20.1 第3课时 利用勾股定理进行作图与计算同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.1 第3课时 利用勾股定理进行作图与计算 参考答案与试题解析 一．选择题 1．（2025秋•古县期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025秋•镇平县校级期末）如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（　　） A． B．3.7 C．3.8 D． 【解答】解：∵点A表示的数为3， ∴点A到原点的距离为3， 由图可得AB＝3﹣1＝2， ∴点B到原点的距离． ∵点C到原点的距离和点B到原点的距离相等， ∴点C到原点的距离为， ∴点C表示的数为． 故选：D． 3．（2025秋•新安县期末）如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1， ∴AC＝2， ∴BC1， ∴AB， 又∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D， ∴AD＝AB， ∴点D表示的数1， 故选：A． 4．（2025秋•西山区校级期末）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由勾股定理得：BC， 则BA＝BC， ∴a的值是1， 故选：D． 5．（2025秋•连平县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝2﹣1＝1， 则AC， 根据题意得AD＝AC， ∴点D表示的数为﹣（1）＝1， 故选：D． 6．（2025秋•高唐县期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（　　） A．AD B．BC C．AB D．CD 【解答】解：∵方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上， 由勾股定理得：，， 故长度为无理数的线段是CD， 故选：D． 7．（2025秋•鲤城区校级期末）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由勾股定理得：AC， 故选：C． 8．（2025秋•成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题可知AE＝AB＝3， 在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题 9．（2025秋•三水区期末）如图所示，在数轴上点A表示的实数是　　 ． 【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 10．（2025秋•永宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为　1　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AD＝BC＝1， ∴AC， ∴AM＝AC， ∵OA＝1， ∴OM＝AM﹣OA1， ∴点M表示点数为1， 故答案为：1． 11．（2025秋•东营期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1．BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　　 ． 【解答】解：， ∴点D表示的数是， 故答案为：． 12．（2025秋•浦江县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段BC上的点之间的距离的最小值为　　 ． 【解答】解：连接AB，AC， 由图可知，△ABC的面积， 由勾股定理可得，BC， ∵△ABC的面积＝3， ∴点A与线段BC上的点之间距离的最小值为：， 故答案为：． 三．解答题 13．（2025秋•永康市期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求3×3方格中阴影正方形的面积和它的边长； （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【解答】解：（1）正方形的面积＝3×3﹣42×1＝5， ∴正方形的边长是； （2）如图在数轴上点A表示的实数是． 14．（2023春•德州期中）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年3月22日 天气：晴 无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段OA＝OA′．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A'，则点A对应的数为，点A′对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示±，±，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB'，其中O仍在原点，点B，B'分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与OB′的长得到点B，B′所表示的无理数!按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 任务： （1）“拓展思考”中，线段OB的长为 　1　 ，OB'的长为 　1　 ；点B表示的数为 　1　 ，点B'表示的数为 　1　 ． （2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择 A 题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示±的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示2的点M． 【解答】解：（1）∵线段OB的长为1，OB'的长为1， ∴点B表示的数为1，点B'表示的数为1； 故答案为：1，1，1，1； （2）A题：如图，M点表示的数为，N点表示的数为． B题：如图，M点表示的数为2． 故答案为：A（或B）答案不唯一． 15．（2024秋•金凤区校级期末）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为　10　 ，边长为　　 ． （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点A，保留作图痕迹． 【解答】解：（1）正方形的边长为，面积＝10， 故答案为：10，； （2）①如图所示的正方形即为所作； ②如图所示，点A即为所求作的点． 16．（2025秋•花溪区期末）在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中，线段AB的长为　　 ； （2）在图2中，画一个面积为10的正方形DEFG，且正方形的顶点都在格点上． 【解答】解：（1）AB， 故答案为：； （2）如图2，DE＝EF＝FG＝DG， 则四边形DEFG为面积为10的正方形． 17．（2025秋•工业园区期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【解答】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：DE，EF，DF， 在△ABC中，DF﹣EF＜DE， ∴． 18．（2025秋•贺兰县校级期末）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时AC+CE的值最小；并求出AC+CE的最小值． （3）参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 【解答】解：（1）C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC． ∵BD＝8，设CD＝x， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x， ∵AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1， ∴AC2＝AB2+BC2＝22+（8﹣x）2＝x2﹣16x+68，CE2＝CD2+DE2＝x2+12， ∴，， ∴； （2）点C满足A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过点E作EF⊥AB的延长线于点F， ∴BF＝DE＝1，EF＝BD＝8， ∴AF＝AB+BF＝3， ∴； （3）如图所示，根据，构造AB＝10，DE＝5，BD＝20，CD＝x， 当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，最小值为AE， 延长ED到点F，过点A作AF⊥DF于点F， 则四边形ABDF是长方形， ∴AF＝BD＝20，AB＝DF＝10，EF＝ED+DF＝5+10＝15， ∴， 即的最小值为25． 19．（2025秋•九台区期末）【例题讲解】 已知a﹣b＝1，a2+b2＝25，求ab的值．小亮探究出解题方法如下： 已知a﹣b＝1，a2+b2＝25，求ab的值． 解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2， ∵a﹣b＝1，a2+b2＝25， ∴2ab＝25﹣12＝24， ∴ab＝12． 【方法运用】 根据小亮探究出的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原例题的条件和结论还可以求出（a+b）2的值，请你直接写出（a+b）2的值； （2）若x+y＝1，xy，求x2+y2和（x﹣y）2的值； 【拓展提升】 （3）如图，以Rt△ABC的直角边AB、BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG，若△ABC的面积为6.5，正方形ABDE和正方形BCFG的面积和为35，直接写出AG的长． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+2×12＝49； （2）∵x+y＝1，xy， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝1， （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝1+3＝4， 故答案为：，4； （3）设正方形ABDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则AG＝a﹣b， ∵△ABC的面积为6.5，正方形ABDE和正方形BCFG的面积和为35， ∴ab＝6.5，a2+b2＝35， 即ab＝13，a2+b2＝35， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝35﹣26＝9， ∵a＞b， ∴a﹣b3， 即AG＝3． 20．（2025秋•双流区校级期中）+“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，AB的长度为　2　 ，△ACB中AB边上的高的长度为　　 ． （2）如图2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较1与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），BC＝1，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【解答】解：（1）由图可得， AB2， 设AB边上的高为h， ∵S△ABC， ∴， 解得h， 故答案为：2，； （2）， 理由：连接AB，BC，AC，如图3所示， ∵AB2，BC＝2，AC2，AB+BC＞AC， ∴； （3）设AB＝x，BC＝3，AD＝15﹣x，DE＝5，点D、A、B共线，CB⊥DB，ED⊥DB，如图所示， 则AC，AE， 由两点之间线段最短可知，的最小值等于线段AC的长， 延长CB到F，作EF⊥CB于点F，如图所示， 则EF＝DB＝15﹣x+x＝15，CF＝3+5＝8， ∴EC17， 即的最小值为17． 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 第3课时 利用勾股定理进行作图与计算 一．选择题 1．（2025秋•古县期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 2．（2025秋•镇平县校级期末）如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（　　） A． B．3.7 C．3.8 D． 3．（2025秋•新安县期末）如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•西山区校级期末）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•连平县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•高唐县期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（　　） A．AD B．BC C．AB D．CD 7．（2025秋•鲤城区校级期末）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 9．（2025秋•三水区期末）如图所示，在数轴上点A表示的实数是　 　 ． 10．（2025秋•永宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为　 　 ． 11．（2025秋•东营期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1．BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　 　 ． 12．（2025秋•浦江县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段BC上的点之间的距离的最小值为　 　 ． 三．解答题 13．（2025秋•永康市期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求3×3方格中阴影正方形的面积和它的边长； （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 14．（2023春•德州期中）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年3月22日 天气：晴 无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段OA＝OA′．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A'，则点A对应的数为，点A′对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示±，±，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB'，其中O仍在原点，点B，B'分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与OB′的长得到点B，B′所表示的无理数!按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 任务： （1）“拓展思考”中，线段OB的长为 　 　 ，OB'的长为 　 　 ；点B表示的数为 　 　 ，点B'表示的数为 　 　 ． （2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择 　 　 题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示±的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示2的点M． 15．（2024秋•金凤区校级期末）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为　 　 ，边长为　 　 ． （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点A，保留作图痕迹． 16．（2025秋•花溪区期末）在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中，线段AB的长为　 　 ； （2）在图2中，画一个面积为10的正方形DEFG，且正方形的顶点都在格点上． 17．（2025秋•工业园区期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 18．（2025秋•贺兰县校级期末）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时AC+CE的值最小；并求出AC+CE的最小值． （3）参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 19．（2025秋•九台区期末）【例题讲解】 已知a﹣b＝1，a2+b2＝25，求ab的值．小亮探究出解题方法如下： 已知a﹣b＝1，a2+b2＝25，求ab的值． 解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2， ∵a﹣b＝1，a2+b2＝25， ∴2ab＝25﹣12＝24， ∴ab＝12． 【方法运用】 根据小亮探究出的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原例题的条件和结论还可以求出（a+b）2的值，请你直接写出（a+b）2的值； （2）若x+y＝1，xy，求x2+y2和（x﹣y）2的值； 【拓展提升】 （3）如图，以Rt△ABC的直角边AB、BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG，若△ABC的面积为6.5，正方形ABDE和正方形BCFG的面积和为35，直接写出AG的长． 20．（2025秋•双流区校级期中）+“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，AB的长度为　 　 ，△ACB中AB边上的高的长度为　 　 ． （2）如图2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较1与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），BC＝1，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $