1.3 向量的数乘课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.3 向量的数乘 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的数乘 1 向量的数乘的定义 一般地，实数 与向量的乘积是一个向量，记作，称为的 倍，它的长度 . 当时，的方向与 的方向相同； 当时，的方向与 的方向相反; 当时，当时，;当时， .因此当 时，或 . 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘 实数与向量可以相乘，但是不能相加减， 如, 为任一实数均没有意义 . . . 6 2 向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或 的反方向放大或缩小. 3 向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算（运算结果仍是一个向量）. . . 7 学思用·典例详解 例1-1 [多选题]已知, 为两个非零向量，下列说法中正确的是( ) ABC A.与的方向相同，且 B.与的方向相反，且 C.与 是一对相反向量 D.与 是一对相反向量 8 【解析】A正确,，与的方向相同，且 （先从实数的正负判 断两向量方向的关系，再找两向量模的关系） B正确,,与的方向相同，且,又，与 的方向相 反，且,与的方向相反，且 . C正确,与 的长度相等，方向相反，是一对相反向量. D不正确,,与 是一对相同的向量. 9 知识点2 共线向量 1 向量共线的定义 当非零向量,方向相同或相反时，我们称, 共线或平行，并且用符号“//”来表 示它们共线（或平行），记作 . 2 向量共线定理 两个向量平行的充要条件是其中一个向量是另一个向量的实数倍.即 存 在实数 ,使得或有时也描述为:向量与 共线的充要条件是存 在唯一一个实数，使 .#1 . . . . 10 特别提醒 对共线（平行）向量的四个提醒 1.平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量 所在直线是可以重合的． 2.共线向量与相等向量的关系：共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定 是共线向量. 3.由于零向量的方向是任意的，可以看成与任何一个向量方向相同，因此，零 向量与所有的向量平行. 4.向量相等具有传递性，即若,,则 .而向量的平行不具有传递性 （当时,,可以是任意向量，不一定平行），即若,,未必有 .#1.1.1.4 . . . . . . . . . . 11 3 向量的夹角 设，是两个非零向量，任选一点,作, ,则 称为向量,所成的角（也称夹角），记作, . 向量夹角的取值范围为，并且,, . 知识剖析 （1）当时，,方向相同;当 时，, 方向相反.这两种情形下 ,共线；当 时，,不共线，特别地，当时，与垂直,记作 . （2）由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以与任意向量 的夹角为0, 此时零向量与平行，也可以与的夹角为，此时零向量与 垂直. 12 4 共线向量的运算 （1）单位向量 我们把长度为1的向量称为单位向量.任一非零向量 都有与它方向相同的唯一单 位向量 . （2）共线向量的运算 在一条直线上任取单位向量，则该直线上的任何一个向量都可写成 ， 其中实数的绝对值代表向量的模，的正负代表与 的方向相同或相反.反过来， 任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数 的绝 对值，且方向与实数 的符号一致. 于是，实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系. 13 5 向量的数乘运算律 一般地，设，是任意向量，, 是任意实数，则如下运算律成立: 注意POINT 注意与实数运算律进行对比. （1）对实数加法的分配律: . （2）对实数乘法的结合律： . （3）对向量加法的分配律: . 14 学思用·典例详解 例2-2 如图1.3-1所示，找出其中的单位向量、共线的向量，并写出共线向量之间的 线性关系（每个小方格的边长为1）. 图1.3-1 【解析】不难看出,为单位向量，且,且,且 . 15 例2-3 [多选题]下列结论中正确的是( ) BD A.若两个非零向量平行，则它们的夹角为0 B.若向量与都是单位向量，则，但与 不一定相等 C.若向量与是平行向量，则与 的方向相同 D.若两个非零向量,满足,则, 【解析】对于A，若两个非零向量平行，则它们的夹角为0或 , 错误； 对于B，与都是单位向量，则 ，但它们的方向不一定相同， 正确； 对于C，两个平行向量，可能同向，也可能反向， 错误； 易知D正确. 16 例2-4 如图1.3-2,等边三角形中，点,,分别是边,, 的中点，指出如下 各组向量的夹角. 图1.3-2 （1）与 ; 【解析】与的夹角是 . （2）与 ; 【解析】因为,所以与的夹角等于与 的夹角（向量起点不一样， 转化求解），即 . . . 17 （3）与 . 【解析】如图1.3-3，延长至，使,则,则与 的夹角等于 与的夹角（所求夹角不是 ,而应是其补角）, 图1.3-3 即 . . . . . 18 例2-5 判断下列各小题中的向量,是否共线（其中, 是两个不共线向量）. （1）, ; 【解析】,与 共线. （2）, ; 【解析】,与 共线. （3）, . 【解析】设,则 , . 与是两个不共线向量， 这样的 不存在，因此与 不共线. 19 释疑惑 重难拓展 知识点3 三点共线定理 1 三点共线的判定定理 利用向量共线定理可以判断三点共线，那么如何利用向量共线的判定定理来寻 找三点共线的判定定理呢？#1 20 教材深挖 POINT 该知识点是针对教材第21页【习题1.3】第8题的拓展. 我们知道，对于平面内任意三点，，，若存在一个实数 使得 （或或），则根据向量共线的判定定理可知向量 （或或）.又由它们具有公共点（或或）可知三点,, 共线. 所以我们有：对于平面内任意三点，，，为不同于，， 的任意一点， 设,若实数 , 满足，则三点，， 共线. 事实上，由，可得 ，代入 可得 ,即，也即.从而，， 三 点共线.#1.1.4 21 2 三点共线的性质定理 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理. 若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设 , 则存在实数 , 使得 . 事实上，若三点，，共线，则一定存在实数使得 .即 ,从而，令, ，则 . 22 3 三点共线定理 综上，我们得到如下的三点共线定理:已知平面内三点,,,为不同于,, 的 任意一点，,，三点共线当且仅当存在实数 , 使得 ,且 注意是存在 , ，且,并非一定有.如,为线段 的三 等分点时，, , 不唯一，当 在直线 外时，则一定有 . . . . . 23 学思用·典例详解 例3-6 已知,,三点共线,为直线外任意一点,若,则 ___. 1 【解析】 由于,,三点共线,所以向量, 在同一直线上, 由向量共线定理可知,必定存在实数 使 , 即 , 所以 , 故, , 即 . 由三点共线的性质定理可知， . 24 例3-7 已知点分有向线段的定比为，即， 为平面内任意一 点，证明： . 【解析】对于，有 ， 则 ， 因为 ， 所以（事实上，,不难发现 ，这意味 着，， 三点共线）. . . 25 题型解析 03 题型1 向量的线性运算 1 化简 例8 [教材改编P20练习 T2]化简下列各式： （1） ； 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 . 27 2 解方程（组） 例9 若,,其中,是已知向量，求, . 【解析】把已知中的两个等式看成关于, 的方程， 联立得方程组 （解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次 方程组的方法相同）解得 . . 28 解决向量的线性运算问题的基本方法 向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看 作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意 义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求 向量当作未知量，利用解代数方程（组）的方法求解. 29 【学会了吗丨变式题】 1.（1）设向量,,求 . 【答案】原式 . （2）已知与，且,，求, . 【答案】由解得 30 题型2 用已知向量表示相关向量 图1.3-4 例10 (2025·广东省佛山市期中)如图1.3-4，在 中， ,,是的中点，是的中点，则 ( ) D A. B. C. D. 31 思路一 思路二 32 【解析】 （利用中点向量公式） ,,是的中点， 是 的中点, . （利用向量的加减法法则） . 33 链接教材 （链接教材第19页例4）如图1.3-5所示，中，边的中点为 ， 重心为，为平面内任意一点，则 ,我们称此结论为中点向量公式. ,我们称此结论为三角形重心的向量公式. 图1.3-5 34 用已知向量表示相关向量的基本思路 用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数 乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似 三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 35 【学会了吗丨变式题】 图1.3-6 2.如图1.3-6，四边形是以向量, 对应的线 段为邻边的平行四边形，对角线交于点，且 ， ，试用向量,表示，， . 【答案】 , , . , . . 36 题型3 向量共线定理的应用 1 向量共线的判定 例11 已知，为两个不共线的向量，且四边形满足 , , . （1）将用， 表示; 【解析】 . 37 （2）证明:四边形 为梯形. 【解析】因为（写成 的形式是关键）， 所以与同向，且的模为的模的2倍,所以在四边形中, ,且 ,所以四边形 是梯形. . . . . 38 解决向量共线的判定问题的基本方法 向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在实数 ，使得 ,则向量与非零向量 共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来 表示，进而互相表示，由此判断共线. 39 2 证明三点共线 图1.3-7 例12 如图1.3-7，在平行四边形中，，， 为中点，为上靠近点的三等分点，求证：，， 三 点共线. 40 【解析】， ， . 为上靠近点 的三等分点， . 在平行四边形中， ， . ① 为 中点， . ② 由①②可得 . 由向量共线定理知， . 又与有公共点，，， 三点共线. 41 三点共线问题的求解思路 设,, 为平面上的三点. 1.以其中一点为起点，其余各点为终点构建向量，利用向量共线定理证明向量共线， 即得三点共线. 2.在平面上任取一点（异于,,三点），构建向量,,,若存在实数 ， 使得，且，则点,, 共线. 42 【学会了吗丨变式题】 3.(2025·安徽省宿州市第二中学月考)已知向量与向量不共线， , , ,则一定共线的三点是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】对于A,,,,又 与有公共点， 点,, 三点共线，故A正确. 对于B, 不存在实数 ，使得,与不共线，即,, 三点不共线， 故B错误. 对于C, 不存在实数 ，使得,与不共线，即,, 三点不共线， 故C错误. 对于D,, 不存在实数，使得,即,, 三点不共线，故D错误. 43 题型4 向量线性运算在三角形中的运用 1 判断三角形的形状 例13 (2025·山西省运城市期末)若是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状为( ) D A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【解析】 ， , ， 以， 为邻边所作的平行四边形为矩形， ． 为直角三角形.（由于不一定等于，因此 不一定为等腰直角三角 形） 44 2 求三角形的面积之比 例14 已知在所在的平面内有一点，满足，则 与 的面积之比是____． 2:3 【解析】因为 ， 所以 ， 所以点在边上，且是靠近点 一侧的三等分点， 所以和 的面积之比为2:3. 45 【学会了吗丨变式题】 4.点在内部，满足,则 _____. 图D 1.3-1 【解析】根据题意，分别延长至，至，至 ， 使，， ，如图D 1.3-1所示. 由,得 , 所以点是 的重心， 所以 . 设,则, , 所以 . 46 3 解决三角形的四心问题 温故知新 三角形的“四心” （1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三 角形三边的距离相等． （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到 三角形三个顶点的距离相等．若是内一点，满足 ，则 点为 的外心． 47 （3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点． （4）三角形的重心：三角形三条中线的交点．重心将中线长度分成.若 是 内一点，且满足，则是 的重心．反之亦成立. （教材链接：教材P21 T11） 48 母题 致经典·母题探究 例15 (2025·华东师范大学第二附属中学调研)是平面上一定点，，， 是平面上 不共线的三个点，动点满足，，则点 的轨迹 （符合一定条件的点的全体组成的集合）一定通过 的( ) B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 . . 49 【解析】，（（表示与非零向量 同向的单位向 量））. 令,则,即 . 又是以为起点，向量与 对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即 在 的平分线上. 故点的轨迹一定通过 的内心. 名师点评 解题时一定要灵活运用平面几何中图形的几何性质，如菱形的对角线平分 其内角. . . . . 50 子题 若将上述例题中的条件“, ”改为“ ,”，则点的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 【解析】由,，得，则 与 的边上的中线共线，由，知点的轨迹通过 的重心. 51 新考法 情境应用 图1.3-8 例16 新情境 赵爽弦图 (2025·陕西省西安市铁一中模拟)我国古代 人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早 的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人 称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用作第 24届国际数学家大会的会标．如图1.3-8，大正方形 是由4个全 等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，， 为的中点，则 ( ) A A. B. C. D. 52 【解析】如图1.3-9，过点作,,垂足分别为, . 图1.3-9 由题意得，,，四边形 为矩形， ,记，即 . 53 设,则 , 则,解得 ， 所以，由,得 ， 所以 ， 所以,所以 . 54 考情揭秘 高考以向量的数乘为载体，从代数和几何两个方面考查向量的线性运算，既有单独 命题，又作为一种运算工具融入整个向量的运算体系中，和其他知识点综合在一起 命题，以选择题和填空题为主，难度较小. 核心素养：数学运算（向量的线性运算等），直观想象（画出草图，以形助数等）. 55 考向1 向量的线性运算 例17 (2022·新高考全国Ⅰ卷)在中，点在边上，.记 , ,则 ( ) B A. B. C. D. 56 【解析】如图1.3-10， 图1.3-10 因为，所以 , 所以 . 57 命题探源 本题考查利用已知向量表示相关向量，试题较为简单，重视对基础知识 的考查. 素养探源 素养 考查途径 直观想象 问题解决中需要通过作图辅助思考. 数学运算 向量的线性运算. 58 变式探源 (新高考全国Ⅱ卷)若为的边的中点，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为是 的中点， 所以 ， 即 ， 所以 ，故选A. 因为是 的中点， 所以 ， 所以 ，故选A. 59 考向2 中点向量公式的应用 例18 (2025·北京)已知平面直角坐标系中，, ，设 ，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 60 给什么 得什么 ,，且,是动点，注意到点 是一个定点. 求什么 想什么 ，其中为 的中点 . 差什么 找什么 【确定点的轨迹】是以 为斜边的直角三角形，且 点的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆. 【数形结合思想】 的取值范围. 【解析】因为,,所以,所以 , 61 图1.3-11 如图1.3-11，设为线段的中点，连接 ，则 ,所以点的轨迹是以点 为圆心，1为半径 的圆. 连接， ,则 . 因为点,，所以 ,又 ,所以 ,所以 ，故选D. 62 提分 探源 上述解法将转化为，若没有联想到点 的轨迹是个 圆，则依旧不知所措，能否另辟蹊径呢？我们知道 ，那么是否能将 转化为模已知的 向量之和（差）呢？由此，我们即可得到以下解法. 63 提分 探源 解析 连接,因为,,所以 ，则 ， 设为线段的中点，连接，则, , 由可知， , 则， 即 ， 所以 . 续表 64 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·广东省广州二中期中)如图1.3-12，在中，点是 上的一 点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点, ，且 , ，则下列结论正确的是( ) BCD 图1.3-12 A. B.若是的中点，则 C.若是的中点，则 D.若,，则 65 【解析】 ，A错误； 若是的中点，则 ， ,, 三点共线， ，得 ，B，C正确； 当,时，设且 ，则 ， ,,三点共线，，解得 ，D正确. 故选 . 66 2.[多选题](2025·福建省安溪俊民中学质检)设点是 所在平面内一点，则下列 说法中正确的 是( ) ACD A.若，则点是边 的中点 B.若，则点在边 的延长线上 C.若，则点是 的重心 D.若，且，则的面积是面积的 67 【解析】若，则点是边 的中点，故A正确； 若，则有，即，则点在边 的延长 线上，故B错误； 若，即，则点是 的重心，故C正确； 若，且，则可得，设 ， 易得为的中点，则的面积是面积的，故D正确．故选 . 68 知识测评 04 1.(2025·河南省周口市期中)设,分别为两边,的中点，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为,分别为两边, 的中点， 所以 . 70 2.(2025·广东省茂名市期中)设向量，不共线，向量与 共线，则实数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为与共线，且 ， 所以存在，使得 ， 即 ， 因为向量，不共线，所以， ， 解得， . 71 3.在中，为的中点，为线段上一点，若，则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图D 1.3-1，为 的中点， 图D 1.3-1 ,且为线段上一点，,解得 . 72 4.(2025·山西省名校联考期末)已知点为所在平面内一点，且 ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，即 ，所以 .故选B. 73 5.已知向量，，，， ，则一定共线的三 点是( ) A A.,, B.,, C.,, D.,, 【解析】因为，所以，， 三点共线，A正确； 因为，，所以， 不一定共线，B错误； 因为，，所以， 不一定共线，C错误； 因为，，所以， 不一定共线，D错误. 74 图1.3-1 6.［多选题］(2025·广东省揭阳市期末)如图1.3-1，在平行四边 形中，，分别是 边上的两个三等分点，则下列选 项正确的有( ) ABD A. B. C. D. 75 【解析】对于A，由题意知，，分别是边上的两个三等分点，且与 方向 相同，则 ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，,，所以 ，故D正确．故选 ． 76 7.(2025·江西省南昌市月考)已知，点是内一点且 ， 则 的面积为__. 【解析】取的中点,, , ,, . 77 图1.3-2 8.(2025·江西省上饶市弋阳一中月考)如图1.3-2，在 中，，．设， ． （1）用，表示， ； 【答案】 ， （2）若为内部一点，且．求证：，， 三点共线． ． 【答案】 ， 所以与共线且有公共点，所以，， 三点共线． 78 高考模拟 05 9.(2025·湖南省长沙市望城区第一中学期末)中，点在边上，平分 . 若，，，，则 ( ) B A. B. C. D. 80 【解析】如图D 1.3-2, , 图D 1.3-2 （角平分线定理）. . . 81 10.(2025·江西省上饶市期末)已知平面上不共线的四点,,, ,满足 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】由，得，即 ，所以 ，所以 ， 因为，所以 ， 所以 .故选A. 82 11.(2025·安徽省安庆市太湖县月考)已知是的边的中点，点在 上，且 满足，则与 的面积之比为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为是中点，所以 , 设,分别是,的边 上的高， 在中，可得 ①， 在中， ②, 83 由已知条件知 ③, 将①②代入③整理可得 ④, 因为是的中点，所以 ⑤, 由⑤和④可得,则 , 与的面积之比为 , 即与的面积之比为 . 84 12.新情境 欧拉线定理 [多选题](2025·山东省潍坊第一中学月考)数学家欧拉在1765 年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为 欧拉线定理．设点，，分别是的外心、重心、垂心，且为 的中点， 则( ) ABD A. B. C. D. 85 图D 1.3-3 【解析】 如图D 1.3-3所示，点，，分别是 的 外心、重心、垂心，且为 的中点，由欧拉线定理得重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， . 对于A，是的重心，是 的中点， ，， ， ，故A正确； 86 对于B，设是的外心，则点到三个顶点的距离相等， ， 故B正确; 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ， ，故D正确.故选 ． 87 13.设是的重心，且，则 __. 【解析】是的重心， , . , , 整理为 . 与不共线, ， , ． 88 14.(2025·河南省南阳市期中)在中，，，，为 的 内心，且，则 __. 图D 1.3-4 【解析】为直角三角形，设的内切圆半径为 .如 图D 1.3-4，过点作于点，于点 ,可得四 边形 为正方形. , ，（等面积法） . ， ， ， . . . 89 15.(2025·陕西省榆林市期中)设为的重心，为的重心，过作直线 分别交线段，（不与端点重合）于，．若， ． （1）求证： 为定值； 【答案】如图D 1.3-5，连接并延长交于点，则点是 的中点. 图D 1.3-5 90 设，，则 ， ， ，所以 . 又， ， 且，，三点共线，故存在实数 ，使 ， 所以（【详解】,, ） ，即为定值. . . 91 （2）求 的取值范围． 【答案】因为，，且由（1）得 ， 令,即,所以,所以,即,又,所以 . ， 所以当，即时，取得最大值，此时取得最小值 ； 当或时，即或时，取得最小值5，此时取得最大值 . 故的取值范围为 . 92 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 93 $