函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 考点目录 恒成立求参数问题：参变分离 恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 利用导数证明不等式恒成立 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题：参变分离 【知识点解析】 1.与不等式恒成立问题有关的结论 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. （3）,均有恒成立,令，则. （4）,均有恒成立, 令，则. （5）, ,均有恒成立,则. （6）, ,均有恒成立,则. 2.通过分离参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式，，参变分离得，令，讨论的最值即可. 3.使用参变分离的要求 （1）参数与变量可以比较容易地分离开． （2）分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易． （3）分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 令，则， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 例2．（25-26高三上·四川·月考）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 例3．（24-25高二下·福建福州·月考）已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，不等式可变形为． 设，则． 当时，，所以函数在上单调递增． 则，所以．故正实数的取值范围是． 故答案为： 例4．（24-25高三上·湖北省直辖县级单位·月考）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】，，令，，求导得：， 当时，当时，，即函数在上递减，在上递增， 因此当时，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 例5．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 例6．（2025·吉林白山·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 因此，而， 故所求切线方程为，即； （2）依题意，，故对任意恒成立. 令，则， 令，解得. 故当时，单调递增； 当时，单调递减， 则当时，取到极大值，也是最大值2. 故实数的取值范围为. 例7．（24-25高二下·陕西宝鸡·月考）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，有， 所以，有， 令，所以，有， 令，求导得， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围是. 故选：D. 变式2．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是增函数，所以在恒成立， 即，令，即， 所以，令得， 由得，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即， 故选：D. 变式3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由在定义域上恒成立，即在上恒成立， ，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，即， ，即的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（24-25高二下·陕西渭南·期中）已知不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式恒成立，可得对恒成立， 所以， 令，求导得， 当时，，所以在上为减函数， 当时，，所以在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·吉林延边·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【详解】（1）. 若，则，故在R上单调递增； 若，令，得. ，， 则在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：若，在R上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题，恒成立. 令，则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 又注意到时，，，则. 故. 变式6．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 考点二 恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 【知识点解析】 1.构造函数求参数范围的步骤 （1）构造辅助函数 形如不等式恒成立，求参数的范围，可构造辅助函数. 此时恒成立转化为恒成立求参数范围. （2）求导分析单调性：分类讨论含参的函数的单调性. （3）寻找函数最值：根据函数的单调性，求出符合题目要求的最值点. （4）结论转化 将回代，恒成立转化为恒成立，解不等式得参数范围 【例题分析】 例1．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 例2．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 例3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调减区间是，单调增区间是和； (2) 【详解】（1）当时， ，， ， 由，可得或， 由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； （2）解法1：由恒成立，可得：对，， 即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 变式2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 变式3．（24-25高二下·北京房山·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 考点三 利用导数证明不等式恒成立 【知识点解析】 1.核心原理 （1）若函数在定义域上的最小值，则在上恒成立. （2）若函数在定义域上的最大值，则在上恒成立. 2.构造单函数法证明不等式恒成立的步骤 证明（或）在上恒成立 步骤 1：移项构造目标函数 将不等式所有项移到一侧，构造形如的函数，使原不等式等价于（或）恒成立 步骤 2：确定函数定义域 定义域由原不等式的自变量范围决定（如对数、分式的定义域限制）. 步骤 3：求导分析单调性 步骤 4：求函数的最值（核心） 步骤 5：结合最值证不等式 【例题分析】 例1．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) (3)证明见详解 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，恒成立，即， 令，， 所以在单调递增，单调递减， ，. （3）证明：由（2）知， 要证，即证， 等价于， 又，所以， 令，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 即， 即， 故成立. 例2．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知函数. (1)求的单调区间和极值； (2)证明：. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为，极大值-1，无极小值 (2)证明见解析 【详解】（1）， 令，解得，令，解得， 故在的单调增区间为，单调减区间为 由此可得在处取得极大值，无极小值 （2）要证明，只需证明，即证明 令，则， 令，得，且当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取最大值，即， 所以，故. 例3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. （3）当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·江苏南通·月考）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若时，，求的取值范围； (3)对于任意的且，证明： 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 显然时，，此时在上单调递增， 时，，此时在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意知， 若，此时在定义域上单调递减， 即，不符合题意， 若，则，易知时，，此时单调递减， 则，不符合题意， 若，则，时，，此时单调递增， 所以，符合题意， 综上， （3）由（1）、（2）可知， 所以， 即， 所以， 累加得，证毕. 变式2．（24-25高二下·河南·月考）若. (1)求函数的单调区间与极值； (2)证明：恒成立； 【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【详解】（1）， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，极大值为 所以的单调增区间为，单调减区间为， 极大值为，无极小值； （2）令， ， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以恒成立，即恒成立. 变式3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数 ， (1)求函数的单调区间. (2)若 对任意 成立，求正实数的取值范围. (3)证明: 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) (3)证明见解析 【详解】（1），，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. （3）因为，所以 等价于 . 由（1）知， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 对恒成立， 即. 考点四 能成立求参数问题 【知识点解析】 1.与不等式能成立问题有关的结论 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. 2. 通用解题步骤 无论含参数的位置是在函数中还是不等式一侧，均遵循以下步骤，步骤 1 的 “移项 / 分离参数” 是关键，分两种处理方法（优先选分离参数法，更简洁；无法分离时用构造含参函数法）。 方法1:分离参数法（优先使用，无分类讨论烦恼） 适用于:能将不等式变形为、、、的形式（参数单独在一侧，另一侧为仅含的函数）. 步骤1：移项分离参数，将能成立不等式转化为、、、的形式. 步骤2：构造函，确定其定义域; 步骤3：用导数分析的单调性、极值，求在上的最大值/最小值(根据等价转化需求); 步骤4：根据基础模型，建立参数的不等关系，求解即可。 方法2:构造含参函数法（无法分离参数时用） 适用于：参数与紧密结合，无法将参数单独分离到一侧. 步骤1：移项构造含参函数，使能成立不等式等价于，使得. 步骤2：将看作关于x的函数(参数a为常数)，用导数分析的单调性、极值，进而确定最值. 步骤3：根据基础模型，建立含参数a的不等式. 【例题分析】 例1．（24-25高三上·广西玉林·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，，使得. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，， 当时，恒有，函数在上单调递减； 当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增； 当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值， 于是当时，，使得成立，当且仅当时，成立， 即当时，成立，令函数，求导得， 令，求导得， 于是函数，即在上单调递增，， 因此函数在上单调递增，，即当时，成立， 所以当时，，使得. 例2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：当时，，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）易知，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在处取得最小值， 若，使得，只需， 令，由， 可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，， 所以，，使得． 例3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知（其中e为自然对数的底数，） (1)求的单调区间； (2)若存在实数，使能成立，求正数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【详解】（1）的定义域是，则， 当时，，递减区间为； 当时，令得：，令得：， 故递增区间为，递减区间为； （2）由题设，结合（1）知， 若上存在实数x，使能成立，则． 令，则， 当时，当时． ∴在上为减函数，在上为增函数， 而上，，． ∴实数a的取值范围是． 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·山西吕梁·月考）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为在上有解，所以在上有解， 当时，在上有解， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，故， 则当时，，即． 所以，当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是． 变式2．（24-25高三上·江苏苏州·月考）已知函数，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则 令，得或，列表如下： x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ，. （2）解：由题意可得， 由（1）可知在单调递减， ∴，∴在有解，， 令，，令， 单调递增 极大值 单调递减 所以，. 变式3．（24-25高三上·福建福州·月考）已知函数. (1)当a = 2时，求在上的最值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上的最大值为，最小值为. (2) 【详解】（1） 令， 在单调递增；在单调递减， 所以在上单调递减， 在上，， 在上，. （2）因为，使得， 所以， 令， 即， 因为， 设， 所以在单调递减，又， 则当，当， 故函数在单调递增，单调递减， 的最大值为 所以，， 即实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 考点目录 恒成立求参数问题：参变分离 恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 利用导数证明不等式恒成立 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题：参变分离 【知识点解析】 1.与不等式恒成立问题有关的结论 (1)xeD,均有f(x)>A恒成立，则f(x)mm>A (2)xeD,均有f(x<A恒成立，则f(x)mx<A. (3)xeD,均有f(x>gx恒成立，令h(x)=f(x)-gx,则h(xmn>0. (4)xeD,均有f(x<gx)恒成立，令h(x)=fx)-g(x),则h(xmx<0. (5)x∈D,x2eE,均有f(x)>gx)恒成立，则f(xmm>g(xmx (6)x∈D,x2∈E,均有f(x)<g(x)恒成立，则f(xmx<gx)nmin· 2.通过分离参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式a·f)-8(x)>0,(f)>0),参变分离得a>8四，令)=8四 讨论h(x)的最值即可. f(x) f(x) 3.使用参变分离的要求 (1)参数与变量可以比较容易地分离开. (2)分离参数后得到的函数(x)的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易. (3)分离参数后得到的函数(x)的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形. 1 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 【例题分析】 例1.(25-26高三上山东月考)若对任意的x>1,不等式x-ln。≥0恒成立，则实数m的取值范围是() A.e,+oo) B.2e,+) 例2.(25-26高三上~四川月考)已知不等式ae‘≤sinx在区间 4上恒成立，则实数a的取值范围为() A. e引 -0,2 -0,2e D. 5 例3.(24-25高二下·福建福州月考)已知不等式ax≤2x+1e对任意x∈1，+o)恒成立，则正实数a的取值范围 是 例4.(24-25高三上·湖北省直辖县级单位·月考)若不等式e-≥0（其中e是自然对数的底数）对Vx>0恒成立， 则实数k的取值范围为 例5.(24-25高二下广东东莞月考)已知函数f(x)=lnx-a (1)当a=-1时，求fx)的极值： (2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围： 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 例6.(2025·吉林白山模拟预测)己知函数fx=2lnx-mx+2 (I)若m=3,求曲线y=∫x在x=1处的切线方程； (2)若x∈(0，+oo),fx)≤0，求实数m的取值范围. 例7.(24-25高二下·陕西宝鸡·月考)已知函数f(x)=lnx+ax+2(a<0),若f(x)的最大值为2. (1)求a的值； (2)若f(x)≤bx在[1，+∞)上恒成立，求b的取值范围， 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上重庆南岸月考)已知x∈(0，+o),有lnx-a√x+1≤0，则a的取值范围是(） c. n[ 变式2.(24-25高二下广东广州期中)已知函数∫(x)=ax2-xlnx+x单调递增，则a的取值范围是() 「11 A.（-o,-e B. 「11 C 4e'3e 3e'2e D. 变式3.(25-26高三上·上海期中)已知函数∫x)=ax-l血r,若f(x>0在定义域上恒成立，则a的取值范围 是 变式4.(24-25高二下·陕西渭南·期中)己知不等式e*-a≥x恒成立，则a的取值范围是 变式5.(25-26高三上·吉林延边·月考)己知函数f(x)=a+xa∈R) (I)讨论∫x)的单调性： (2)若f(x≤2x2+4x恒成立，求a的取值范围. 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 变式6.(2025·安徽蚌埠：模拟预测)已知函数fx)=ln(a)+,其中a>0. (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)若f(x)≥lna恒成立，求a的取值范围. 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 考点二 恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 【知识点解析】 1.构造函数求参数范围的步骤 (1)构造辅助函数 形如不等式a·f(x)>g(x)恒成立，求参数a的范围，可构造辅助函数h(x)=a·f(x)-g(x). 此时a·f(x)>g(x)恒成立转化为h(x)mn>0恒成立求参数范围. (2)求导分析单调性：分类讨论含参的函数h(x的单调性 (3)寻找函数最值：根据函数h(x的单调性，求出符合题目要求的最值点x (4)结论转化 将回代，h(x)m>0恒成立转化为hx)>0恒成立，解不等式得参数范围 【例题分析】 例1.(2026湖南永州一模)已知函数f(x)=ax2-lnx,a∈R. (1)讨论∫(x)的单调区间； (2)若a>0,且当x∈(0,1]时，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 6 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 例2.2025贵州毕节恢拟预测)已知函数f=r+(2a-lx-2ara>0。 ①)当a=，时，求曲线y=f(x在点(2，f(2)处的切线方程： ②老f≥号-3相成立，求4的取值范用。 例3.(24-25高二下·江苏常州期中)己知函数f(x)=lnx+x2-ax(aeR). (I)当a=3时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x≤x2-1恒成立，求实数a的取值范围. 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高三上辽宁朝阳月考)已知函数f(x)=x-1-alnx,aeR. (I)a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的值， 变式2.(24-25高三上河北邯郸月考)已知函数fx=lnx-ax2. (1)当a=1时，求f(x)的图象在点(1，f(I)处的切线方程： (2)若Vxe(0,+o),f(x<0时，求实数a的取值范围. 8 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 变式3.2425商=下北家房月考)已知函数f八-x-2列e-ar2+a(acR (I)当a=0时，求曲线y=∫(x)在x=0处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间； (3)若对于任意的x∈[2，+0），有f(x)≥0，求a的取值范围。 函数与导数：利用导数研究恒成立与能成立问题4类高频考点讲义 考点三 利用导数证明不等式恒成立 【知识点解析】 1.核心原理 (1)若函数在定义域D上的最小值f(xmn≥0，则f(x)≥0在D上恒成立. (2)若函数在定义域D上的最大值f(xmx≤0，则f(x≤0在D上恒成立. 2.构造单函数法证明不等式恒成立的步骤 证明f(x≥gx)(或f(x)≤gx))在D上恒成立 步骤1：移项构造目标函数 将不等式所有项移到一侧，构造形如h(x=f(x)-g(x)的函数，使原不等式等价于h(x)≥0（或h(x)≤0） 恒成立 步骤2：确定函数定义域 定义域由原不等式的自变量范围决定（如对数、分式的定义域限制）， 步骤3：求导分析单调性 步骤4：求函数的最值（核心) 步骤5：结合最值证不等式 【例题分析】 例1.(24-25高二下.四川广元期末)己知函数f(x)=xnx-x2. (1)求函数∫'(x)的单调区间； (2)若f(x≤mx恒成立，求实数m的取值范围； 同还暖：小+月 10