精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区景城学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

2023–2024景城学校初二年级10月份月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3. 如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A. 直线被线段垂直平分 B. 线段被直线垂直平分 C. 直线经过线段中点，但不垂直 D. 直线与线段垂直，但不经过线段中点 4. 直角三角形两条直角边的长分别为6、8，斜边的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 5. 在联欢会上，有三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 6. 如图，中，为上一点，且，设，，则图中的与的关系为（　　） A. B. C. D. 7. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. D. a：b：c＝4：4：6 8. 如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上．若正方形的边长为，则正六边形的边长为( ) A. B. C. D. 10. 已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 点P在线段AB的垂直平分线上，PA10，则PB=______． 12. 一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码______． 13. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，则__________． 14. 如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影面积为___． 15. 若一个等腰三角形的两边长分别为6和10，则这个三角形的周长____________． 16. 如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有__________种． 17. 如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．若的周长为，的周长为，则点O、A之间的距离为________． 18. 如图，长方形ABCD中，，，点P是射线AD上一点，将沿BP折叠得到，点恰好落在BC的垂直平分线l上，线段AP的长为______. 三、解答题（本大题共7小题，共54分） 19. 电信部门要在区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 20. 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？ 21. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，求的面积． 22. 已知：如图，在等腰三角形中，，且于点交的延长线于点，连接．请写出与的关系，并证明． 23. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=50°，求∠AEB度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）求证：EF2+BF2=2AC2． 25. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足，则此时值； （2）若点恰好在的角平分线上，求此时的值； （3）在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023–2024景城学校初二年级10月份月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．掌握轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意； B、轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理判断其形状． 【详解】解：化简，得，所以三角形是直角三角形， 故选：C． 3. 如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A. 直线被线段垂直平分 B. 线段被直线垂直平分 C. 直线经过线段中点，但不垂直 D. 直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【解析】 【分析】成轴对称图形的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，据此即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称， ∴线段被直线垂直平分． 故选：B 【点睛】此题考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握“成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分”是解题的关键． 4. 直角三角形两条直角边的长分别为6、8，斜边的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和， 故斜边长， 故选：C． 5. 在联欢会上，有三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据题意得：当木凳所在位置到三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到三个顶点的距离相等时， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 6. 如图，中，为上一点，且，设，，则图中的与的关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 7. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. D. a：b：c＝4：4：6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理进行判定即可． 【详解】A、由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意； B、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得∠C=，故△ABC为直角三角形，不符合题意； C、由得，，根据勾股定理的逆定理得，△ABC为直角三角形，不符合题意； D、由a：b：c＝4：4：6，设a=4k，b=4k，c=6k（其中k≠0），由于，故△ABC不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，掌握常用的判定方法是关键． 8. 如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】如图所示，连接， 在中， 即； 同理，在中， 即 则 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可． 9. 如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上．若正方形的边长为，则正六边形的边长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，根据含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设，则，， 六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 即正六边形的边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 点P在线段AB的垂直平分线上，PA10，则PB=______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据定理“线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等”解答即可. 【详解】解: 点在线段的垂直平分线上， , ， ， 故答案为: . 【点睛】本题考查了线段中垂线的性质定理，理解掌握该定理是解答关键. 12. 一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码______． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 13. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，则__________． 【答案】160 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，根据三角形内角和定理得的度数，进而得到答案． 【详解】解：根据轴对称性质可得， ， ， 根据轴对称的性质可得， ． 故答案为：160． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，利用四边形内角和定理是解决问题的关键． 14. 如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影面积为___． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，再根据点、是的三等分点，可得的面积为的面积的，依此即可求解． 【详解】解：在中，，是边上的高， 设， ， 点、是的三等分点， ． ， 图中阴影面积， 故答案为：36． 15. 若一个等腰三角形的两边长分别为6和10，则这个三角形的周长____________． 【答案】22或26 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质：两边相等的三角形，可以得出两种情况：6、6、10或6、10、10，可以求出周长为：22或26，同时利用三角形的三边关系进行验证，第三边的取值范围为：4<a<16，可知符合题意． 【详解】解：由题意得，设第三边长为a， 则：三角形的三边分别为：6、6、10或6、10、10， 根据三角形三边关系可知：4<a<16， 故：a=6或a=10符合题意， 即，三角形周长为：22或26． 故答案为：22或26． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念，同时还要利用三角形的三边关系进行验证是否能够组成三角形． 16. 如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有__________种． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：如图所示： 在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：4 17. 如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．若的周长为，的周长为，则点O、A之间的距离为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线性质得出，结合的周长为，推出，再根据的周长为，得出，最后根据垂直平分线的性质推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等． 18. 如图，长方形ABCD中，，，点P是射线AD上一点，将沿BP折叠得到，点恰好落在BC的垂直平分线l上，线段AP的长为______. 【答案】或15 【解析】 【分析】设直线l交于R，交于T．分两种情形：如图1中，当点P在线段上时，设如图2中，当点P在线段上时，设.分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设直线l交于R，交于T． 如图1中，当点P在线段上时，设 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 在中，则有， 解得． 如图2中，当点P在线段上时，设. 在中，∵， ∴， ∵， ， 在中，则有， 解得， 综上所述，满足条件的的值为或15． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共7小题，共54分） 19. 电信部门要在区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线、线段垂直平分线，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求，熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求， ． 20. 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？ 【答案】铺满这块空地共需花费元 【解析】 【分析】连接，在中利用勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理证明，再利用可得草坪面积，然后再计算花费即可． 【详解】连接， 在中，米， 米，， ∴， ∵， ∴， ∴， 该区域面积（平方米）， 铺满这块空地共需花费元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 21. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，求的面积． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分，∴， ∵，∴， 在和中， ∴， ∴，∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 22. 已知：如图，在等腰三角形中，，且于点交的延长线于点，连接．请写出与的关系，并证明． 【答案】垂直平分，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，平行线的性质和角平分线的性质可以证明，根据角平分线的性质得到，即点在线段的垂直平分线上，先证明，可以得到，即点在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】垂直平分． 证明：，． ． ． ， ． 点在线段垂直平分线上． 在和中， ． ． 点在线段的垂直平分线上． 垂直平分． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键． 23. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求出，然后加上即可． （2）利用勾股定理求出，然后用即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， （米）， （米）； 【小问2详解】 如下图， 由勾股定理得， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 24. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）求证：EF2+BF2=2AC2． 【答案】（1）20°；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案； （3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， 又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°， ∴∠BAE=50°+90°=140°， ∴∠AEB=（180°-140°）÷2=20°； （2）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAF=∠CAF． 在△BAF和△CAF中， ， ∴△BAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ABF=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEB， ∴∠AEB=∠ACF； （3）∵△BAF≌△CAF， ∴BF=CF， ∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC， ∴∠CFG=∠EAG=90°， ∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， ∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAE=90°，AC=AE， ∴EC2=AC2+AE2=2AC2， 即EF2+BF2=2AC2． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 25. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足，则此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上，求此时的值； （3）在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2）的值为或； （3）当或或或3时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【小问1详解】 解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； 【小问3详解】 解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$