】方案问题 20 【题型 9】数字问题 24 【题型 10】年龄问题 26 【题型 11】销售、利润问题 29 【题型 12】和差倍分问题 32 【题型 13】古代问题 34 二.中考模拟真题 36 （一）单选题（6题） 36 （二）填空题（6题） 39 （三）解答题（2题） 43 一.知识梳理与题型精析 【题型 1】根据几何图形列二元一次方程组 【解题思路】从边长、面积、周长等几何关系中提取等量关系，设未知数后依据对应公式列方程，联立求解并检验解的几何合理性。 【例题1】（根据浙教版七下51页例题1改编）如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板． （1）根据题意完成下表格． x只竖式纸盒中 y只横式纸盒中 合计 正方形纸板的张数 _______________ ______________ 1000 长方形纸板的张数 ______________ ______________ 2000 （2）问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 【答案】（1）x，4x，2y，3y；（2）200，400 【分析】（1）根据题意即可完成表格； （2）根据共有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，列方程组求解． 【详解】解：（1）只竖式纸盒中，正方形纸板的张数为，长方形纸板的张数为， 只横式纸盒中，正方形纸板的张数为，长方形纸板的张数为， 故答案为：，，，； （2）根据题意得，， 解得： 答：第一种纸盒200个，第二种纸盒400个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【变式1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江西九江·月考）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 【题型 2】根据实际问题列二元一次方程组 【解题思路】审题后确定两个未知量并设为，找出题目隐含的两个等量关系转化为方程，用消元法求解并检验解的实际意义。 【例题2】（根据浙教版七下61页例题2改编）（24-25七年级下·浙江金华·月考）一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长．当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，． (1)求，的值． (2)若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？ 【答案】(1)， (2)温度 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，审清题意、求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据题意运用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， 所以，． （2）解：∵， ∴当时，有，解得：． 答：这时金属棒的温度是． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一辆小汽车的牌照是豫M8L〇□△，已知〇〇□，〇□□515，△△〇，那么牌照号码的后三位数是( ) 【答案】241 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的求解过程． 令△，□，则〇，根据等式列出方程组进行求解即可． 【详解】解：令△，□，则〇，根据等式得 ， 解得， 所以△，□，〇， 因此，牌照号码的后三位数是241． 故答案为：241 【变式3】（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【答案】演员的实际身高为，高跷的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设演员的实际身高为，高跷的高度为，等量关系：高跷高度为表演者实际身高的一半；演员的实际身高加上高跷的高度再减去等于；据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设演员的实际身高为，高跷的高度为， 则， 解得， 答：演员的实际身高为，高跷的高度为． 【题型 3】分配问题 【解题思路】明确总量与分配对象，设分配数量为未知数，依据 “总量 = 各部分之和” 或比例关系列方程，联立求解并注意单位统一。 【例题3】（根据浙教版七下62页例题3改编）（2020·浙江杭州·模拟预测）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪含量占；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占． （1）设其中蛋白质含量是，脂肪含量是，请用含或的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量． （2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量． 【答案】（1）碳水化合物：255-x；矿物质：2y；（2）蛋白质质量为135g，碳水化合物质量为120g，脂肪质量为15g，矿物质质量为30g 【分析】（1）根据“矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物含量占85%”解答； （2）由题意得等量关系：蛋白质的质量+脂肪的质量=300×50%，四种成分含量之和=300，列出方程组，再解即可． 【详解】解：（1）由题可知，矿物质的质量为2y（g）． 碳水化合物的质量为300×85%-x=255-x（g）． （2）由题意可得： ，解得， ∴蛋白质质量为135g，碳水化合物质量为255-135=120g，脂肪质量为15g，矿物质质量为2×15=30g． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，表示出碳水化合物的质量，矿物质的质量，脂肪的含量，蛋白质的质量，再列方程． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·月考）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 【题型 4】图表信息题 【解题思路】从表格、统计图中提取两组关键数据，根据单价数量 = 总价等公式列方程，联立求解后还原到情境中验证。 【例题4】（根据浙教版七下63页作业题3题改编）（24-25七年级下·浙江杭州·月考）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化．科学家已测得一定温度下声音传播的速度如右表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：（为已知数）． 温度 声音传播的速度 0 20 (1)求的值； (2)求当时v的值． 【答案】(1)， (2)当时，v的值为米/秒 【分析】本题考查了代数式求值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据表格将，，代入后，联立两式，解二元一次方程组即可； （2）结合（1）的结论得出，再将代入上式求值即可． 【详解】（1）解：将代入中，即， 将代入中，即， 联立， 解得：， （2）由（1）知：， 将代入上式，可得， ∴当时，v的值为米/秒． 【变式1】（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则 ． 6 1 4 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组． 根据各行、各列及对角线上三个数之和都相等，列出关于，的方程组，通过加减消元法求出方程组的解，最后代入即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简方程组，得： 由②得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【题型 5】行程问题 【解题思路】抓住路程 = 速度 时间核心公式，区分相遇、追及、顺逆水等类型，根据路程差或和、速度关系列方程，联立求解。 【例题5】（根据浙教版七下64页作业题6题改编）一条高铁线A，B，C三个车站的位置如图所示．已知B，C两站之间相距530千米．高铁列车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过13分钟距A站165千米；经过80分钟距A站500千米． （1）求高铁列车的速度和AB两站之间的距离．（2）如果高铁列车从A站出发，开出多久可以到达C站？ 【答案】（1）高铁列车的速度为300千米/小时，AB两站之间的距离为100千米；（2）高铁列车从A站出发，开出2.1小时可以到达C站. 【分析】（1） 设高铁列车的速度为x千米/小时，AB两站之间的距离为y千米，根据题意等量关系式列出方程组，解之即可得出答案. （2）根据路程÷速度=时间，计算即可得出答案. 【详解】（1）设高铁列车的速度为x千米/小时，AB两站之间的距离为y千米． 由题意得 解得 答：高铁列车的速度为300千米/小时，AB两站之间的距离为100千米. （2）=2.1小时 答： 高铁列车从A站出发，开出2.1小时可以到达C站． 【点睛】本题考查的是列二元一次方程组解应用题，准确把握题中的数量关系是关键. 【变式1】（根据浙教版七下64页目标与评定18题改编） （23-24七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列方程，王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、， 根据题意得 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 【题型 6】工程问题 【解题思路】设工作总量为 1，根据工作效率 = 1÷ 单独完成时间，结合合作效率 = 各效率之和列方程，联立求解并注意时间单位。 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 【变式2】（2024八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【答案】(1)甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． (2)单独请乙组商店所付费用较少． 【分析】（1）根据甲、乙同时施工和甲先做、乙后做的费用情况，列方程组求解甲、乙单独做1天的费用； （2）先根据工作时间和工作总量的关系列方程组求出甲、乙的工作效率，进而求出各自单独完成工作的时间，再计算单独请的费用并比较． 【详解】（1）解：设甲组单独做1天，商店应付元，乙组单独做1天，商店应付元． 由题意，得 解得 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． （2）解：设甲组每天的工作效率为，乙组每天的工作效率为． 由题意，得 解得 甲组单独完成装修需（天），乙组单独完成装修需（天）， 单独请甲组需付（元），单独请乙组需付（元）． ， 单独请乙组商店所付费用较少． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，掌握根据费用和工作效率的关系，设未知数列方程组求解，再计算并比较费用是解题的关键． 【题型 7】几何问题 【解题思路】识别图形类型，依据面积、周长公式，设边长、高为未知数，根据边长或面积关系列方程，求解后检验几何量的合理性。 【例题7】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【变式1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．设小长方体的长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h． 【详解】解：设小长方体的长为x，宽为y，由图可得 ， 解得， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b． 【详解】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b 则， 得， 解得； 得， 解得． 由周长，得， 解得． 故答案为：，，． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解题的关键． 设，，，则，根据得到，再根据得，由此解出，，继而得到，，然后根据线段中点定义及线段的和差可得答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 联立， 解得：， ∴，，， ∴， ∵点、分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 即线段的长为． 【题型 8】方案问题 【解题思路】设方案关键量为未知数，根据成本、数量限制列不等式组或方程组，求出整数解后计算各方案成本或收益，选择最优方案。 【例题8】（26-27八年级上·陕西西安·期末）陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【答案】(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； (2)该班共有2种购进这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【分析】（1）设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元，根据购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件，根据该班决定花330元购进这两种文创产品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； （2）解：设该班购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 整理得， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该班共有2种购进这两种文创产品的方案： ①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件； ②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式1】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）甲型流感病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触等传播.所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护.为了个人防护，小红用400元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包60元，B型每包40元，在400元全部用尽的情况下，有几种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，再根据正整数解的条件确定购买方案的数量； 设购买A型口罩包，B型口罩包，根据总价列出方程，化简为，然后找出、的正整数解，解的个数即为方案数． 【详解】解：设购买A型口罩包，B型口罩包， 根据题意，得， 化简，得， 变形，得， ∵ ，为正整数， ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴ 共有3种购买方案． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【答案】1.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 【题型 9】数字问题 【解题思路】明确多位数的代数表示法（如两位数 = 10十位个位），设各位数字为未知数，根据数字和、差或新数与原数关系列方程，注意数字为 0-9 的整数。 【例题9】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为9 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则佳佳时看到的两位数是（   ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为9且行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设佳佳时看到的两位数中十位数字为，个位数字为， 根据题意，得 解得， 所以佳佳时看到的两位数是27． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 【题型 10】年龄问题 【解题思路】利用 “年龄差不变” 的规律，设现在两人年龄为，根据几年前几年后年龄关系列方程，联立求解并检验年龄是否符合常识。 【例题10】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级上·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【题型 11】销售、利润问题 【解题思路】依据利润 = 售价 - 进价、利润率 = 利润 ÷ 进价等公式，设进价、售价或数量为未知数，根据总利润或折扣关系列方程，联立求解。 【例题11】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是 元和 元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 【答案】(1)购进魔方个，数独棋个 (2)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设商店购买魔方个，数独棋个，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可解答． 【详解】（1）解：设商店购买魔方个，数独棋个， 由题可知：， 解得：， 答：商店购进魔方个，数独棋个； （2）由题可知，如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，这两种益智玩具全部售完后， 则， 答：这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利元． 【题型 12】和差倍分问题 【解题思路】设两个量为 ，根据 “和”“差”“倍数”“几分之几” 的关系列方程，直接联立求解得到数值。 【例题12】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 【题型 13】古代问题 【例题13】（根据浙教版七下64页目标与评定13题改编）（2023·吉林松原·三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”    【答案】马每匹两，牛每头7两 【分析】设4每匹两，牛每匹两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两，马二匹、牛五头，共价三十八两”列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设4每匹两，牛每匹两， 根据题意得： ， 解得：， 马每匹两，牛每头7两． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，两匹马一头牛的总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，列出方程组． 【详解】解：设一匹马价格为x，一头牛价格为y， 根据题意得， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为 斤；1只燕重为 斤． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意，互换一只雀和一只燕后两边平衡，可得方程；由总重可得方程 ，解方程组即可． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕重斤，根据题意得： ， 解方程组得：， 即：雀重斤，燕重斤． 故答案为：；． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 【解题思路】先将文言文转化为现代数学语言，明确未知量与等量关系，再按常规应用题的设元、列方程、求解步骤进行，最后用情境表述答案。 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 2．（2025·四川宜宾·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 3．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只， 由题意得： ，解得：． 所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4． 故选：A． 6．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． （二）填空题（6题） 7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 8．（2025·吉林四平·模拟预测）开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光，开封，特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元，分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价．”设桶子鸡每包x元，酱牛肉每包y元，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设桶子鸡每包x元，酱牛肉每包y元， ∵2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元， ∴可列方程组为． 故答案为： ． 9．（2024·湖北·模拟预测）端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日，许多国家和地区都有庆贺端午节的活动．临近端午节，某公司准备购买两种礼盒给员工发放，已知购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元．设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元，再建立方程组即可． 【详解】解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则 ． 故答案为： 10．（2023·北京·二模）一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住． （1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间； （2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元． 【答案】 5 790 【分析】（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住双人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间， 根据题意得：， ， 又，均为自然数， ， 他们租住了5间三人间． 故答案为：5； （2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少． 女士：（人)，男士7人， 租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的4间双人间里面2间住男士，2间住女士，另租住3间三人间， 此时租住一晚的住宿房费为（元， 租住一晚的住宿房费最少为790元． 故答案为：790． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 11．（24-25八年级上·陕西西安·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．先计算左下的数为4，再表示中间的数，再根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：依题意，左下角的数为：， ∴最中间的数为：， 或最中间的数为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． 【答案】 【分析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设有人，物品价值为元， 由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键． （三）解答题（2题） 13．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 14．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 15．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，， 解得， 答：农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 16．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．(2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $