精品解析：山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可． 【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大． 2. 在中，， ，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数值，求出，然后求出，最后根据特殊角的三角函数值，求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 3. 已知反比例函数的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数的图象不经过（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出a的取值范围，再由一次函数的系数判断象限． 【详解】解：根据反比例函数的性质可知，a＞0，再根据一次函数的性质，y=-ax+a与y轴交于正半轴，-a＜0，则直线y=-ax+a随x的增大而减小，所以图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的图象和性质，掌握系数与性质的关系是本题的关键． 4. 如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，米，， ∴， ∴米， 故选：A． 5. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，将平移后的抛物线逆向平移即可得到原抛物线表达式，可先将平移后的抛物线化为顶点式再计算． 【详解】解：， 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为， 原抛物线是平移后的抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的， 原抛物线的表达式为， 整理得：， 原抛物线表达式为． 6. 班主任决定从两名男生和两名女生中随机抽取两人担任值周班长，那么抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可通过画树状图的方法找出所有抽取情况及符合“一名男生和一名女生”的情况，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 由图可知，共有种等可能的结果，其中恰好一名男生和一名女生的情况有种情况， 抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 7. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 8. 喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质，首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的顶点坐标公式求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可知，点的坐标是，点的坐标是， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 水流喷出的最大高度是， 水流喷出的最大高度是米． 故选：B． 9. 如图，是的外接圆，若的半径为5，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长与圆交于点，连接，利用勾股定理求出，然后利用余弦的定义求出，再通过圆周角定理可得到． 【详解】解：如图，连接并延长与圆交于点，连接， ∴为的直径， ∴，且， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10. 如图，点A，B分别在双曲线和上，平行于y轴，C是y轴上一动点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设点的横坐标为，然后根据双曲线解析式写出两点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设点的横坐标为， ∵点A，B分别在双曲线和上，平行于y轴， ∴， ∴，点到的距离为， ∴的面积为， 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= ______度． 【答案】36 【解析】 【详解】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴=72°， ∴∠ADB=×72°=36°．故答案为36． 考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆． 12. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为_____． 【答案】2米 【解析】 【详解】由题意可得:AM∥BN,所以△NBC∽△MAC,所以∠AMC=∠BNC=30°, 因为∠C=90°,BC=1,所以BN=2,CN=,所以,所以,解得:AC=3,所以AB=AC－BC=2,故选答案为:2米. 点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用. 13. 关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，掌握特殊角三角函数值是解题关键． 14. 如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据点，，的坐标可得点的坐标为，根据平移的方向和距离可得点，，、平移后的对应点的坐标，分别求出当点在反比例函数的图像上时和点在反比例函数的图像上时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：矩形的顶点，，的坐标分别为，，， 点的坐标为， 将矩形向右平移个单位后， 顶点，，、的坐标分别为，，，， 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：； 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：， ． 故答案为：． 15. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线x=m，且开口向上， ①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2， 解得：； ②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2， 解得(舍)； ③若−1⩽m⩽2，当x=m时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，求k的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入，则可求出m的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【答案】该几何体的表面积是 【解析】 【分析】先通过三视图得出几何体是一个圆柱上半部分切除半圆柱，分别算出侧面积和以及底面积和，然后两者相加即可． 【详解】解：． ， ， 所以，该几何体的表面积是． 18. 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 【答案】 解：不公平，理由如下： 画树状图如下： 由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种． 则甲获胜的概率，乙获胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平． 【解析】 【分析】利用树状图法，求出含有相同数字的概率，进行判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性问题．熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键． 19. 图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】灯管D距地面的高度约为 【解析】 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 20. 花草培育公司计划用8万元的资金投资绿植和花卉．经市场调研得知：投资绿植的利润与投资金额x的关系为；投资花卉的利润与投资金额x的关系为．设投资花卉的金额为m．（说明：利润与投资金额的单位均为“万元”） （1）求公司能获得利润的范围； （2）要使利润不低于18.5万元，求m的范围． 【答案】（1）公司能获得利润的范围为 （2）m的范围为 【解析】 【分析】对于本题，需要通过建立函数模型求解，正确利用二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设能获得利润w万元，由题意得，再根据二次函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到方程，求出的值，再根据二次函数与不等式的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设能获得利润w万元，由题意得 ． ∵， ∴当时，w的最小值是14． ∵， ∴当时，． ∴当时，． ∴公司能获得利润的范围为． 【小问2详解】 解：由，得（舍），． ∵， ∴要使利润不低于18.5万元， ∴m的范围为． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围： ； （3）若点P为直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入解方程得到反比例函数的表达式为，把点坐标代入求得，把点坐标，点坐标代入得解方程组得到一次函数的表达式为； （2）根据一次函数及反比例函数的图象交于点，点，即可得到结论； （3）分两种情况：①若在线段上，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点．②当点在点的下方时，过点作平行于轴的直线，过A点作垂直于直线于点，过点作垂直的延长线于点．分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点坐标代入得， ， ， 反比例函数的表达式为， 把点坐标代入得，，解得， ， 把点坐标，点坐标代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数及反比例函数的图象交于点，点， ∴当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：①若在线段上, 过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 设， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为 ②当点在点的下方时， 过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于的延长线于点． 设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 22. 如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． （1）求证：是的切线； （2）当D是的中点时，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由垂直得，同圆半径相等推，再由已知条件推，等量代换得的角从而证出是的切线； （2）由是的直径，得，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B． （1）直接写出c的值： ； （2）当时，抛物线有最小值，求a的值； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值． 【答案】（1）2 （2）a的值为 （3）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数求出两点坐标，然后将点坐标代入抛物线即可求出c； （2）先求出抛物线的对称轴，然后再对进行分情况讨论即可； （3）过点P作y轴的平行线，交于点Q，设，则，写出长度，进而可求出，再通过二次函数性质可求得最大值． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴，y轴交于点A，B， ∴，， 又∵抛物线过点B， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， ∴， 解得， 当，时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时， ∴，得（舍）， 综上，． 【小问3详解】 解：由（2）可知，抛物线的表达式为， 如图，过点P作y轴的平行线，交于点Q． 设，则． ∴． ∴． 当时，取到最大值为： ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在中，， ，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知反比例函数的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数的图象不经过（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 班主任决定从两名男生和两名女生中随机抽取两人担任值周班长，那么抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，是的外接圆，若的半径为5，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，B分别在双曲线和上，平行于y轴，C是y轴上一动点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= ______度． 12. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为_____． 13. 关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是__________． 14. 如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 15. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，求k的值； （2）计算：． 17. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 18. 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 19. 图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 花草培育公司计划用8万元的资金投资绿植和花卉．经市场调研得知：投资绿植的利润与投资金额x的关系为；投资花卉的利润与投资金额x的关系为．设投资花卉的金额为m．（说明：利润与投资金额的单位均为“万元”） （1）求公司能获得利润的范围； （2）要使利润不低于18.5万元，求m的范围． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围： ； （3）若点P为直线上一点，当时，求点P的坐标． 22. 如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． （1）求证：是的切线； （2）当D是的中点时，，求的长． 23. 直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B． （1）直接写出c的值： ； （2）当时，抛物线有最小值，求a的值； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $