6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3课时 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3课时（3课时） 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理与解题策略。 数学抽象 2应用探究： （1）分配问题；（2）涂色问题；（3）组数问题。 逻辑推理 1分钟（读） 1（1） 一.新课引入 特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法， ‧‧‧‧‧‧在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+ ‧‧‧ +mn种不同的方法. 分类加法计数原理： 分步乘法计数原理： 特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 1（2） 二.自主构建 （1）完成一件什么事？ （3）如何分类、分步？ 解题策略： （2）确定是先分类还是先分步？ 3（5） 二.自主构建（课本P12，第11、12题） 例1 在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ 解：完成一件什么事： 是分类还是分步： 如何分： 7天排班 分步 例2 2160有多少个不同的正因数？ 解：完成一件什么事： 是分类还是分步： 如何分： 2160= 分步 3（8） 二.自主构建 例3 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如1 230，2 022)，则首位为3的“六合数”共有 (　　) A．18个 B．12个 C．10个 D．7个 解：完成一件什么事： 是分类还是分步： 如何分： 3 分3类：（1）111；（2）120；（3）300 （1）1个；（2）（3）3个。 总10个，选C 3（11） 三.应用探究：1分配分组问题（课本P12第8题改编） 例4 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，每个队都要有人报，不同报法的种数是多少？ 解：完成一件什么事： 是分类还是分步： 如何分： 4名同学选球队，球队要有人 先分3类再分步 （1）足球队有2人； （2）篮球队有2人； （3）兵乓球队有2人； （1）；（2） 总：36 3+1（15） 三.应用探究：1分配分组问题 练习1 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种 解1： 完成一件什么事： (直接法)是分类还是分步： 如何分： 解2：(间接法)　先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37种方案． 3个班实习，甲厂有班去 分3类： （1）甲厂来3个班；（2）甲厂来2个班；（3）甲厂来1个班； （1）1； （2） （3）3。 总37，选C 4（19） 三.应用探究：2涂色问题 例5 (2025·徐州高二期中)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域(A，B，C，D，E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有(　　) 解1：完成一件什么事： 是分类还是分步： 如何分： （3） 总：120+ A．480种 B．720种 C．1 080种 D．1 560种 ABCDE涂色 按用颜色多少分3类再分步 （1）3色：AE、BD、C；（2）4色：AE、B、D、C或A、E、BD、C； （3）5色：A、B、C、D、E。 （1） （2） 2（21） 三.应用探究：2涂色问题 解2：完成一件什么事：ABCDE涂色 是分类还是分步：先分步，按区域位置涂 分4步进行分析： (1)对于区域A，有6种颜色可选； (2)对于区域B，与区域A相邻，有5种颜色可选； (3)对于区域C，与区域A，B相邻，有4种颜色可选； (4)对于区域D，E，若D与B颜色相同，区域E有4种颜色可选， 若D与B颜色不相同，区域D有3种颜色可选，区域E有3种颜色可选， 则区域D，E有4＋3×3＝13(种)选择， 则不同的涂色方案有6×5×4×13＝1 560(种). 3+1（25） 三.应用探究：2涂色问题 练习2 (2025·临沂高二期中)在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，不同的种植方式有 (　　) A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 解：根据题意，从五种庄稼秧苗中选出4种庄稼秧苗，共有5种选择， 则土地1，5种植相同庄稼或土地2，4种植相同庄稼， 共有2×(4×3×2×1)＝48种选择， 根据分步乘法计数原理可知，有5×48＝240种． 3+1（29） 三.应用探究：2涂色问题 练习3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？ S A B C D 解1： 从颜色的种数进行分类： 若染5种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3×2×1＝120 (种). (2) 若染4种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3×2×2＝240 (种). (3) 若染3种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3＝60 (种). 所以不同的染色方法共有120＋240＋60＝420 (种). 2（31） 三.应用探究：2涂色问题 练习3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？ S A B C D 解2： 按位置涂色： 5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420(种). 三.应用探究：3组数问题 例6 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝125种排法，即可以排出125个三位数字的密码． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100种排法，即可以排成100个三位数． (3)能被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因此共有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 4（35） 3+1（39） 三.应用探究：3组数问题 练习4 用0,1,2,3,4,5这6个数字： (1)可以组成______个数字不重复的三位数; (2)可以组成______个数字允许重复的三位数; (3)可以组成______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 解：(1) 由分步计数原理得，所求三位数共有5×5×4＝100个． (2) 由分步计数原理得，所求三位数共有5×6×6＝180个． (3) 分四类： ①千位数字为3, 4之一时，有2×5×4×3=120个； ②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，有4×4×3=48个； ③千位数字是5百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有2×3=6个； ④千位数字是5百位数字是4，十位数字是2时，有1个； 所以所求四位数共有120+48+6+1=175个． 四.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 1（40） 1分类加法记数原理 2分步乘法记数原理 1分配问题； 2涂色问题； 3组数问题。 1分类相加； 分步相乘 作业：学科网搜6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3课时同步练习 解答 细目表 板书设计 1分类加法记数原理 2分步乘法记数原理 解题策略： （1）明确完成一件什么事？ （2）确定是先分类还是先分步？ （3）如何分类与分步？ 难点1：分类要选一标准，做到不重不漏 难点2：分步要步步相依，步骤完整。 $