6.3.1　平面向量基本定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 【学习目标】 　　了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单数学问题. ◆ 知识点一　平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　.  2.基底:若e1,e2　　　　,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.   【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内任意两个向量都可以构成表示该平面内所有向量的一个基底. (　 ) (2)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. (　 ) (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. (　 ) 2.已知平面内的一个基底{e1,e2},平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式,这种表示形式是唯一的吗? ◆ 知识点二　平面向量基本定理的应用 1.平面向量基本定理唯一性的应用 设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则 2.重要结论 设{e1,e2}是平面内的一个基底,若a=λ1e1+λ2e2: ①当λ2=0时,a与e1共线; ②当λ1=0时,a与e2共线; ③当λ1=λ2=0时,a=0. ◆ 探究点一　对基底概念的理解 例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.一个平面内只有一对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底 B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底 C.零向量不可作为基底中的向量 D.一对不共线的单位向量可构成表示该平面内所有向量的一个基底 (2)[2025·山东青岛高一阶段练] 若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中可以作为平面内所有向量的一个基底的是 (　 ) A.e1-2e2,2e2-e1 B.2e1+3e2,3e1+2e2 C.2e2+3e1,6e1+4e2 D.e1-2e2,e2-e1 变式 设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否构成一个基底. [素养小结] 判断两个向量是否能构成一个基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么该平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. ◆ 探究点二　用基底表示平面内的向量 例2 如图,在△ABC中,E是边BC的中点,点D在边AB上,且满足=2,AE与CD交于点P.试用,表示和. 变式 (1)已知e1,e2是不共线向量,且a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,若{b,c}为平面内的一个基底,则a=　　　　(用b,c线性表示).  (2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个三等分点,设=a,=b,则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示)  [素养小结] 用两个不共线的向量构成的基底表示其他向量的基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至能用基底表示;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 拓展 如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F. (1)若=x+y,求x和y的值; (2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值. ◆ 探究点三　平面向量基本定理的应用 例3 [教材P26例2] 如图,CD是△ABC的中线,CD=AB,用向量方法证明△ABC是直角三角形. 变式 如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别是AD,BC的三等分点.设=a,=b. (1)用a,b表示,. (2)若|b|=|a|,则EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 【课前预习】 知识点一 1.不共线　λ1e1+λ2e2　2.不共线 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (3)只有当e1与e2不共线时,才有λ1=λ2=0. 2.解:表示形式是唯一的.理由如下: 若a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,因为e1,e2不共线,所以λ1-μ1=0,λ2-μ2=0,即λ1=μ1,λ2=μ2. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)BCD　(2)B　[解析] (1)只要平面内一对向量不共线,这对向量就可构成表示该平面内所有向量的一个基底,所以A不正确,B,D正确;因为零向量与任意向量平行,所以C正确.故选BCD. (2)因为e1-2e2=-(2e2-e1),所以e1-2e2,2e2-e1不能作为平面内所有向量的一个基底,A不正确;因为2e1+3e2,3e1+2e2不共线,所以2e1+3e2,3e1+2e2能作为平面内所有向量的一个基底,B正确;因为6e1+4e2=2(2e2+3e1),所以2e2+3e1,6e1+4e2不能作为平面内所有向量的一个基底,C不正确;因为e1-2e2=-2,所以e1-2e2,e2-e1不能作为平面内所有向量的一个基底,D不正确.故选B. 变式　解:设存在实数λ,使得c=λd, 则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0. ∵a,b不共线,∴由平面向量基本定理得无解, 从而c,d不共线,∴c,d能构成一个基底. 探究点二 例2　解: 因为=2,所以-=2(-),可得=+. 设=λ=+,因为E是边BC的中点,所以=+, 又P,A,E三点共线,所以+=1,解得λ=, 所以=+. 变式　(1)-b+c　(2)a-b　 -a+b [解析] (1)设a=λ1b+λ2c,则-e1+3e2=λ1(4e1+2e2)+λ2(-3e1+12e2),即-e1+3e2=(4λ1-3λ2)e1+(2λ1+12λ2)e2,∴解得∴a=-b+c. (2)=+=-+=-b+(a+b)=a-b,=+=-+=-a+(a+b)=-a+b. 拓展　解:(1)因为=2,所以=,所以=+=+=+(-)=+,又O是线段AP的中点,所以===+,又=x+y,且,不共线,所以x=,y=. (2)因为=+=+λ=(1+λ),=+=+μ=(1+μ), 由(1)可知=+, 所以=+, 又E,O,F三点共线,所以+=1,可得2λ+μ=3. 因为λ>0,μ>0,所以+=·(2λ+μ)=≥=,当且仅当μ=2λ,即λ=,μ=时取等号, 所以+的最小值为. 探究点三 例3　证明:如图,设=a,=b,则=a+b,=-b,于是=a-b. ·=(a+b)·(a-b)=a2-b2. 因为CD=AB,所以CD=DA. 因为a2=CD2,b2=DA2,所以·=0. 因此CA⊥CB. 于是△ABC是直角三角形. 变式　解:(1)=-=-=b-a, =+=+=+=a+b. (2)EF⊥EG.证明如下: 由(1)知,=b-a,=b+a, ∴·=·=b2-a2=×a2-a2=0, ∴⊥,∴EF⊥EG. 学科网（北京）股份有限公司 $