6.2.4 第2课时　向量数量积的运算律 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　向量数量积的运算律 【学习目标】 　　理解平面向量数量积的运算律,会用数量积判定两个平面向量的垂直关系. ◆ 知识点一　数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=　　　　(交换律).  (2)(λa)·b=　　　　=　　　　(结合律).  (3)(a+b)·c=　　　　　　(分配律).  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)λ(a·b)=(λa)·b. (　 ) (2)a·(b·c)=(a·b)·c. (　 ) (3)·+·=·(+)=·. (　 ) ◆ 知识点二　数量积运算的常用公式 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=　　　  (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=　　　  (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)= 　　　  (a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ca (a+b+c)2= 　　　　　　　  ◆ 探究点一　向量数量积的运算律 例1 (多选题)设a,b,c是不共线的非零向量,则下列结论正确的是 (　 ) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 变式 (多选题)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,下列结论正确的是 (　 ) A.a·b=b·a B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·(b+c)=a·b+a·c D.由a·b=a·c (a≠0),可得b=c ◆ 探究点二　求向量的数量积 例2 (1)[教材P21例12] 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b). (2)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求·的值. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知向量a,b,c满足a+b=-c,|a|=3,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= (　 ) A. B. C.- D.- (2)如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=4,AD=3,点M,N满足=2,=,求·的值. [素养小结] (1)求两个向量的数量积,应首先确定两个向量的模及夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. ◆ 探究点三　向量模、夹角的计算问题 例3 [2025·嘉兴实验高级中学高一期中] 已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,求: (1)|2a-b|; (2)a与a+b的夹角. 变式 (1)[2025·东莞中学高一月考] 如果向量a,b满足|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=81,则a与b的夹角是　　　　.  (2)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,求||. [素养小结] 求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用,在解决与图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的正确计算. ◆ 探究点四　两个非零向量的垂直问题 例4 [教材P21例13] 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 变式 若向量a,b满足|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 解决与垂直有关的问题时要利用a⊥b⇔a·b=0(a,b均为非零向量). 拓展 已知a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 　　　　.  第2课时　向量数量积的运算律 【课前预习】 知识点一 (1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c+b·c 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√ 知识点二 a2+2a·b+b2　a2-2a·b+b2　a2-b2 a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c 【课中探究】 探究点一 例1　ACD　[解析] 根据向量数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为非零向量a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可作为三角形的三边长,所以|a|-|b|<|a-b|,C正确;易知D正确.故选ACD. 变式　AC　[解析] 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故A,C正确,B错误;由a·b=a·c(a≠0),得a·(b-c)=0,从而b-c=0或a⊥(b-c),故D错误.故选AC. 探究点二 例2　解:(1)(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos<a,b>-6|b|2=62-6×4×cos 60°-6×42=-72. (2)∵=-=-,=+=+,∴·=·=-=9-×100=-16. 变式　(1)C　[解析] 因为a+b=-c,所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2,即9+2a·b+4=4,整理得a·b=-,所以a·b+b·c+c·a=a·b-(a+b)·(-c)=a·b-(a+b)2=-(a2+a·b+b2)=-=-.故选C. (2)解:由题意,=+=+,=+=-,所以·=·=-, 因为AD=3,AB=4,所以·=×16-×9=6. 探究点三 例3　解:(1)因为|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°, 所以a·b=|a|·|b|·cos 120°=4×2×=-4, 所以(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-4a·b+|b|2=64+16+4=84,所以|2a-b|===2. (2)因为a·(a+b)=a2+a·b=|a|2-4=16-4=12, |a+b|=== ===2, 所以cos<a,a+b>===, 所以a与a+b的夹角为30°. 变式　(1)　[解析] 因为|a|=3,|b|=4,设a与b的夹角为θ,所以(a+b)·(a+3b)=a2+4a·b+3b2=9+4|a||b|cos θ+3×16=9+4×3×4cos θ+48=81,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角是. (2)解:因为AM,BN分别为BC,AC边上的中线, 所以点P为△ABC的重心,则=. 设=a,=b,则=(+)=(a+b), 所以==(a+b), 故||=|a+b|==×=. 探究点四 例4　解:a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0. 因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0.解得k=±.也就是说,当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直. 变式　B　[解析] 方法一:设向量a与b的夹角为θ,由(a-b)⊥a,得(a-b)·a=a2-a·b=3-2cos θ=0,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,故选B. 方法二:如图,在平面内取一点O,作=a,=b,连接AB,则=-=a-b,因为(a-b)⊥a,所以⊥,则△OAB是直角三角形,又||=|a|=,||=|b|=2,故cos∠AOB==,故∠AOB=,即向量a与b的夹角为.故选B. 拓展　　[解析] 设=a,=b,=c,连接AB,AC,BC,则=a-c,=b-c,因为(a-c)·(b-c)=0,所以·=0,即⊥,所以C在以AB为直径的圆上.设AB的中点为D,连接OD,因为a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,所以||=1,||==,故|c|max=||+=. 学科网（北京）股份有限公司 $