6.3.2&6.3.3　平面向量正交分解及加、减运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 　　1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 　　2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算. ◆ 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个　　　　的向量,叫作把向量作正交分解.   2.平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对　　　　叫作向量a的坐标,记作a=　　　　.  其中,x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标,a=(x,y)叫作向量a的坐标表示. 3.特殊向量的坐标:i=　　　,j=　　　,0=　　　　.   4.向量的坐标与点的坐标的关系 设=xi+yj,其中O为坐标原点,则向量的坐标　　　　就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标　　　　也就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同,且与向量的起点、终点无关. (　 ) (2)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. (　 ) (3)与x轴平行的向量的纵坐标为0,与y轴平行的向量的横坐标为0. (　 ) ◆ 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有下表: 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　　  a+b=　　　　　　　　  减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　　  a-b=　　　　　　　　  重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　　　的坐标减去　　　的坐标  已知A(xA,yA),B(xB,yB),则=(xB-xA,yB-yA) 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量=(1,2),=(3,4),则=(4,6). (　 ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. (　 ) (3)已知点A(2,5),B(5,8),则=(3,3). (　 ) ◆ 探究点一　平面向量的正交分解及坐标表示 例1 已知向量a在射线y=x(x≥0)上,且起点为坐标原点O,若|a|=,i,j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量,取{i,j}作为基底,则向量a的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(1,1) B.(-1,-1)C.(,) D.(-,-) 变式 (1)如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上(小正方形的边长为1),若向量a用e1,e2表示为a=xe1+ye2,则x+y=　　　　.  (2)已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,且∠xOA=60°,则向量的坐标为　　　　.  [素养小结] (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点,其终点的坐标即是该向量的坐标. ◆ 探究点二　平面向量加、减运算的坐标表示 例2 (1)[2025·广州高一阶段练] 在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),=(2,-3),则的坐标为 (　 ) A.(5,-1) B.(-6,-1)C.(0,-3) D.(0,3) (2)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(0,5),则a-b+c=　　　　.  变式 (1)设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向同向的单位向量,O为坐标原点,若=i+2j,=2i+4j,则+的坐标是 (　 ) A.(8,11) B.(9,14)C.(3,6) D.(-5,-2) (2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则+=　　　　,-=　　　　.  (3)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则a+b,a-b的坐标分别为　　　　　　　　.  [素养小结] 平面向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. ◆ 探究点三　平面向量坐标运算的综合应用 例3 如图,平面上A,B,C三点的坐标分别为(2,1),(-3,2),(-1,3). (1)写出向量,的坐标; (2)如果四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标. 变式 (1)已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,若A(1,2),B(3,2),则x=　　　　.  (2)已知M(-2,7),N(6,1),点P是线段MN上的点,且=-,则点P的坐标为　　　　.  [素养小结] 平行四边形顶点坐标的求解思路 (1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质,则其对应的向量相等,即向量的坐标相等. (2)当平行四边形的顶点位置未确定时,要分类讨论. 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 【课前预习】 知识点一 1.互相垂直　2.(x,y)　(x,y) 3.(1,0)　(0,1)　(0,0)　4.(x,y)　(x,y) 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√ 知识点二 和　(x1+x2,y1+y2)　差　(x1-x2,y1-y2)　终点 起点 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　A　[解析] 由题意知,a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j,即a=(1,1). 变式　(1)-1　(2) (2,6)　[解析] (1)如图,将a,e1,e2平移至共起点,然后建立平面直角坐标系,则a=(-3,1),e1=(1,0),e2=(-1,1).因为a=xe1+ye2=(x-y,y),所以x-y=-3且y=1,故x=-2,y=1,所以x+y=-1. (2)设A(x,y),则x=4cos 60°=2,y=4sin 60°=6,即A(2,6),故=(2,6). 探究点二 例2　(1)A　(2)(3,-2)　[解析] (1)由已知得=(-3,-2),又=(2,-3),所以=-=(5,-1),故==(5,-1),故选A. (2)∵a=(1,-3),b=(-2,4),c=(0,5),∴a-b+c=(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(1+2+0,-3-4+5)=(3,-2). 变式　(1)C　(2)(5,4)　(-6,-9)　(3)(2,-3),(-4,7) [解析] (1)根据题意,=(1,2),=(2,4),∴+=(1,2)+(2,4)=(3,6).故选C. (2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),∴=(1,5),=(4,-1),=(-5,-4),∴+= (1,5)+ (4,-1)=(5,4),-=(-5,-4)-(1,5)= (-6,-9). (3)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7). 探究点三 例3　解:(1)=(-1-2,3-1)=(-3,2),=(-1+3,3-2)=(2,1). (2)设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y-1), 因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以解得所以点D的坐标为(4,2). 变式　(1)-1　(2)(2,4)　[解析] (1)易得=(2,0),由a=(x+3,x2-3x-4)与相等,得解得x=-1. (2)设P(x,y),∵M(-2,7),N(6,1),=-,∴+=0,即(6-x,1-y)+(-2-x,7-y)=0,∴解得∴P(2,4). 学科网（北京）股份有限公司 $