6.2.2 向量的减法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.2　向量的减法运算 【学习目标】 　　1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,并理解其几何意义. 　　2.会作出两个向量的差. ◆ 知识点一　相反向量 定义 与向量a长度　　　　,方向　　　　的向量,叫作a的相反向量,记作-a  性质 -(-a)=　　　  零向量的相反向量仍是零向量 a+(-a)=(-a)+a=　　　  如果a,b互为相反向量,那么a=　　　　,b=　　　　,a+b=　　　　  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相反向量就是方向相反的向量. (　 ) (2)向量与互为相反向量. (　 ) (3)-=,-(-a)=a. (　 ) ◆ 知识点二　向量减法及其几何意义 1.向量减法的定义 向量a加上b的　　　　　,叫作a与b的差,即a-b=　　　　.求两个向量差的运算叫作向量的　　　　.   2.向量减法的几何意义 如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则-=　　　　=a-b,即a-b可以表示为从　　　　　　　指向　　　　　　的向量.   3.|a-b|与|a|,|b|之间的关系 (1)对于任意向量a,b,都有 　　　　≤|a-b|≤　　　　;  (2)当a,b共线且同向时,有|a-b|=　　　　或　　　　;  (3)当a,b共线且反向时,有|a-b|=　　　　.  【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　 ) (2)向量a和向量b的差与向量b和向量a的差互为相反向量. (　 ) 2.如图所示, 在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为　　　　.   ◆ 探究点一　向量的减法及其几何意义 例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 变式 [教材P12例3改编] 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d. [素养小结] 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作a,-b,然后作a+(-b)即可. (2)也可以直接用向量减法的几何意义,即使两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 探究点二　向量加减法的基本运算 例2 (1)[2025·泰安高一期中] 下列向量的运算结果不正确的是 (　 ) A.+= B.-= C.-(+)= D.-+=0 (2)化简: ①(-)-(-); ②(++)-(--). 变式 化简:(1)-+-=　　　　;  (2)++-=　　　　;  (3)-++=　　　　.  [素养小结] (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和; ②起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用. ◆ 探究点三　向量减法及其几何意义的应用 例3 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形内一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示与. 变式 (1)已知平面内的四边形ABCD和点O,设=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,试判断四边形ABCD的形状. (2)[教材P23习题6.2T7节选] 已知a,b为两个非零向量,当向量a,b成什么位置关系时,满足|a+b|=|a-b|? [素养小结] 向量减法的几何意义:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点字母,以被减向量的终点字母为终点字母.此类问题要根据图形的几何性质,运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题,若题目中遇到共起点的向量,则常常创造条件作差,要特别注意向量的方向. 6.2.2　向量的减法运算 【课前预习】 知识点一 相等　相反　a　0　-b　-a　0 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 知识点二 1.相反向量　a+(-b)　减法 2.　向量b的终点　向量a的终点 3.(1)||a|-|b||　|a|+|b|　(2) |a|-|b|　 |b|-|a| (3)|a|+|b| 诊断分析 1.(1)√　(2)√ 2.a+c-b　[解析] 连接AC,则=-=+-=a+c-b. 【课中探究】 探究点一 例1　解:方法一:如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,连接BC,则=b-c. 过点A作AD∥BC,且AD=BC,连接OD,则=b-c, 所以=+=a+b-c. 方法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b, 连接OB,则=a+b,再作=c,连接CB,则=a+b-c. 方法三:如图③,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 变式　解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d, 则a-b=,c-d=. 　　　　　　　　探究点二 例2　(1)C　[解析] +=,故A中结果正确;-=,故B中结果正确;-(+)=-=,故C中结果错误;-+=+=0,故D中结果正确.故选C. (2)解:①方法一:原式=--+=+++=(+)+(+)=+=0. 方法二:原式=--+=(-)-+=-+=+=0. 方法三:设O是平面内任意一点,连接OA,OB,OC,OD,则原式=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0. ②(++)-(--)=(+)-(-)=-=0. 变式　(1)0　(2)0　(3)　[解析] (1)-+-=(+)-(+)=-=0. (2)++-=(+)+(-)=+=0. (3)-++=++-=. 探究点三 例3　解:=-=c-a,=-=c-b. 变式　解:(1)∵a+c=b+d,即+=+,∴-=-,即=,∴BA∥CD且BA=CD,故四边形ABCD是平行四边形. (2)当a与b垂直时,满足|a+b|=|a-b|,如图,作矩形ABCD,令=a,=b,所以||=|a+b|,||=|a-b|,即|a+b|=|a-b|. 学科网（北京）股份有限公司 $