第七章 随机变量及其分布章末重点题型讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布章末重点题型 目录 题型1：条件概率 2 题型2：全概率公式和贝叶斯公式 6 题型3：分布列性质的应用 12 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 15 题型5：简单离散型随机变量的分布列 19 题型6：二项分布模型的应用 29 题型7：二项分布的概率最大问题 39 题型8：超几何分布模型的应用 45 题型9：二项分布与超几何分布的综合 50 题型10：正态分布对称性的应用 57 题型11：正态分布的实际应用 62 题型1：条件概率 【例1.1.】 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式来求解，需要先分别求出、，再代入公式计算． 【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以． 故选：D． 【例1.2.】 口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】先确定和的值，再代入公式计算. 【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”，，， 所以，， 故选：C. 【例1.3.】 抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（    ） A．都是 B．都是 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、写出样本空间 【分析】写出两个点数都出现偶数的基本事件，计算求解即可；利用条件概率计算公式求解即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件的总数为， 两个点数都出现偶数的基本事件为，，，，，，，，共个，所以概率为； 记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件， 所以， 由两个点数都出现偶数的概率为，所以， 所以. 故选：. 【例1.4.】 设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 【例1.5.】 （多选）设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A，B互相独立 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】对A，根据结合条件运算得解；对B，根据相互独立事件定义判断；对C，由概率的加法公式求解判断；对D，由事件相互独立，则，代入运算判断. 【详解】对于A，因为，又，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为事件相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 【例1.6.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、条件概率性质的应用 【分析】应用条件概率公式及概率的性质判断A、C、D；由事件运算有，进而有判断B. 【详解】A：由，，显然不一定相等，错； B：由，则，而不一定为0，错； 由条件概率公式有，而不一定相等，但有，C错，D对； 故选：ABC 【例1.7.】 已知随机事件互相独立，且满足，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 题型2：全概率公式和贝叶斯公式 【例2.1.】 有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案. 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 【例2.2.】 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式可得递推关系，即可代入求解. 【详解】次交换后，记甲的口袋中恰有1个白球的概率为，没有白球的概率为，． 当时，， ． 故答案为：， 【例2.3.】 (多选)某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯概率公式进行求解即可． 【详解】对于A，由题意可知，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确； 故选：BCD． 【例2.4.】 （多选）1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式逐个判断即可. 【详解】A选项，由题意，故A正确， B选项，甲选择1号箱，奖品在3号箱里，主持人打开2号箱的概率为1， 即，故B正确， CD选项，在选择了1号门的前提下，主持人打开2号门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在2号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式， 由贝叶斯公式，在2号门打开的条件下，1号门和3号门里有豪车的条件概率为 ， 故选3号门会使获得豪车的概率更大，即错误，正确. 故选：ABD 【例2.5.】 （多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 【例2.6.】 小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得， 所以. 故答案为： 【例2.7.】 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为 ，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 【例2.8.】 已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”，根据题意，求得，，结合全概率公式，即可求解； （2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”， 方法一，根据题意，求得，，进而得到结合条件概率的计算公式，即可求解； 方法二 ，根据题意，求得，，利用贝叶斯公式，得到和，再利用全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”, 根据题意，可得，， ， 故， ， 由全概率公式，得， 所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14. （2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”， 方法一  由已知，得，， 故， ， 所以， 所以. 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 方法二  由已知，得，， 由贝叶斯公式，得， 同理，， 故， 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 题型3：分布列性质的应用 【例3.1.】 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，所以， 满足，故. 故选：A. 【例3.2.】 下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 【例3.3.】 已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 【例3.4.】 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 【例3.5.】 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 【例4.1.】 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 【例4.2.】 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 【例4.3.】 已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 【例4.4.】 已知随机变量，则（    ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】先根据二项分布的方差公式计算得出，再应用方差性质计算求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 【例4.5.】 若随机变量服从两点分布，且，则（    ） A．0.24 B．2.4 C．0.28 D．2.8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两点分布、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据两点分布的性质结合方差定义计算求解. 【详解】设， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【例4.6.】 （多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列的性质求得，再根据期望、方差的计算公式以及性质逐一验算即可求解. 【详解】对于AB，由题意，所以， 所以，故AB都正确， 对于CD，， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【例4.7.】 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两点分布、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 题型5：简单离散型随机变量的分布列 【例5.1.】 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可； （2）利用条件概率的公式计算； （3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. （2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. （3）的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【例5.2.】 “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 （2）由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 【例5.3.】 随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分. 项目 题型 每小题分值 每小题答对概率 甲类题 乙类题 丙类题 其竞赛规则为： 第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛. 第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛. 第三轮，在乙类试题中选择一道作答. (1)求小李答题次数恰好为2次的概率； (2)求小李最终得分的数学期望. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）记事件“小李先答对甲类一道试题”，“小李继续答对另一道甲类试题”，“小李答对乙类试题”，“小李答对丙类试题”，事件“小李答题次数恰好为2次”，可知，进而利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得事件的概率； （2）设小明竞赛得分为，由题知的可能值为，计算出在不同取值下的概率，进而求出期望. 【详解】（1）记事件“小李先答对甲类一道试题”，“小李继续答对另一道甲类试题”， “小李答对乙类试题”，“小李答对丙类试题”， 则. 记事件“小李答题次数恰好为2次”， 则. ， 即小李答题次数恰好为2次的概率为. （2）设小李最终得分为，由题知的可能值为. ， ， ， . 所以. 【例5.4.】 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． (1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分别按照，，求出概率，根据互斥事件概率的加法公式，可得的值. （2）的可能取值为，分别求出相应的概率，列出的分布列，根据数学期望的公式求出的值. 【详解】（1）的取值为3,2,0,对应的概率分别为，，. 的取值为2,0，对应的概率分别为，. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，只有满足， 此时概率为. 根据互斥事件概率的加法公式，可得. （2）的可能取值为0,2，3，4，5. . . . . . 的分布列如下表所示： 0 2 3 4 5 可得. 【例5.5.】 为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中一种.经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为.若前一天选择水果则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复. (1)求某同学第天选择水果的概率； (2)若某同学累计次选择水果时共花了天，求； (3)若某同学累计次选择牛奶时共花了天，求. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用随机变量分布列的性质解题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）通过分析前一天的选择对当天概率的影响，利用全概率公式建立关于的线性递推关系，再通过构造等比数列的方法求解通项公式； （2）利用几何分布求出首次选水果所需天数的期望，再基于状态转移建立累计次数与总天数的递推期望关系，最终推导出期望的线性表达式； （3）引入辅助随机变量处理非对称转移概率，先求首次选牛奶在特定条件下的期望，再通过类似的状态转移递推得到累计次数与天数的期望关系. 【详解】（1）由题意得，且. 所以. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. （2）若第一天选择水果，目标达成，概率为； 若第一天选中牛奶，目标未达成，第二天选中水果的概率为，与第一天选中水果的概率相同，而目标还是选中水果，根据题设，因此还需要天， 所以的分布列为 1 所以，解得. 首先达累计天选水果时，由题设，花了天. 接着再选一天，如果选中水果，则目标达成，概率为；如果选中牛奶，则目标未达成，由于选中牛奶时，下一天选中水果的概率为，与第一天选中水果的概率相同，而还需要累计1天选中水果达标，故还需要天，所以达成目标一共需要天. 所以的分布列为 所以. 所以. （3）设第一天选牛奶的概率为时，首次选中牛奶时共选了天. 同求，可求得的分布列为 1 所以，解得. 第一天如果选中牛奶，目标达成，概率为； 第一天如果选中水果，目标未达成，第二天选中牛奶的概率为，故还需要天，合计天. 所以. 首先达累计天选中牛奶时，由题设，花了天. 接着再选一天，如果选中牛奶，则目标达成，概率为；如果选中水果，则目标未达成，由于选中水果时，下一天选中牛奶的概率为，故还需要天，所以达成目标一共需要天. 所以的分布列为 所以. 所以. 【例5.6.】 “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得. （2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出. 【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ， 已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为． （ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件， 记， 由题知，当时， ， 由全概率公式知， ， ， ， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 则，即第次答题是选手甲的概率为． （2）的所有可能取值为， 所以的分布列为 1 2 3 ．．． ．．． 故①， ②， ①-②，得 所以． 题型6：二项分布模型的应用 【例6.1.】 已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 【例6.2.】 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1； (2). 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）求出的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】（1）随机变量的可能取值为，则，， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 所以恰好摸5次停止的概率为. 【例6.3.】 D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，，. (2) 【难度】0.85 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】（1），得到分布列，利用二项分布求期望公式和方差公式求出答案； （2）可分为四种情况，，，和，得到相应的概率，相加可得概率. 【详解】（1）由题可知随机变量服从二项分布：， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，； （2）由题可知“”的情况可分为四类： ①时，， ②时，， ③时，， ④时，， 所以. 【例6.4.】 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意利用独立事件乘法公式求概率； （2）根据对立事件的概率关系求得每局比赛有人得分的概率，可得服从二项分布，进而求出的分布列和期望； （3）由题先求出乙得2分的概率，两人分差为0的概率，乙最终获胜可分为三种情况，①乙3局都得2分；②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0；③乙有1局得2分，另外2局分差为0；依次求出概率得解. 【详解】（1）在一局比赛中，甲得2分的概率为. （2）每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. （3）每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 【例6.5.】 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】(1)2 (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、均值的性质、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 【例6.6.】 某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】组合数的计算、利用对立事件的概率公式求概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）由题可得正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，且符合二项分布，即可求出分布列及期望；（ii）； （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，可正常工作的元件个数为，然后分原系统中至少有个正常工作、恰好有个新增2个元件中至少有1个正常工作、恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作共三种情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以. 所以，， ，. 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. （ii）. （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，. 【例6.7.】 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、计算古典概型问题的概率、利用组合数公式证明、利用全概率公式求概率 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3）不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”     “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 题型7：二项分布的概率最大问题 【例7.1.】 某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 【例7.2.】 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据二项分布概率公式构造不等式组，解题即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 【例7.3.】 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，利用导数即可求得最大值. 【详解】设为某市去年1名市民的年收入， 某市去年的人均年收入为50万元，则， 设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为， 所以， 因为， 由题可得， 设，， 则， 所以， 即的最大值为. 故选：D 【例7.4.】 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 【例7.5.】 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；②连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【答案】(1)分布列见解析， ； (2)21 (3)单调递增，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决. （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可. （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 因此比赛次数不会超过5，令比赛共进行了n局，（）， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， ． 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，， 记，已知， 则， 由，得，即，；，， 则当时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为， 记乙在每场比赛获胜的概率为， ， 由知，，因此， 所以单调递增. 题型8：超几何分布模型的应用 【例8.1.】 高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 【例8.2.】 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）利用全概率公式来求得正确答案. 【详解】（1）的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. （2）用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. 【例8.3.】 网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先求得抽取到“好评”的概率，再分第5次抽到好评和没抽到好评求解； （2）易知抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为6人，4人，再根据服从参数为10，3，6的超几何分布求解. 【详解】（1）从参与评价的网民中随机抽取1人，抽取到“好评”的概率为， 则抽取了5次的概率为； （2）在给予“中评”评价的网民中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数之比为3∶2， 因此在抽取的10人中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数分别为6和4． 依题意知X服从参数，，的超几何分布， 所以，，1，2，3． 所以,, 于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【例8.4.】 作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 【答案】(1)． (2) 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可； （2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可. 【详解】（1）记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件， 则 ， 即的概率为． （2）由题可知， 设， 则． 令， 得， 解得． 故当时，， 当时，， 又，故当时，取得最大值． 所以当时，的概率最大． 题型9：二项分布与超几何分布的综合 【例9.1.】 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【例9.2.】 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求超几何分布的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1求出参数即可. （2）根据独立重复试验确定质量超过的袋数X的所有可能取值和对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据超几何分布求出的分布列即可. 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 【例9.3.】 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【答案】(1)，，事件与相互不独立 (2)当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小 (3)或14时，概率的值最大 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求超几何分布的概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、条件概率性质的应用 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式性质求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可； （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值； （3）由题可得，结合二项分布的概率可得，再根据最大可得，解不等式组即可得此时的值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球， 则，，， 所以， 则，所以事件与相互不独立． （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，, 设， 当时，， ， 当时，， 当时，， 因此， 而， 则，， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小． （3）若，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大. 【例9.4.】 强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且. ①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值； ②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②轮 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的均值、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）分析可知，的所有可能取值是、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，利用独立事件的概率公式结合可得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，令，，结合二次函数的基本性质可求得的最大值； ②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，根据二项分布的期望公式以及已知条件可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】（1）由题意可知，的所有可能取值是、、、， ，， ，， 所以的分布列是 数学期望是. （2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件， 则 ， 由，得. 因为，，所以， 令， 所以，设，则， 当时，取得最大值. 所以，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值. ②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值. 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即解得. 而，则，所以理论上至少要进行轮答题. 题型10：正态分布对称性的应用 【例10.1.】 已知随机变量，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】由随机变量得正态曲线关于直线对称，所以且，进一步可得结果. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 所以，且， 所以， 故选：C. 【例10.2.】 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 【例10.3.】 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（    ）（参考公式：，， A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据已知的概率正态分布的均值和方差，再利用正态分布的对称性求出概率即可. 【详解】因为续航里程服从正态分布，即， 由题意，又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【例10.4.】 已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 【例10.5.】 设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】特殊区间的概率、3δ原则 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则，所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：A. 【例10.6.】 设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 【例10.7.】 （多选）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误. 【详解】由，则，，由，则，， A：由，即，对； 由，即，B错，C对； D：由，即，错. 故选：AC 【例10.8.】 (多选)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 题型11：正态分布的实际应用 【例11.1.】 某实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【难度】0.4 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】（1）根据正态分布原则求解； （2）由正态分布的对称性求得，进而估计成绩超过90分的学生人数； （3）设前分位数为，由结合正态分布表求得，进而求得，根据条件概率公式求得，得解. 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 【例11.2.】 从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 【例11.3.】 在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、3δ原则 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 【例11.4.】 甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 30 0.2 2.1 20 1.1 (1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差； (2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品． （i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数； （ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 参考数据：，． 【答案】(1)平均数为0，标准差为1.79． (2)（i）680件；（ii）答案见解析 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、独立事件的乘法公式、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差. （2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于（ii），首先列出的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得的值. 【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为，方差为，则 ， ， 所以． 所以这50件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79． （2）（i）由（1）得零件尺寸的误差服从正态分布， 则， 零件是一等品的概率估计为0.68，， 所以估计其中一等品的件数约为680件． （ii）第次检测停止，即前次抽到3件二等品，第次抽到第4件二等品， 则当时，． 当时，由， 解得． 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 综上，存在最大值.当时，取得最大值． 【例11.5.】 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 【例11.6.】 小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率、二项分布的方差 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布章末重点题型 目录 题型1：条件概率 2 题型2：全概率公式和贝叶斯公式 3 题型3：分布列性质的应用 4 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 5 题型5：简单离散型随机变量的分布列 7 题型6：二项分布模型的应用 9 题型7：二项分布的概率最大问题 11 题型8：超几何分布模型的应用 12 题型9：二项分布与超几何分布的综合 13 题型10：正态分布对称性的应用 15 题型11：正态分布的实际应用 16 题型1：条件概率 【例1.1.】 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（    ） A．都是 B．都是 C．和 D．和 【例1.4.】 设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A，B互相独立 C． D． 【例1.6.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知随机事件互相独立，且满足，则 . 题型2：全概率公式和贝叶斯公式 【例2.1.】 有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【例2.3.】 (多选)某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 【例2.5.】 （多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为 ． 【例2.7.】 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为 ，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为 . 【例2.8.】 已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 题型3：分布列性质的应用 【例3.1.】 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【例3.2.】 下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【例3.3.】 已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 【例3.4.】 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【例3.5.】 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 题型4：离散型随机变量均值与方差的性质 【例4.1.】 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【例4.2.】 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【例4.3.】 已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【例4.4.】 已知随机变量，则（    ） A．18 B．17 C．6 D．5 【例4.5.】 若随机变量服从两点分布，且，则（    ） A．0.24 B．2.4 C．0.28 D．2.8 【例4.6.】 （多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5：简单离散型随机变量的分布列 【例5.1.】 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【例5.2.】 “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【例5.3.】 随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分. 项目 题型 每小题分值 每小题答对概率 甲类题 乙类题 丙类题 其竞赛规则为： 第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛. 第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛. 第三轮，在乙类试题中选择一道作答. (1)求小李答题次数恰好为2次的概率； (2)求小李最终得分的数学期望. 【例5.4.】 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． (1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 【例5.5.】 为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中一种.经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为.若前一天选择水果则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复. (1)求某同学第天选择水果的概率； (2)若某同学累计次选择水果时共花了天，求； (3)若某同学累计次选择牛奶时共花了天，求. 【例5.6.】 “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 题型6：二项分布模型的应用 【例6.1.】 已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【例6.3.】 D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 【例6.4.】 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【例6.5.】 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【例6.6.】 某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 【例6.7.】 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 题型7：二项分布的概率最大问题 【例7.1.】 某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【例7.2.】 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【例7.3.】 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【例7.5.】 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；②连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 题型8：超几何分布模型的应用 【例8.1.】 高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【例8.2.】 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【例8.3.】 网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 【例8.4.】 作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 题型9：二项分布与超几何分布的综合 【例9.1.】 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【例9.2.】 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【例9.3.】 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【例9.4.】 强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且. ①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值； ②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 题型10：正态分布对称性的应用 【例10.1.】 已知随机变量，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.5 【例10.2.】 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【例10.3.】 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（    ）（参考公式：，， A． B． C． D． 【例10.4.】 已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【例10.5.】 设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【例10.6.】 设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【例10.7.】 （多选）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【例10.8.】 (多选)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 题型11：正态分布的实际应用 【例11.1.】 某实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【例11.2.】 从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【例11.3.】 在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【例11.4.】 甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 30 0.2 2.1 20 1.1 (1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差； (2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品． （i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数； （ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 参考数据：，． 【例11.5.】 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【例11.6.】 小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $