6.2.1　向量的加法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 【目标认知】 　　1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和. 　　2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算. ◆ 知识点一　向量加法的定义及运算法则 1.向量加法的定义 求　　　　　　　的运算,叫作向量的加法.  2.向量加法的运算法则 三角形法则 平行四边形法则 前提 已知非零向量a,b 已知不共线的两个向量a,b 作法 在平面内任取一点A,作=a,=b,则=　　　  作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC,则=+=a+b 结论 向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+= 对角线就是a与b的和 图形 特例 对于零向量与任意向量a,我们规定　　　　=　　　　=　　　　  三角 不等式 |a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量相加的结果可能是一个数量. (　 ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. (　 ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. (　 ) 2.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示什么? ◆ 知识点二　向量加法的运算律 运算律 交换律 a+b=　　　  结合律 (a+b)+c=　　　  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)0+a=a+0=a.(　 ) (2)(a+b)+c=a+(c+b). (　 ) (3)+=0. (　 ) (4)++=. (　 ) ◆ 探究点一　向量加法的三角形法则与平行四边形法则 例1 (1)如图,已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出①②③中的向量a+b.(不写作法,画出图形即可) ① 　② 　③ (2)已知向量a,b(如图),请用向量加法的平行四边形法则作出向量a+b.(不写作法,画出图形即可) 变式 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式: (1)+=　　　　;  (2)+=　　　　;   (3)+=　　　　;  (4)+=　　　　;  (5)+=　　　　.   [素养小结] (1)在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和. (2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量. 拓展 [教材P10练习T2改编] 当非零向量a,b满足什么条件时,|a+b|=|a|+|b|? ◆ 探究点二　向量的加法运算及运算律 例2 [教材P22习题6.2T4节选] 化简: (1)++; (2)(+)++; (3)+++. 变式 如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,O为AD,BE,CF的交点,化简下列各式: (1)++; (2)++; (3)++. [素养小结] 解决向量的加法运算问题时应注意两点: (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 拓展 已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于　　　　.  ◆ 探究点三　向量加法的实际应用 例3 [教材P9例2] 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°). 变式 甲、乙、丙、丁四个机器人按下列路线组织传球:甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙,然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙,机器人丙再按西南方向将球传 m给机器人丁,利用向量加法求出球的位移向量,并确定此向量模的大小. [素养小结] 应用向量解决实际问题的基本步骤 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算答案 【课前预习】 知识点一 1.两个向量和　2.a+b　a+0　0+a　a 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)× 2.解:a+b表示“向东南航行 km”. 知识点二 b+a　a+(b+c) 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)①如图. ②如图. ③如图. (2)如图. 变式　(1)　(2)　(3)　(4)　(5)0 [解析] (1)根据向量加法的三角形法则可得+=. (2)由图知,四边形OABC为平行四边形,∴+=. (3)由图知,=,∴+=+=. (4)由图知,=,∴+=+=. (5)∵=,∴+=+,又=,∴+=+=0. 拓展　解:当非零向量a,b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|. 探究点二 例2　解:(1)原式=+=0. (2)原式=+++=. (3)原式=+++=. 变式　解:(1)++=+=. (2)++=(+)+=+=. (3)++=++=+=. 拓展　30°　[解析] 由++=0得+=,由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形,又OA=OB=OC,所以四边形OACB为菱形,所以△OAC是正三角形,所以∠CAO=60°,所以∠CAB=∠CAO=30°. 探究点三 例3　解:(1)如图,表示船速,表示江水速度,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则表示船实际航行的速度. (2)在Rt△ABC中,||=6,||=15, 于是||===≈16.2. 因为tan∠CAB==,所以利用计算工具可得∠CAB≈68°. 因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°. 变式　解:根据题意画出示意图如图,用A,B,C,D分别表示甲、乙、丙、丁四个机器人的位置,则球的位移为++=,故球的最终位移为. 依题意知△ABC为正三角形,故||=||=||=2 m. 又因为∠ACD=45°,CD= m,所以∠ADC=90°, 所以△ACD为等腰直角三角形,所以||= m. 学科网（北京）股份有限公司 $