1.3 第1课时 向量的数乘课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.3 第1课时 向量的数乘 如图，我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍. 类比思考：如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？ 则OB=OA+AB=a+a. 已知=a,在OA的延长线上作=a，如图， → → → O B A a a 2a OB与OA的方向相同，即|2a|=2|a|. → → 一、向量的数乘 你能描述 , 的关系吗？ → 于是，很自然地将OB=a+a定义为a的2倍，记作2a. O C B A a a -2a 2a 我们还可在图中作OB的相反向量OC,则OC=-OB=-2a， → → → → OC与OB的方向相反，即|-2a|=2|a|. → → 你能描述 , 的关系吗？ → 同样可将OC=-2a定义为a的-2倍，记作-2a. 1.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作 ，称为a的λ倍，它的长度|λa|= . (1)当λ≠0且a≠0时， (2)当λ=0或a=0时，λa=0·a= 或λa=λ·0= . λa |λ||a| λa的方向 0 0 归纳总结 注意：λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向 . 3.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称 .向量线性运算的结果 仍是一个 . 放大或缩小 向量的线性运算 向量 O M B A N 例1 如图，在△OAB中，M、N分别是OA、OB的中点.设MO=a,ON=b,试用a, b表示MN,AB.并比较MN与AB的长度和方向. → → → → → → 你还记得用已知向量表示未知向量的步骤吗？ O M B A N MN=MO+ON=a+b. AB=AO+OB=2a+2b=(a+a)+(b+b) =(a+b)+(a+b) =2MN. 故AB与MN方向相同，且|AB|=2|MN|. → → → → → → → → → → → 解： 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 例1 如图，在△OAB中，M、N分别是OA、OB的中点.设MO=a,ON=b,试用a, b表示MN,AB.并比较MN与AB的长度和方向. → → → → → → 已知OA=a, 二、共线向量 O A a → 在直线OA外任取一点O´，从点O´出发作O´B=3a，O´C=-3a. → → O´ B 3a C -3a 说一说：观察上图，你有什么发现？ 向量a与λa(λ∈R)可分別用同一条直线上的有向线段表示，也可分别用相互平行的有向线段表示. 一般地，如果非零向量a, b方向相同或相反，则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示. 因此，当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a, b共线，也称a，b平行，并且用符号“//”来表示它们共线(或平行)，记作a//b. 由于零向量的方向是任意的，可以看成与任何一个向量方向相同，因此我们规定:零向量与所有的向量平行. 由此我们可以得出： 由向量平行和向量数乘的定义可以推知: 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍. a//b 存在实数λ，使得b=λa或a=λb. 平行包含共向、反向两种情况，我们如何直观判断两个向量是否平行呢？ 两个向量是否共线，可从它们的夹角来判断: O B A b a b a 如图，设a,b是两个非零向量，任选一点O,作OA=a,OB=b,则射线OA, OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角，记作<a,b>，取值范围规定为[0,π]. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并有<a,b>=<b,a>. 三、向量的夹角 当θ=0时，a, b方向相同; 当θ=π时，a, b方向相反. 这两种情形下a, b所在直线重合，即a, b共线. 可以规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直. O B A b a b a 当0<0<π时,a, b所在直线相交于点O,即a,b不共线. 1.共线向量 当非零向量a，b方向 时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作 ，并规定 与所有的向量平行. 2.向量共线定理 a∥b⇔存在实数λ，使得 (a，b为非零向量). 3.向量的夹角 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O， 作=a，=b，则 称为向量a，b所成的角 (也称夹角)，记作〈a，b〉. 相同或相反 a∥b 零向量 b=λa或a=λb ∠AOB=θ 归纳总结 14 (2)范围：向量a，b夹角的范围是 . ①当θ= 时，a，b方向相同； ②当θ= 时，a，b方向相反； ③当 <θ< 时，a与b所在直线相交于点O； ④当θ=____时，a与b垂直，记作 . (3)零向量：由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. [0，π] 0 π 0 π a⊥b 归纳总结 15 (1)相等向量是共线向量，但共线向量未必是相等向量. (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 注意： 向量的夹角 是哪一个？ 16 例2 （小组合作解决问题） (1)根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. ①=； 解：①∵=，∴AD∥BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. ②=； ③=，且||=||. ②∵=，∴AD∥BC，AD≠BC. ∴四边形ABCD是梯形. ③∵=，且||=||， ∴四边形ABCD是有一组邻边相等 的平行四边形. 即四边形ABCD是菱形. 17 (2)已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少？a-b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则=a+b，=a-b. 因为|a|=|b|=2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB=60°，所以的夹角为30°，的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60°. 18 1.在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是（ ） A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 解：如图，作向量=，则∠BAD是的夹角，在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°，即的夹角是120°. C 19 根据以下关键词，梳理本节课知识框图，谈谈你的收获. (1)向量的数乘运算. (2)共线向量及其判断方法. (3)向量的夹角. 1.对非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解：由a+b=0得a=-b,故a//b，但a//b不一定得a+b=0,故选A。 2.已知非零向量a，b满足a=4b，则（ ） A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解：∵a=4b，4>0，∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同. C 3.在▱ABCD中，=2a，=3b，则等于（ ） A.a+b　 B.a-b　 C.2a+3b　 D.2a-3b =+=2a+3b. C $