5.3.1 第2课时 函数单调性的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　函数单调性的应用 1.已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（　　） A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，函数y＝f'（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1的解集是（　　） A.（－3，－2）∪（2，3） B.（－，） C.（2，3） D.（－∞，－）∪（，＋∞） 4.已知定义在R上的函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（　　） A.f'（x）＞0，g'（x）＞0 B.f'（x）＞0，g'（x）＜0 C.f'（x）＜0，g'（x）＞0 D.f'（x）＜0，g'（x）＜0 5.已知函数f（x）＝，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（　　） A.f（）＜f（x）＜[f（x）]2 B.f（x）＜f（）＜[f（x）]2 C.[f（x）]2＜f（）＜f（x） D.[f（x）]2＜f（x）＜f（） 6.〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e） C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e） 7.〔多选〕若函数f（x）＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 8.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是　　　　. 9.已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围为　　　　. 10.若a＞0，试讨论f（x）＝aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性. 11.若函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（　　） A.　　　　B. C. D. 12.函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（　　） A.a＜ B.0＜a＜ C.a＜0或0＜a＜ D.a＜0 13.已知函数f（x）＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为　　　　. 14.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）. （1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围. 15.（2025·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行. （1）求a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　函数单调性的应用 1.A　2.A　3.A　4.B　 5.A　由题意得f'（x）＝，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以[f（x）]2＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜[f（x）]2. 6.ABD　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）. 7.AC　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可得A、C正确. 8.（a，a＋1）　解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）·x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）. 9.（1，e）　解析：f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）. 10.解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝. 当0＜a＜时，由f'（x）＞0可得0＜x＜a或x＞；由f'（x）＜0可得a＜x＜， 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，a），，单调递减区间为； 当a＝时，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）； 当a＞时，由f'（x）＞0可得0＜x＜或x＞a；由f'（x）＜0可得＜x＜a，所以函数f（x）的单调递增区间为，（a，＋∞），单调递减区间为. 11.C　函数f（x）＝ln x＋ax2－2的定义域是（0，＋∞），所以f'（x）＝＋2ax＝.当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.当a＜0时，由2ax2＋1＝0，得x＝（负根舍去），所以当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.依题意，函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，所以1＜，解得－＜a＜0.综上，a＞－.故选C. 12.A　由f（x）＝ax3＋x2＋5x－1，得f'（x）＝3ax2＋2x＋5，当a＝0时，由f'（x）＝0，解得x＝－，函数f（x）有两个单调区间；当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间.综上所述，a＜0或0＜a＜是函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a＜是其必要不充分条件. 13.（－∞，－4）∪（1，＋∞） 解析：f（－x）＝－2sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cos x－（ex＋e－x），∵2cos x≤2，ex＋e－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4. 14.解：（1）当a＝－时， f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1）， 则f'（x）＝－x＋ ＝－（x＞－1）. 令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1. 故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）. （2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立. 令g（x）＝－，x∈[1，＋∞）， 易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增， 因此g（x）min＝g（1）＝－， 故a≤－. 即实数a的取值范围是. 15.解：（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f'（1）＝2， 又f'（x）＝ln x＋＋1， 所以a＋1＝2， 解得a＝1. （2）存在.理由如下： 设h（x）＝f（x）－g（x） ＝（x＋1）ln x－， 当x∈（0，1]时，h（x）＜0， 又h（2）＝3ln 2－＝ln 8－＞0， 所以存在x0∈（1，2），使得h（x0）＝0. 因为h'（x）＝ln x＋＋1＋， 当x∈（1，2）时，h'（x）＞2－＞0， 当x∈[2，＋∞）时，h'（x）＞0， 所以当x∈（1，＋∞）时，h（x）单调递增. 所以当k＝1时，方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根. 学科网（北京）股份有限公司 $