1.6.3 解三角形应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦湘教版A版必修第二册“解三角形应用举例”，构建“课标要点-必备知识-题型解析-知识测评”学习支架，涵盖测量距离、高度、角度问题的类型解析、术语回顾、典例详解及变式训练。 资料特色突出，以实际情境（如公园距离测量、塔高计算）为载体，通过“两头凑思维模型”引导学生用数学眼光抽象问题，结合正余弦定理推理计算培养数学思维，以方案设计题（如两山顶距离测量）提升数学语言表达能力，助力学生掌握应用技巧，为教师提供系统教学资源。高一学生正处于数学思维转型期，此资料能帮助其建立实际问题与数学模型的联系，提升应用能力。

1.6 解三角形-1.6.3 解三角形应用举例 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 测量问题 1 测量距离问题的基本类型和解决方案 当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 , 间不可 达也不可视 测得,, 的大小,则由余弦定理得 . 6 类型 简图 计算方法 ，与点 可视但不可 达 测得,,的大小,则 ，由正弦定 理得 . ， 与点 ， 均可视 不可达 测得及,,, 的度数.在 中，用正弦定理求;在 中,用正弦定理 求;在中,用余弦定理求 . 续表 知识回顾 涉及有关角的术语 #1.1.2 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角叫作方 位角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常 表达为北偏东（西）、南偏东（西） 度. 北偏东 或东偏北 _________________ 8 2 测量高度问题的基本类型和解决方案 当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型.#1 类型 简图 计算方法 底部可达 测得,的大小, 9 类型 简图 计算方法 底部不 可达 点与， 共线 测得及与 的度数. 先由正弦定理求出或 ，再解直角 三角形得 的值. 点与， 不共线 测得及,， 的度 数. 在中由正弦定理求得 ，再解直 角三角形得 的值. 续表 知识回顾 涉及的有关术语#1.1.2 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯 角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标 视线在水平视线下方的叫作俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 , 则 . ____________________________ 坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 11 3 测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角）,海上、空中的追及与拦截，此 时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰 角等概念. 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角 形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 12 学思用·典例详解 图1.6.3-1 例1-1 如图1.6.3-1，为了测量某公园内湖岸边， 之间的距离， 选择湖岸边的处，测得在的北偏西 的方向上，在 的正北方向上．在的正东方向的处，测得在 的北偏西 的方向上，在的北偏西 的方向上，若， 之间的 距离是30米，则， 之间的距离是( ) B A.米 B.米 C. 米 D. 米 13 【解析】根据题意可得 ， ， ， ， ， ，又 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 米. . . 14 图1.6.3-2 例1-2 (2025·甘肃省嘉峪关市第一中学月考)榴花塔以红石为基， 用青砖灰沙砌筑建成．如图1.6.3-2，记榴花塔高为 ，测量小 组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和 ，现测得 ， ，，在点 处测得塔 顶的仰角为 ，则塔高 为( ) A A. B. C. D. 【解析】依题意得,在中, , , 即,解得 , 在中, ,即 . 15 图1.6.3-3 例1-3 当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹 竿如图1.6.3-3所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成 的角是( ) B A. B. C. D. 【解析】设竹竿与地面所成的角为 ,影子长为 .由正弦定理，得 , 解得 . , , 当 ,即 时, 有最大值. 即竹竿与地面所成的角是 时，影子最长. 16 释疑惑 重难拓展 知识点2 解三角形的应用题 在运用解三角形的知识解决实际问题时，通常都应根据题意将实际问题转化为 解三角形的问题，从中抽象出一个或几个三角形，然后解这些三角形，得出所要求 的量，经检验后得到实际问题的解. 17 1 基本步骤 18 2 主要类型 19 学思用·典例详解 图1.6.3-4 例2-4 如图1.6.3-4，要把一个四边形 区域改造成公园，经过 测量得到，，， ，且 ，则这个区域的面积是_ ______ 【解析】连接，在 中， 利用余弦定理得 为直角三角形,且 ．故 . ,即．在中，易知 ，则 20 题型解析 03 题型1 利用正、余弦定理解决测量问题 1 测量距离问题 例5 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距的军事基地 和 处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , , , ,如图1.6.3-5所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离. 图1.6.3-5 22 给什么得什么 长已知，根据 中的两角一边，由正弦定理及三角形内角和 定理可解三角形. 求什么想什么 由题干分析可知，所求距离为长，可将其放在（或 中，用余弦定理求解. 差什么找什么 余弦定理需两条边和一个角，在中，先求和 ，再由余弦 定理求 . 23 【解析】 . , , , 在中， , , . 在 中，由余弦定理得 , , 故蓝方这两支精锐部队间的距离为 . 24 由图1.6.3-5可知，是等边三角形，且垂直平分 ，易知 . 由 ，可知是等腰直角三角形，易得 . 名师点评 由此可以看出，根据图形的特点，利用相关性质可以简化步骤.求解涉及 多个三角形的问题时，应尽量选择已知条件较多的三角形. 2 测量高度问题 图1.6.3-6 例6 (2025·山东省济宁市实验中学质检)2020年12月8日，中国和 尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位： ）, 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图1.6.3-6是三角高 程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，, 在同一 水平面上的投影，，满足 , . 由点测得点的仰角为 ，与的差为100;由点测得 点的仰角为 ，则，两点到水平面 的高度差 约为 ( ) B A.346 B.373 C.446 D.473 26 图1.6.3-7 【解析】如图1.6.3-7所示，根据题意过作，交 于 ，过作，交于，则 , . 在中， , 则 . 又在点处测得点的仰角为 ，所以 , 所以高度差 . 27 3 测量角度问题 例7 沿一条小路前进，从走到方位角是 ，距离是的 处后，又向方位角是 ，距离是的处前进，到达处后，又走向方位角是 ，距离是 的处,试画出示意图，并计算出相对于的方位角和 间的距离. 思路点拨 根据题意构造出和 ，再应用正弦定理和余弦定理即可求解. 28 图1.6.3-8 【解析】画出示意图如图1.6.3-8所示，连接,在 中， . 又 ， 故 , 由余弦定理，得 . 在中， , , 由余弦定理，得 . 由正弦定理，得 , 又, , 相对于的方位角为 , 即相对于的方位角约为 ,间的距离为 . 29 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形 （主要是三角形与四边形）问题中的应用，一般利用几何图形本身及实际问题中涉 及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理 即可使问题得解. 30 【学会了吗丨变式题】 (2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时观察灯塔在的北偏东 的方向 上，距离为海里，灯塔在的北偏西 的方向上，距离为 海里，该游 轮由沿正北方向继续航行到处时再观察灯塔在其南偏东 的方向上，则此时 灯塔 位于游轮的( ) C A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向 31 图D 1.6.3-1 【解析】如图D 1.6.3-1，在 中， ， 由正弦定理得 ， 则 . 在中，因为, ，由余弦定理 得 ， 所以 . 由正弦定理得，解得 ， 故 或 ， 因为，故为锐角，所以 ， 此时灯塔位于游轮的南偏西 的方向上． 32 题型2 方案设计题 图1.6.3-9 例8 为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在， 两点进行测量，，，， 在同一个铅直平面内（如图1.6.3 -9所示），飞机能够测量的数据有俯角和， 间的距离.请设 计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示， 并画出示意图，在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算 ， 间的距离的步骤. 思路点拨 图中有四个点,通过四个点的连接,可以构造多个三角形,根据已知条件,选 取合适的一个或几个三角形,利用正弦定理和余弦定理求解. 33 图1.6.3-10 【解析】（1）需要测量的数据有：点到，点的俯角,； 点 到，点的俯角,；，间的距离 （示意图如图1.6.3-10所示）. （2） 第一步：计算 . 在中，由正弦定理,得 . 第一步：计算 . 第二步：计算 . 在中，由正弦定理,得 . 第三步：计算 . 在 中，由余弦定理,得 . 34 在中，由正弦定理,得 . 第二步：计算 . 在中，由正弦定理,得 . 第三步：计算 . 在中，由余弦定理,得 . 解决方案设计问题的思路及注意点 解决此类问题的思路是先设计方案，然后决定收集哪些信息、数据，最后进行推理 运算.一般来说，需注意三点：①实际测量中，往往受到地形地貌、测量工具等条件 的制约，设计的方案要切实可行；②测量要符合题目要求与实际要求；③计算时要 合理使用近似计算. 36 知识测评 04 图1.6.3-1 1.(2025·河南省灵宝市实验高级中学月考)如图1.6.3-1，设， 两 点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点 ，测出 的距离为， ， ，则， 两点 间的距离为( ) A A. B. C. D. 【解析】在中， ， 由正弦定理得 ． 38 图1.6.3-2 2.新考法 数学文化 (2025·四川省绵阳外国语学校模 拟)圭表（如图1.6.3-2（1））是我国古代一种通过测 量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根 直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定 摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳 C A. B. C. D. 照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至， 日影长度最短的那一天定为夏至．图1.6.3-2（2）是一个根据北京的地理位置设计的 圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）大约为 ，夏至正午太 阳高度角（即）大约为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长） 为，则表高（即 的长）为 ( ) 39 【解析】由题可知 ，在 中,由正弦定理可知 ,即,则,又在 中, ,所以 . 40 图1.6.3-3 3.(2025·福建省漳州市月考)如图1.6.3-3所示，在坡度一定的山坡 处测得山顶上一建筑物的视角（即）为 ，向山顶前 进100 米到达处，又测得建筑物的视角（即）为 ， 若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则 （参考数值： ）( ) C A. B. C. D. 【解析】在 中，由正弦定理可知， （米）.在 中， 由题图,知 . 41 4.［多选题］如图1.6.3-4所示，为了测量某湖泊两侧， 的距离，某同学首先选定 了与，不共线的一点，然后给出四种测量方案的角，， 所对的边分 别记为,,.则下列方案中一定能确定, 间距离的是( ) ABC 图1.6.3-4 A.测量，， B.测量,, C.测量,, D.测量,, 42 【解析】对于A,在中，,所以 .由正弦定理得 ,所以 . 对于B，由余弦定理可得,所以 . 对于C，在中，,所以 ，由正弦定理得 ,所以 . 对于D，由余弦定理得,解得的可能有两个值，此时不能确定， 间的距离. 故一定能确定，间距离的方案有 . 43 图1.6.3-5 5.(2025·广东省汕尾市质检)如图1.6.3-5，一轮船从 点沿北 偏东 的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东 的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从 点直接沿直线行 驶至海岛 ，则此船沿___________方向行驶______海里至 海岛 北偏东 【解析】由题意得 ， ，故 ，所以从到 的航向为北 偏东 ，由余弦定理得 ，故 海里． 44 图1.6.3-6 6.(2025·安徽省滁州市调研)高铁是我国国家名片之 一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图 1.6.3-6所示，,, 为山脚两侧共线的三点，在山 顶处测得这三点的俯角分别为 , , ， 计划沿直线开通穿山隧道，现已测得,, 三条线段的长度分别为,, . （1）求线段 的长度； 【答案】由已知可得， ， ， 在中，由正弦定理得 ， 即 ， 解得,故线段的长度为 . 45 （2）求隧道 的长度. 【答案】由已知可得 ， 在中， ， 所以 ． 46 图1.6.3-7 7.某校某班要进行研究性学习，题目为《应用正、余弦定理测量 标志性建筑龙塔的高度（ ）》.经考察龙塔附近有两个地点 ，利于观测（注：龙塔塔底点无法到达），,,, 在同一 铅垂平面内（如示意图1.6.3-7）．测量备品：测角仪（可测量仰 角）和皮尺（长度足够用）．请设计一个方案，包括： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并画出示意图,在图中标出）； 【答案】测出， ， ，如图D 1.6.3-1. 图D 1.6.3-1 47 （2）用文字和公式写出计算塔高的步骤，并写出 的表达式． 【答案】第一步:求出 . , , , , . 第二步：求出 . 在中， , . 48 图1.6.3-8 8.如图，在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点 处， 一艘货轮在点东偏北 方向的点 处行驶着，通过雷达监 测，发现在点北偏东 方向且距离点海里处的点 处 出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距 海里，且护卫舰 距离货轮比距离海盗船更近． 49 （1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离； 【答案】由题图知，在中， ， ， ， 由余弦定理知， ， 即 ， 整理得 ， 解得或 ， 又，所以 ， 即发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为 海里. 50 （2）护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以 海里/时的速度追击海盗船，与 此同时，海盗船开始以20海里/时的速度沿着北偏西 方向逃窜，求护卫舰能追捕 到海盗船的最短时长以及最佳追击方向． 51 【答案】设护卫舰与海盗船在点 处相遇， 在中， ， ， 设追击时间为小时，则， ， 由余弦定理得， ， 即 ， 化简得，解得或 （不合题意，舍去）， 所以护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为 小时， 此时， ， 所以是等腰三角形，此时 ， 即最佳追击方向是正北方． 52 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 53 $