三角恒等变换复习讲义-2026届高三数学二轮复习讲义

三角函数：三角恒等变换复习讲义 三角函数：三角恒等变换复习讲义 考点目录 和差公式及其应用 倍角公式及其应用 辅助角公式及其应用 积化和差与和差化积公式及其应用 给角求值、给值求值与给值求角问题 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 知识点解析 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 sina+β）=sina cosβ+cosa sinβ sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B 余弦 cosa+β)=cosa cosβ-sin a sin B cosa-B)=cosa cosβ+sina sinβ 正切 tana+tan B tana-tan B tana+B）= tana+β)= 1-tangtanβ 1+tano.tanβ 2.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 sin 2a =2sina cosa 余弦 cos 2a cos2 a-sin2a 2 cos2 a -1=1-2 sin2 a 正切 2tano tan 2a 1-tan2a 1 ①sina cosa=-sin2a. 2 变形 ②sin'a=-cos2a 2 =1-c0s20 (降幂公式) ③c0s2a=1+c0s2a 2 =1-sin2a. 三角函数：三角恒等变换复习讲义 3.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 sin 3a =3sin a-4sin3 a 余弦 cos3a =4 cos'a-3cosa 正切 3tana-tan'a tan 3 1-3tan2a 4.积化和差公式与和差化积公式（拓展） 积化和差 和差化积 sina.sinβ= sin(a+β)+sin(a-B) sina+sinβ=2sin a+B a-B 2 cos 2 、2 cosa.sin B=s in(a+β)-sin(a-β) sa-mB=2am生2m2 a+B 2 cosa·cosB= cos(a+B)+cos(a-B) cosu+cosβ=2cos sina.sin B= osa-B)-cosa+B)】 a+B sin a-B 2 cosa-cos B=-2sin 2 2 5.三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时， 要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同 或具有某种关系. (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函 数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围. 2 三角函数：三角恒等变换复习讲义 6.常见的配凑角技巧 所谓配凑角技巧，即整体思想，可将一个代数式视为整体，再利用对应公式进行化简： (1)如题目给出T+a和下-&，可利用 Ita+I- 一-0 再利用诱导公式进行化简， 3 6 3 /6 (2)如题月给出号+a,求a,可利用Q 再利用和差公式进行化简： (3)如题目给出a+B,求2a+2B,可利用2a+2B=2(a+B),再利用倍角公式进行化简. 凡此种种，当题目给出一个或多个复杂角度的三角函数值，可利用已知角度与目标所求角度的关系（主要利用消元 的思想找到此关系)，利用整体思想进行化简求值. 7.辅助角公式（合一公式） asinox+bcosox=a2+b2 sin(ox+). b b 其中sinp= COS(=- tan=- Va2+b2 a2+b2 a ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次” ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.sinx·cosx= six,sinco co+cosx 2 2 ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数。 8.核心万能公式 三角函数 万能公式（设t=tan 2 适用条件 2t sina sina=1+r a≠π+2kπ，k∈Z cosa 1-2 cosa= a≠π+2kπ，k∈Z 1+2 2t tana tana=- 1-2 a≠T+k红且a≠元+2kr,k∈Z 2 三角函数：三角恒等变换复习讲义 9.万能公式的通用步骤： (I)判断适用条件：检查a是否满足公式的定义域（避免tan%无意义或分母为0： 2 (2)设置换变量：令t=tang,将sina、cosa、tanu全部替换为含t的有理式， (3)化简/计算：将原三角函数表达式转化为关于t的代数表达式，通过通分、因式分解、解方程等代数方法求 解 (4)回代验证：若需要求原角a&或三角函数值，根据t=ta%回代，注意角的范围对三角函数符号的影响 真题速递 1.(2025·全国二卷高考真题)已知0<u<π，cos a 5 2 则sma-到=) A.② B.2 C. 32 D, 72 10 5 10 10 【答案】D 【详解】cowa=2os号-12x 5 因为0ca<,则受<a<,则sina=-eosa 哥 4 故选：D 2.(2024新课标I卷高考真题)已知cos(a+B)=m,tana tan B=2,则cos(a-β)=() A.-3m B C.m D.3m 3 【答案】A 【详解】因为cosa+B）=m,所以cosa cos B-sina sin B=m, 而tana tanβ=2，所以sina sin B=2 cosa cosβ， 故cosa cos B-2 cosa cos B=m即cos a cos阝=-m, 从而sina sinβ=-2m,故cosa-β)=-3m, 故选：A 三角函数：三角恒等变换复习讲义 3.(2024全国甲卷高考真题)已知 cosa =V5,则tana+ =() cosa-sina 4 A.2W5+1 B.2√5-1 C. 3 2 D.1-5 【答案】B 【详解】因为 cosa =5, cosa-sina 所以 1=3,台tanu=1-3 1-tana 3 听以tana+亚= tana+ =25-1, 1-tan a 故选：B 4.(2024全国甲卷高考真题)函数f(x=sinx-V5cosx在[0，π上的最大值是 【答案】2 【详1=m-5oxm-引当0到时[， 当x音-时、即-要时，f2 故答案为：2 5.(2024新课标Ⅱ卷高考真题)己知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tana tan B=√2+1， 则sin(a+B)= 【答案】-2 3 tana+tan B 【详解】法-一：由题意待ana+)=an&anP-+ 4 =-22, 因为ae in.)s2mst.2m)hmez. 则a+B∈(2m+2k)π+元，(2m+2k)π+2π，k,m∈Z, 又因为tan(a+B)=-2√2<0， 则a+B∈（2m+2刻+经2m+2x+2,km∈Z,则sina+<0, 0la+A=-22,联立sma+B例+os2a+)=l,解得nla+B1=-25 则 cos(a+B) 3 法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，则cosa>0,cosB<0, cosa 1 cosβ -1 cosa COSB=- sin2a cos2a 1+tan2a sin2B+cos2 B 1+tan2 B 三角函数：三角恒等变换复习讲义 则sin(a+β)=sin a cos B+cosa sinβ=cosa cosβ(tana+tanβ) -4 -4 -422 =4cosa cos B= 1+tan'a 1+tan2B (tan a+tan B)2+(tan a tan B-1)+2 3 故答案为： 22 3 6 三角函数：三角恒等变换复习讲义 考点一 和差公式及其应用 【例题分析】 例1.(25-26高三上-四川广安月考)+a15° 1-anl5的值为() A. 3 B.2+5 C.5 D.2-√5 【答案】C tan45°+tanl5o 【详解】 1+tan15 1-tan15 1-tan15.tan45=tan(45+15)=tan609= 故选：C 例2.，2526高下重肤沙现开学考试)已知cosa cos(a-2p,则ana-BanB=( A.14 B.14 1 C. D.-14 14 【答案】A 【详解】因为cosa= coa-29=片则 cos(a-B-B)-cos(a-B)cosB+sin(a-B)sin B-12 , cosa=cos(-B+B)-cos(a-B)cosB-sin(a-B)sinB-4 ’ 2cos(a-B)cosB-112 两式相加减，得到 8”，解得 65 cos(a-B)cosB=56 5 2sin(a-B)sin B=- sin(a-B)sin B=- 4 65 65 sin(a-β)sinp1 则tan(a-B)tanB= cos(a-B)cos B 14 故选：A 1 例3.(25-26高一上·上海期末)已知o,B都是第二象限角，且tana=m,tanB=二，则sin(a+B)= 【答案】-1 【详解】由题知，tanctanp=l,即sinasin-l, cosacosB 即cos(a+β)=cosacos/β-sinasinβ=0， 注意到+2k<u<元+2k,k∈Z:元+2kπ<B<π+2k元，k∈Z,则π+2k+k)元<a+B<2π+2(k+k)元，k+k∈Z, 2 结合cosa+p-0,则a+B=+2k+6x+6eZ 三角函数：三角恒等变换复习讲义 故sin(a+B)=sin 3π+2(k+k)元 =sin3=-1 2 故答案为：-1 例4.a26商三上辽宁大连月考》已知a∈0引Be任小cmsB=a+)=45,则a的值 6 为 【答案】平45 【详解】因为Be行cosB=,所以s如B=-eosP- 3 因为uo引p传所以a+B后 又因为sa+p)=4,5,所以oa+=-小-a+.-4 6 6 sina sin(a+B-B)=sin(a+B)cos B-cos(a+B)sinB, 即sina= 答案： 4 【变式训练】 式1.2526高三下甘肃白银：月设a,B0若知0-snA产2，则os0+p cosa-cos B A.5 4 B5 C. 3 4 5 D.-5 【答案】A 【详解】解法一：因为a=a+B+a二B,B-a+B_a=里， 2 2 2 21 所以sina=sin a+B.a-B oscosinB 22 =sin a+B 2 2 2 2 sin B=sin a+B-B」 si,P-os-B -cos- -sin- 22 2 2 2 2 cosa cos atp,a-B a-B COS- n a-B 22 =cosa+B -sin+ -sin- 2 2 2 2 cos B=cos aBa-cosapcosa-Bsinasina -cos- 22 2 2 2 2 代入化简得sina-sinB。 S2Psina-B 2cos+B cosa-cos B 2sin a+Bsin a 2 n“+B=-2,故ana+B-1 22 2 2 2 三角函数：三角恒等变换复习讲义 则cos20+B cos2a+B 2 1 4 2 sin2a+B +cos2a+B tan2a+B+l5’ 2 2 2 3 所以cosa+B=2cos20+B1=} 2 解法二：由题意，得sina-sinB=-2cosa+2cosB,cosa≠cosB, 所以sina+2cosa=sinB+2cosB, 5.sing=2 1 设f(x)=sinx+2cosx=V5sin(x+p),其中cosp=- （2 由fa=f,a≠，aBco引 得a+p+B+p=π， 所以cos(a+B)=c0s(π-29)=-c0s20=2sin'0-1=3 5 故选：A 变式2.(25-26高一上云南曲靖期末)cos50tan170°+V3=() A.√3 B.1 c.3 2 D.6 6 【答案】B 【详解】c0s50(an170+5)=cos50W5-an10）=c0s50.5cos10°-sin10°_2sin50c0s50 cos10° cos10° sin100°_cos10 cos10° c0s10 =1 故选：B 变式3.Q526高三上云南昆明月考)若sma+们-子sne-B)一则n的值是 1 【答1品 【详钢】因为sna+-子，sna-刷-写 1 2 1 所以si+=行，sin cos-osinB= 2.1 两式相加得2 sina cos B= 3+5'故snB=13 30 故答案为： 13 0 变式4.(25-26高三上河北秦皇岛·月考)已知sina= smp=号则snla+lsna-p- 【谷】6 0 三角函数：三角恒等变换复习讲义 【详解】由已知可得sin(a+β)sin(a-B)=(sina cosB+cosa sin B)(sina cosB-cosa sinβ) =sin2a cos2B-cos2a sin2B=sin2a(1-sin2B)-(1-sin2a)sin2B sin2a-sin2B --6 故等案为：8 10三角函数：三角恒等变换复习讲义 三角函数：三角恒等变换复习讲义 考点目录 和差公式及其应用 倍角公式及其应用 辅助角公式及其应用 积化和差与和差化积公式及其应用 给角求值、给值求值与给值求角问题 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 知识点解析 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 2.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 （降幂公式） ①. ②. ③. 3.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 余弦 正切 4.积化和差公式与和差化积公式（拓展） 积化和差 和差化积 5.三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6.常见的配凑角技巧 所谓配凑角技巧，即整体思想，可将一个代数式视为整体，再利用对应公式进行化简： （1）如题目给出和，可利用，再利用诱导公式进行化简. （2）如题目给出，求，可利用，再利用和差公式进行化简. （3）如题目给出，求，可利用，再利用倍角公式进行化简. 凡此种种，当题目给出一个或多个复杂角度的三角函数值，可利用已知角度与目标所求角度的关系（主要利用消元的思想找到此关系），利用整体思想进行化简求值. 7. 辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 8.核心万能公式 三角函数 万能公式（设） 适用条件 且 9.万能公式的通用步骤： （1）判断适用条件：检查是否满足公式的定义域（避免无意义或分母为0）； （2）设置换变量：令，将、、全部替换为含的有理式； （3）化简 / 计算：将原三角函数表达式转化为关于t的代数表达式，通过通分、因式分解、解方程等代数方法求解； （4）回代验证：若需要求原角或三角函数值，根据回代，注意角的范围对三角函数符号的影响. 真题速递 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 考点一 和差公式及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高三上·四川广安·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，则（   ） A． B．14 C． D． 例3．（25-26高一上·上海·期末）已知都是第二象限角，且，则 ． 例4．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知，，，，则的值为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·甘肃白银·月考）设，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（   ） A． B．1 C． D． 变式3．（25-26高三上·云南昆明·月考）若，，则的值是 ． 变式4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知 ， 则 考点二 倍角公式及其应用 【例题分析】 例1．（24-25高一下·四川广安·月考）已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 例2．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·上海宝山·月考）若，则 ． 例4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则 . 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式2．（2025·四川自贡·一模）若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 变式3．（25-26高三上·浙江·期末）已知，则 . 变式4．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知且，则 ． 考点三 辅助角公式及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 例2．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·安徽合肥·月考）（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）函数图像的对称轴方程为 ． 变式2．（25-26高三上·广西南宁·月考）函数的最大值是 ． 变式3．（25-26高一上·湖南常德·期末）设当时，函数取得最大值，则 . 变式4．（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为 ． 考点四 积化和差与和差化积公式及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·四川成都·月考）可化简为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南株洲·月考）化简： ． 例4．（25-26高三上·山西运城·月考） . 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河南南阳·月考）下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东汕头·月考）的值为 . 变式4．（25-26高三上·福建福州·月考）计算： . 考点五 给角求值、给值求值与给值求角问题 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一下·上海宝山·月考）若，则 ． 例5．（25-26高三上·江苏南京·月考）若，则 ． 例6．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知，且，则 ，则 ． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知，则 ． ． 变式5．（25-26高一上·安徽六安·期末）若，，并且，，且，则的值为 . 变式6．（25-26高一上·广西河池·期末）的值为 . 考点六 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 【例题分析】 例1．（24-25高一下·江苏盐城·期末·多选）在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 例2．（25-26高三上·贵州遵义·月考·多选）已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·江西景德镇·期末·多选）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖北荆州·期末·多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北·月考·多选）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·四川德阳·月考·多选）下列关于三角恒等变换正确的有（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $