精品解析：江苏苏州市苏州园区星港学校2024-2025学年上学期八年级数学5月学情自测试题

八年级数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 2. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好是白球是不可能事件 B. 恰好是黑球是随机事件 C. 恰好是红球是必然事件 D. 恰好是红球是不可能事件 3. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 4. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，，，点B在反比例函数图象上，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 3 B. -6 C. D. -12 8. 如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若分式的值为0，则的值为_____． 10. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有50名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是_________． 11. 已知，则值等于______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 13. 如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 14. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________． 16. 如图，在矩形中，，点E是射线上一动点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点G，当时，线段的长为_____． 三、解答题（共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根大于1，求k的取值范围． 20. 某校为了了解七年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（A：39.5—46.5；B：46.5—53.5；C：53.5—60.5；D：60.5—67.5：E：67.5—74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）这次随机抽取了________名学生调查，并补全频数分布直方图． （2）在抽取调查的若干名学生中体重在_____组的人数最多． （3）请你估计该校七年级体重超过的学生大约有多少名? 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． （1）在图中第一象限内画出符合要求（不要求写画法）； （2）计算的面积． 22. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 23. 如图，是等边三角形，点D，E分别在，上，且，、相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 24. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． （1）当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； （2）过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． （3）如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，延长线交边于点F．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据抽样调查和全面调查的特点即可判断求解，掌握抽样调查和全面调查的特点是解题的关键． 【详解】解：为了解某小区居民天然气安全情况，应选择全面调查，故选项符合题意； 为了解全国初中生每周做家务的时间，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，应选择全面调查，故选项不符合题意； 为了解一批节能灯的使用寿命，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 故选：． 2. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好是白球是不可能事件 B. 恰好是黑球是随机事件 C. 恰好是红球是必然事件 D. 恰好是红球是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意； B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意； C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意； D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则． 【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍， ∴； 分式值是原式的，即缩小2倍； 故选C． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：． 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 7. 如图所示，在中，，，点B在反比例函数的图象上，若点A在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 3 B. -6 C. D. -12 【答案】B 【解析】 【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，根据勾股定理求出OA与OB的关系，然后利用相似三角形的判定与性质求出△OAC的面积，进而可求出k的值． 【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D， ∵OA2=AB2-OB2，， ∴OA2=3OB2， ∴OA2:OB2=3:1， ∵∠CAO+∠AOC=90°，∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠CAO=∠BOD ∵∠ACO=∠BDO， ∴△ACO∽△OBD， ∴S△ACO:S△OBD= OA2:OB2=3:1， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴S△OBD=1， ∴S△ACO=3， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k的值为-6． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于． 8. 如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点E，则，可得是等腰直角三角形，，再由勾股定理可得，再证明，可得，设，则，可得，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得到是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 10. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有50名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是_________． 【答案】15 【解析】 【分析】用频率乘以总数即可解答． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了频数的计算，掌握频数的计算公式是解题的关键． 11. 已知，则值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分得到，再结合已知即可求出结果． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，先把代入方程得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵x的一元二次方程的一个解是， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：5． 13. 如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 14. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可． 【详解】解：根据题意， ∵点称为点的“倒数点”， ∴，， ∴点B不可能在坐标轴上； ∵点A在函数的图像上， 设点A为，则点B为， ∵点C为， ∴， ①当点B在边DE上时； 点A与点B都在边DE上， ∴点A与点B的纵坐标相同， 即，解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴点B为， ∴的面积为：； ②当点B在边CD上时； 点B与点C的横坐标相同， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴点B为， ∴的面积为：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析． 16. 如图，在矩形中，，点E是射线上一动点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点G，当时，线段的长为_____． 【答案】或8 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，情形①如图当点E在线段上时，设交于K．情形②如图当点E在线段的延长线上时，设交于K．分别求解即可解决问题； 【详解】解：情形①如图当点E在线段上时，设交于K． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 情形②如图当点E在线段的延长线上时，设交于K． ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为或8． 三、解答题（共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元二次方程： （1）方程两边同乘以得整式方程，解这个整式方程，并检验即可； （2）方程运用配方法求解即可 【小问1详解】 解： 方程两边同乘以，得：， 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴ 18. 先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据一元二次方程的解的定义得出，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵a是关于x的方程的根， ∴ ∴ ∴原式 19. 已知关于x一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根大于1，求k取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值，利用非负数的性质判断，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【小问1详解】 证明：， ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 方程有一个根大于1， ，解得：， 的取值范围为 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程以及解不等式． 20. 某校为了了解七年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（A：39.5—46.5；B：46.5—53.5；C：53.5—60.5；D：60.5—67.5：E：67.5—74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）这次随机抽取了________名学生调查，并补全频数分布直方图． （2）在抽取调查的若干名学生中体重在_____组的人数最多． （3）请你估计该校七年级体重超过的学生大约有多少名? 【答案】（1）图见解析（2）C（3）360 【解析】 【分析】(1)根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可， (2)由图表得出C组学生的频率即可得到结果， (3)根据样本进行估算总体即可． 【详解】解：解:（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50， B组的频数=50-4-16-10-8=12， 补全频数分布直方图，如图： 故答案为：50， (2)在抽取调查的若干名学生中体重在C组的人数最多， 故答案为：C， （3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人， 估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有×1000=360人． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图分析，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量，频数，频率之间关系． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． （1）在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； （2）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 的面积为 22. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【答案】桥AF的长度为80米． 【解析】 【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长． 【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DEBC， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴AFEG， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即， 解得AF=80， ∴桥AF的长度为80米． 【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 23. 如图，是等边三角形，点D，E分别在，上，且，、相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，然后利用可证明； （2）由（1）可得，然后可得，最后问题可求证； （3）由（1）可得，再证明，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 24. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． （1）当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； （2）过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． （3）如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 【答案】（1）在； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①当时，，该点为：，，则点，关于直线的对称点坐标为：，，即可求解； ②当时，关于的对称点的值为6，则，则，即可求解； （2）当时，则，解得：，即点，即，则，进而求解； （3）联立方程当△，则，此时两个函数只有一个交点，当直线过点关于直线的对称点时，该直线和题目中的图形只有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，即， 则，则点，， 当时，，该点为：，， 则点，关于直线的对称点坐标为：，， 故点在“的镜像”， 故答案为：在； ②当时，关于的对称点的值为6， 则，则， 则“的镜像”与轴交点坐标为：，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 当时，则， 解得：，即点， 即， 点把线段划分成的两部分， 则（不成立，舍去）， 即点的横坐标为：，则点， 当时，， 即点关于的对应点的纵坐标为：2， 即， 由点、纵坐标得到， 即； 【小问3详解】 联立和并整理得：， 当，则， 此时两个函数只有一个交点，设该点为点， 把代入并解得：， 则点，， 如图，求点关于直线的对称点， 则当直线过点时，该直线和题目中的图形只有一个交点， 由图形的对称性知，为等腰直角三角形， 当，则， 则点，，则， 则点的坐标为：，， 将点的坐标代入得：， 解得：， 故符合题设条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到点的对称性、新定义、图形的翻折等，理解新定义是解题的关键． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明，则； （3）过点A作，延长交于点G，首先根据，可得，则，再由（2）同理得，得，进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $