重点分类解析二项分布与超几何分布讲义-2026届高三数学二轮复习

重点分类解析二项分布与超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．下面例举二项分布与超几何分布在实际问题中的应用，二者都可以与其它概率统计知识及函数知识结合在一起进行考查；对于常见的一些题型介绍给大家，以供参考，旨在帮助同学们提高学习与解题的综合素养. 类型一、二项分布与导数结合 例1.某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为( ),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点.(2)现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验? 【解析】(1)依题意，得件产品中恰有件不合格品的概率为，且.则.令，注意,得.当时，；当时，.从而知在上是递增的，在上是递减的，所以的最大值点为. (2)由(1)知，. (i)设表示余下的件产品中的不合格品件数,依题意知，则 .因,故元. (ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元.由上面计算知，故应该对余下的产品作检验. 【点拨】本题第(1)问是整个试题的核心，设表示件产品中取到不合格品的件数，由题意知()，先通过建立函数模型，再将函数求导利用研究函数单调性与最值的方法求出的最大值点为，这种借助导数求解概率最值问题的思维方法给人耳目一新与眼前一亮的感觉. 类型二、二项分布与独立事件 例2.在某商场的一次有奖促销活动中，有人成为幸运之星，这名幸运之星可获得两种奖品中的一种，并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为点、点、点、点、点、点)，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品.(1)求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；(2)设分别为获得两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望. 【解析】依题意，在这名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为(或).(1)要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则获奖品的人数可能为.则所求概率为. (2)由于,且；则，，；即的所有可能取值为.又因为，. 则；； . 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望. 【点拨】因为名幸运之星每人获取或奖品的机会(概率)是相同的，完全是由抛掷一枚均匀骰子出现朝上的点数来确定,每人获得奖品的概率为，获得奖品的概率为，这如同是在做一个独立重复的试验；每人抛掷骰子次，即共做了次独立重复试验，由于分别为获得两种奖品的人数，则，，且，只要这些道理理解好了，问题就能迎刃而解. 类型三、二项分布与互斥事件 例3.现有位影视明星参加某电视台现场录制的娱乐活动节目，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，主办方制作了一款电脑软件:按下电脑键盘“”键则会出现模拟抛两枚质地均匀的骰子的画面，若干秒钟后在屏幕上出现两个点数和，并在屏幕的下方自动计算出的值.主办方有规定:每个人去按“”键，当显示出来的小于时则参加甲游戏，否则参加乙游戏.(1)求这个人中恰好有人参加甲游戏的概率；(2)用分别表示这人中去参加甲、乙游戏的人数，记等于与的乘积，求随机变量的分布列与数学期望. 【解析】(1)依题意知由屏幕出现的点数和形成的有序数对一共有个等可能的基本事件；而符合的基本事件有 ,共有个.则每人选择甲游戏的概率，选择乙游戏的概率.故这个人中恰好有人参加甲游戏的概率为 (2)依题意,,且；则,, ,，知的所有可能取值为.且,. 则； ； ； . 所以随机变量的分布列为 故的数学期望. 【点拨】根据古典概型，计算屏幕出现的点数和形成的有序数对共有个总的基本事件，再得出其中满足条件的含有个彼此互斥的基本事件,从而得到人中的每个人选择甲游戏的概率，选择乙游戏的概率是解题的关键所在；进而确定,是起到“拨开云雾见青天”的作用，并理解好()是解题的至关重要因素,两者取其一即可. 类型四、二项分布与正态分布 例4.为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，试验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸(单位:).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；(2)一天内抽查零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸: . 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸,. 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到). 附:若随机变量服从正态分布,则. ,. 【解析】(1)由题知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为.则；所以 .由题意知，故. (2)(i)由于尺寸落在之外的概率为.由正态分布知尺寸落在之外是小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理. (ii)由题知,.所以得，又因为，所以需对当天的生产过程检查，因此要剔除尺寸为零件的数据.剔除数据之后， ；而 ，所以. 【点拨】这是一道涉及正态分布与二项分布的概率与统计综合题，在企业生产与管理中,经常应用正态分布中的“准则”进行产品质量检测和工艺品生产过程质量控制；由于产品的尺寸几乎全部集中在内，而落在外取值的概率只有，这是一个小概率事件，一旦发生就表明生产异常而需检查生产过程.由于产品生产量足够大,应把每个产品的生产看作是在相同的条件下进行的试验，因此正确理解第(1)问中的随机变量是解题的关键所在. 类型五、超几何分布与统计抽样 例5.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动会的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图.(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人的成绩满足的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【解析】(1)设该名学生考核成绩为优秀的事件记作.由茎叶图中的数据可以知道,名学生中只有名学生成绩考核优秀；故估计该生考核为优秀的概率是. (2)依题意,因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人，从而知的所有可能取值为.则；；；. 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】这是一道将抽样结果用统计茎叶图表示出来的概率统计题，由于采用随机抽样的方法，可以用样本的考核成绩情况来近似反映(估计)总体的考核成绩；先确定成绩的学生人数,再分析得到其中满足的学生人数，只要上面两个问题解决好了，结合超几何分布概率模型公式计算，就能很轻松得到的分布列和数学期望，注意超几何分布的期望可通过公式来计算更方便简洁. 类型六、超几何分布与互斥事件 例6.已知甲、乙两个袋子中各装有大小、形状完全相同的个小球，其中甲袋中有个红球和个黄球，乙袋中有个红球和个黄球.现从甲袋中随机摸取个球装入乙袋中，再从乙袋中随机摸取个球装入甲袋，此时甲袋中红球的个数记为随机变量.(1)求此时乙袋中恰有个红球的概率；(2)求的分布列与数学期望. 【解析】(1)依题意知，只有先从甲袋中摸取个黄球装入乙袋中，再从乙袋中摸取个红球装入甲袋中，才会最后使得乙袋中恰只有个红球.故此时乙袋中恰有个红球的概率为. (2)由题意知，的所有可能取值为.则； ； ； 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】对于第(1)问根据古典概率与相互独立事件同时发生的概率计算求解；而第(2)问对于中的每一个值所对应情况都有多种，且这些情况对于的同一值是互斥事件，而每个互斥事件又是从两个袋中按顺序各取球一次并各自满足超几何分布，由于要同时进行其事件的概率等于它们发生的概率之积. 类型七、超几何分布与条件概率 例7.在标有“甲”的袋中有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.(1)若从袋中依次取出个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；(2)现从甲袋中取出个红球，个白球，装入标有“乙”的空袋中.若从甲袋中任取球，乙袋中任取球，记取出的个球中是红球的个数为，求的分布列与数学期望. 【解析】(1)记“第一次取到红球”为事件，“后两次均取到白球”为事件.则,；所以“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球”的概率.(或) (2)依题意，当个红球和个白球分成“甲”和“乙”两个袋子装好后，此时“甲”袋中有个红球和个白球，“乙”袋中有个红球和个白球.现从“甲”、“乙”袋中分别取出个、个球，表示取出的个球中是红球的个数，则的可能值为.于是得；； ；. 所以的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】第(1)问涉及到条件概率问题，操作时严格按照条件概率的计算公式去求解一般不易出错；第(2)问在“甲”、“乙”袋中分别取球各自满足超几何分布，但由于每种情况是同时取球且相互独立，即相互独立事件同时发生的概率等于它们发生的概率之积，这一点要牢记. 类型八、超几何分布与回归分析 例8.水果的价格受到需求量和天气的影响.有一采购员定期向批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的组数据进行研究，发现可采用来作为价格的优惠部分(单位:元/箱)与购买量(单位:箱)之间的回归方程，整理相关数据得到下表(表中): (1)根据参考数据回答下面①②两个问题:①建立关于的回归方程；②若当日该种水果的市场价为元/箱，估算购买箱该种水果所需的金额(精确到). (2)在样本点中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点.已知这个样本点中，高效点有个，现从这个点中任取个点，设取到高效点的个数为，求的分布列与数学期望. 附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.参考数据:. 【解析】(1)①对的两边同时取自然对数得.可令，，进而得.则，，则，则，所以.故关于的回归方程. ②由①知，将代入中，得，故每箱水果大约可以获得优惠元，故购买箱该种水果所需的金额约为(元). (2)由题意知的所有可能取值为.则；；；. 所以的分布列为: 故的数学期望为.(或) 【点拨】对于求解非线性的回归方程，先通过对该式两边同时取自然对数化为，再通过换元化成线性关系求解，进而得到关于的回归方程；利用回归方程求出箱时对应的元,即就是每箱水果所获得的优惠价格，进而计算购买箱水果所需的金额数；根据题中条件得出随机变量的可能取值，并确定服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式求出的分布列与期望. 【跟踪训练题】 1.某家畜研究机构发现成年牛中每头感染一种型疾病的概率是,且各头成年牛是否感染这种病是相互独立的.(1)记头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求的最大值点.(2)以(1)中确定的作为的值.(i)若头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？(ii)该家畜研究机构新发现了一种血清对治疗成年牛患的这种型疾病有一定疗效，但能成功治好的概率为；农户家里养有头成年牛，打算让这家研究机构为这头成年牛预防和治疗这种病，已知需缴纳给研究机构的预防和治疗费用是每头牛为元，而患病不能成功治好的成年牛研究机构要赔偿农户每头为元，估计该研究机构能在农户那里所获取的收益是多少元？ 解：(1)依题意，头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，且.则有，又因，令，解得.则当时,；当时,.即函数在上是递增的，在上是递减的；故的最大值点. (2)由(1)知，.(i)则头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是()，由于 ；显然当，即时，有；当，即(,且)时，有,于是得.从而知当时，. (ii)设在农户那里所获取的收益是元，表示头成年牛中所患型疾病的头数，则，于是；故元.故该研究机构能在农户那里所获取的收益大约是元. 2.甲、乙两队进行篮球投篮比赛，每队3人，每人投篮1次，投中者为本队赢得2分，不中得0分；假设甲队中每人投中的概率均为，乙队中每人投中的概率分别为，且各人投中与否相互之间没有影响. (1)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于6”这一事件，用B表示“甲队总得分多于乙队总得分”这一事件，求. 解： (1)由题意知，的所有可能取值分别为则; 则的分布列为 0 2 4 6 故的数学期望为 (2)用C表示“甲得4分乙得2分” 这一事件，用D表示“甲得6分乙得0分” 这一事件.则，.故得. 3.年以来，党和国家出台政策使山东省成为全国实施“新旧动能转换重大工程”改革的综合试验区.该省某国营企业积极响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，要从设备改造前后生产的大量产品中各随机抽取件产品作为样本,检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表. 设备改造后样本的频数分布表 质量指 标值 频数 (1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关: 设备改造前 设备改造后 总计 合格品 不合格品 总计 (2)根据题中的频率分布直方图和频数分布表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； (3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据频数分布表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为(单位:元)，求的分布列和数学期望. 附:,且. 【解析】(1)根据题中的频率分布直方图和频数分布表得到列联表: 设备改造前 设备改造后 总计 合格品 不合格品 总计 将列联表中的数据代入公式计算得:； 因为.所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. (2)根据题中的频率分布直方图和频数分布表知，设备改造前产品是合格品的概率约为 ，设备改造后产品是合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高,因此设备改造后性能更优. (3)由频数分布表知:抽到一等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；抽到二等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；抽到三等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为. 由题意知，随机变量的所有可能取值为. 则；；； .则随机变量的分布列为： 故的数学期望为. 4.袋中装有个红球和个黑球,一次取出个.(1)求恰有个红球的概率;(2)取出黑球的个数为,求的分布列和期望;(3)所取个球同色,求全是黑色的概率. 解:(1);(2)依题意,由超几何分布知，(), ;(3). 5.有一质地均匀的正四面体，其四个面上分别标有1、2、3、4四个数字.已知一质点M从平面直角坐标系的原点出发，沿轴正方向移动，其移动规则是：若投掷该正四面体时，看不到的面上的数字为，则质点M移动个单位，质点M到达点前将连续投掷正四面体.(1)求质点M恰好到达点的概率；(2)求质点M到达点的所有情况中，用随机变量表示点Ｍ能够到达点时投掷正四面体的次数，求的分布列和期望. 解：(1)投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的概率均为.依题意有：若投掷一次能到达点，则底面数字应为，其概率为；若投掷二次能到达点，则底面数字为1、3，3、1，2、2三种情况，其概率为；若投掷三次能到达点，则底面数字为1、1、2，1、2、1，2、1、1三种情况，其概率为；若投掷四次能到达点，则底面数字应为1、1、1、1，其概率为，故能到达点的概率为. (2)依题意有.由于质点M恰好到达点的概率,这是一个含条件概率的分布列问题.则;;;.故的分布列为 1 2 3 4 则期望. 学科网（北京）股份有限公司 $