6.2.4.1向量数量积的定义、投影向量 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 【学习目标】 　　1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 　　2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,体会平面向量数量积与投影向量的关系. ◆ 知识点一　向量的夹角 1.定义:如图,已知两个　　　　　a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ　　　　　叫作向量a与b的　　　　.  2.特殊情况:(1)当θ=　　　　时,a与b同向;当θ=　　　　时,a与b反向.   (2)向量垂直:如果a与b的夹角是　　　　,我们说a与b垂直,记作　　　　.   【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为. (　 ) (2)在等边三角形ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为60°. (　 ) 2.向量的夹角的几何意义是什么?向量的夹角的取值范围是什么? ◆ 知识点二　向量的数量积 条件 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ 结论 数量　　　　叫作向量a与b的数量积(或内积)  记法 向量a与b的数量积记作a·b,即a·b=　　　  规定 零向量与任一向量的数量积为　　　  【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量. (　 ) (2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (　 ) (3)若a·b=0,则a⊥b. (　 ) 2.向量的数量积与向量的数乘的区别是什么? ◆ 知识点三　向量a在b上的投影向量 1.投影与变换:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b　　　　,叫作向量a在向量b上的　　　　　　.  2.投影向量的定义:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的　　　　.  3.计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　　.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若|a|=4,|e|=1,a与e的夹角为30°,则a在e上的投影向量为2e. (　 ) (2)向量a在b上的投影向量与b共线,且模为|acos θ|(θ是a与b的夹角). (　 ) ◆ 知识点四　数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=　　　　.   (2)a⊥b⇔　　　　.   (3)当a与b同向时,a·b=　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　.  特别地,a·a=a2=　　　　或|a|=　　　　.  (4)|a·b|≤|a||b|,当且仅当　　　　时等号成立.   (5)cos θ=　　　　.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意向量a,b均有|a·b|=|a||b|. (　 ) (2)若|a|=2,则a2=4. (　 ) (3)设非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”的充要条件是“cos θ>0”. (　 ) ◆ 探究点一　向量的夹角 例1 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少? ◆ 探究点二　平面向量的数量积 例2 已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下a与b的数量积. (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为30°. 变式 (1)已知|a|=1,a与b的夹角为60°,且a·b=,则|b|=　　　　.  (2)[2025·同济大学一附中高一期末] 已知|a|=1,|b|=4,且a与b的夹角为,则a·b=　　　　.  [素养小结] 求平面向量数量积的步骤:(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即a·b=|a||b|·cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,不能用“×”连接,也不能省去. ◆ 探究点三　平面向量的投影向量 例3 已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°,求: (1)向量a在向量b上的投影向量; (2)向量b在向量a上的投影向量. 变式1 [教材P20练习T3] 已知|a|=6,e为单位向量,当向量a,e的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求向量a在向量e上的投影向量. 变式2 (1)[2025·福州高一期中] 已知|a|=3,向量b在a上的投影向量为-a,则a·b=　　　　.  (2)已知A,B两点在圆C上运动,若AB=,则·= 　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 [素养小结] 求投影向量的方法 (1)向量a在向量b上的投影向量的计算公式为|a|cos θ e,其中θ为向量a与向量b的夹角,向量e为与向量b同方向的单位向量,即e=. (2)向量a在向量b上的投影向量为·;向量b在向量a上的投影向量为·. ◆ 探究点四　平面向量数量积的基本性质 例4 给出以下结论:①0·a=0;②若a,b共线,则a·b=|a||b|;③a2=|a|2;④已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;⑤|a·b|≤a·b;⑥若非零向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为 (　 ) A.1 B.2C.3 D.4 变式 (多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若a·b=±|a|·|b|,则a∥b B.若a,b反向共线,则a·b=-|a|·|b| C.若a⊥b,则|a+b|=|a-b| D.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c| [素养小结] 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答,关键是要深刻理解相关知识,特别是那些易与实数运算相混淆的运算律,如消去律、乘法结合律等,当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. 6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 【课前预习】 知识点一 1.非零向量　(0≤θ≤π)　夹角 2.(1)0　π　(2)　a⊥b 诊断分析 1.(1)√　(2)×　[解析] (1)∵a与2a同向,b与-3b反向,∴向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,∴向量2a与-3b的夹角为. (2)由向量夹角的定义知,a与b的夹角为120°. 2.解:向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正向所成的角.向量的夹角的取值范围是[0,π]. 知识点二 |a||b|cos θ　|a||b|cos θ　0 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)× 2.解:向量的数量积是一个实数,不考虑方向;向量的数乘是一个向量,既有大小,又有方向. 知识点三 1.投影　投影向量　2.投影向量　3.|a|cos θ e 诊断分析 (1)√　(2) √　[解析] (1)a在e上的投影向量为|a|cos 30°e=4×cos 30°e=2e. (2)向量a在b上的投影向量为|a|cos θ,它与b共线,且模为|acos θ|(θ是a与b的夹角). 知识点四 (1)|a|cos θ　(2)a·b=0　(3)|a||b|　-|a||b|　|a|2 　(4)a∥b　(5) 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°.以OA,OB为邻边作▱OACB,连接AB,OC,则=a+b,=a-b. 因为|a|=|b|=2,∠AOB=60°, 所以△ABO是等边三角形,四边形OACB是菱形, 所以与的夹角为30°,与的夹角为60°, 即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°. 探究点二 例2　解:设a与b的夹角为θ. (1)当a∥b时,若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos 0°=4×5×1=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=|a|·|b|cos 90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时,a·b=|a|·|b|cos 30°=4×5×=10. 变式　(1)3　(2)-2　[解析] (1)由题知|b|===3. (2)因为|a|=1,|b|=4,a与b的夹角为,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=1×4×=-2. 探究点三 例3　解:(1)∵|b|=1,∴b为单位向量,∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b=3×b=-b. (2)∵|a|=3,∴=a,∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°·=1××a=-a. 变式1　解:当θ=45°时,a在e上的投影向量为|a|cos 45°·e=6×e=3e; 当θ=90°时,a在e上的投影向量为|a|cos 90°·e=6×0×e=0;当θ=135°时,a在e上的投影向量为|a|cos 135°·e=6×e=-3e. 变式2　(1)-6　(2)1　[解析] (1)设向量a,b的夹角为θ,由b在a上的投影向量为-a,得|b|·cos θ·=-a,所以=-,所以a·b=|a|·|b|cos θ=3×(-2)=-6. (2)如图,过点C作CD⊥AB交AB于点D,则D是AB的中点,故·=||·||cos∠CAD=||×||=||2=1. 探究点四 例4　C　[解析] 由平面向量数量积的定义知,①正确;当a,b反向共线时,a·b=-|a||b|,故②错误;③显然正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故④正确;|a·b|=|a||b|·|cos θ|,a·b=|a||b|cos θ,所以|a·b|≥a·b,故⑤错误;当a与b的夹角为0°时,也有a·b>0,故⑥错误.综上可知,①③④正确.故选C. 变式　ABC　[解析] 对于A,设a,b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|cos θ,∴由a·b=±|a||b|及a,b为非零向量,可得cos θ=±1,∴θ=0或π,∴a∥b,故A正确;对于B,若a,b反向共线,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a||b|·cos π=-|a||b|,故B正确;对于C,当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|,故C正确;对于D,当|a|=|b|,但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,|a·c|≠|b·c|,故D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $