9.3旋转同步培优讲义（5大知识点+题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

9.3旋转同步培优讲义 （5大知识点+题型+过关检测） 目录 【知识点1：旋转的基本概念】 1 【知识点2：旋转的性质】 2 【知识点3：旋转作图的步骤】 2 【知识点4：旋转对称图形】 2 【知识点5：中心对称与中心对称图形】 2 【题型1 判断生活中的旋转现象】 3 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 4 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 6 【题型4 根据旋转的性质求解】 8 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 11 【题型6 旋转的性质及辨析】 12 【题型7 画旋转图形】 14 【题型8 利用旋转设计图案】 18 【题型9 旋转对称图形的识别】 19 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 21 【题型11 画已知图形关于某点对称的图形】 23 【题型12 画两个图形的对称中心】 26 【题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 29 【题型14 中心对称图形的识别】 32 【题型15 判断中心对称图形的对称中心】 34 【题型16 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 36 【题型17 中心对称图形规律问题】 39 1. 理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的定义，能准确识别生活中的旋转现象，明确旋转的三个核心要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）。 2. 掌握旋转的基本性质，能运用性质判断旋转前后图形的对应关系，解决角度、线段长度等求解问题，能说明线段或角相等。 3. 掌握旋转作图的基本方法和步骤，能根据已知条件（原图形、旋转中心、旋转方向、旋转角度）画出旋转图形，能利用旋转设计简单图案。 4. 理解旋转对称图形、中心对称、中心对称图形的定义，能准确识别旋转对称图形和中心对称图形，区分三者的联系与区别。 5. 掌握中心对称的基本性质，能画出已知图形关于某点对称的图形、两个图形的对称中心，能根据中心对称的性质求面积、线段长度、角度。03 知识•梳理 【知识点1：旋转的基本概念】 1. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2. 三个核心要素： · 旋转中心：绕着转动的定点（可以在图形上，也可以在图形外）； · 旋转方向：顺时针方向或逆时针方向； · 旋转角度：图形转动的角度（旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角）。 3. 对应关系：旋转后，图形上的每个点都绕旋转中心转动了相同的角度，得到对应的点（对应点）、对应的线段（对应线段）、对应的角（对应角）。 【知识点2：旋转的性质】 1. 对应点：对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心到任意一组对应点的距离都相等）； 2. 对应角：对应角相等（旋转不改变图形的形状和大小，对应角大小不变）； 3. 对应线段：对应线段相等（旋转不改变图形的大小，对应线段长度不变）； 4. 旋转角：所有的旋转角都相等（任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都是旋转角）； 5. 图形特征：旋转前后，图形的形状、大小不变，只改变图形的位置；图形的方向可能改变（区别于平移）。 【知识点3：旋转作图的步骤】 1. 确定原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点等，关键点越多，作图越准确）； 2. 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 3. 分别画出每个关键点绕旋转中心按指定方向转动指定角度后的对应点（画对应点时，确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角等于指定角度）； 4. 按原图形的形状，依次连接各对应点，得到旋转后的图形，并标注旋转中心、旋转方向和旋转角度。 【知识点4：旋转对称图形】 1. 定义：一个图形绕着某一个定点旋转一定的角度后，能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°且小于360°）。 2. 关键说明：旋转对称图形是“一个图形”自身的对称关系，旋转角可以是多个（如正方形绕中心旋转90°、180°、270°都能与自身重合）。 3. 常见例子：正方形、正三角形、正五边形、圆等。 【知识点5：中心对称与中心对称图形】 1. 中心对称（两个图形） 定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点成中心对称，这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（对称点）。 核心性质： 对应点：对应点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；对应线段：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角：对应角相等；两个图形的形状、大小完全相同。 2. 中心对称图形（一个图形） 定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。 关键说明：中心对称图形是“一个图形”自身的对称关系，是旋转对称图形的特殊情况（旋转角为180°）。 常见例子：平行四边形、正方形、长方形、圆、菱形等（注意：等腰三角形、正三角形不是中心对称图形）。 3. 三者的联系与区别 · 联系：中心对称图形是特殊的旋转对称图形（旋转角为180°）；把成中心对称的两个图形看作一个整体，就是一个中心对称图形；旋转、中心对称都不改变图形的形状和大小。 · 区别：旋转是图形的运动方式；旋转对称图形是一个图形自身的对称；中心对称是两个图形的对称，中心对称图形是一个图形自身的对称。 易错点提醒 · 混淆旋转的三个要素：忽略旋转中心、旋转方向或旋转角度，导致判断错误； · 误认为旋转会改变图形的形状或大小，或对应角、对应线段不相等； · 混淆“旋转对称图形”“中心对称”“中心对称图形”：中心对称图形必须旋转180°与自身重合，而旋转对称图形的旋转角可以是任意角度（0°<旋转角<360°）； · 旋转作图时，对应点到旋转中心的距离不相等，或旋转角度错误； · 中心对称作图时，忽略“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，导致作图错误。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题关键：紧扣旋转的定义，判断现象是否满足“绕一个定点、按某个方向、转动一个角度”，且形状、大小不变，排除平移、翻折、缩放等其他运动。 【典例1】．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 跟随训练1-1．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 跟随训练1-2．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题关键：观察图案的形状、大小，判断是否能由一个基本图形，绕某个定点旋转一定角度后得到，确保旋转前后基本图形的形状、大小不变，旋转角度合理。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 跟随训练2-1．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 跟随训练2-2．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题关键：旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点；旋转角是任意一组对应点与旋转中心连线的夹角；对应点是旋转后重合的点，可通过图形的形状、位置对应判断。 【典例3】．如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故选：D． 跟随训练3-1．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 跟随训练3-2．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【题型4 根据旋转的性质求解】 解题关键：运用旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、对应线段相等、对应角相等、旋转角相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小、旋转角度等。 【典例4】．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 跟随训练4-1．如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，它绕着中心点旋转一定的角度后会与本身重合，则旋转角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，正确掌握旋转角的定义是解题的关键． 根据正方形的性质，可得，再根据旋转角的定义和与自身重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 正方形， ，即， 当它绕着中心点旋转后与自身重合，即点旋转至点、、、 旋转角为，，，，即为的整数倍时，会与本身重合， 故选项D符合题意． 故选：D． 跟随训练4-2．已知直线和交于点O，，，平分．射线以每秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线也以每秒的速度绕点O顺时针转动，当射线转动一周时，射线、也停止转动．在射线转动一周的过程中．当时，射线转动的时间为 秒． 【答案】或或 【分析】先依次求得，，，再“与重合前，”、“与重合后，”、“与重合后，在内，且在内，即”分三种情况讨论，分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵直线和交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当与重合前，时，如图， ， 解得：（秒）； 当与重合后，时，如图， ， 解得：（秒）； 当与重合后，在内，且在内，即时，如图， 此时， 解得：（秒）， 综上所述，射线转动的时间为秒或秒或秒， 故答案为：或或​． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，垂线的定义理解，旋转中的规律性问题，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题关键：利用旋转的性质（对应线段相等、对应角相等），结合图形的对应关系，直接说明线段或角相等，注意标注对应关系和旋转的性质依据。 【典例5】．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 跟随训练5-1．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 跟随训练5-2．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转变为， ∴， 故A，B，D选项正确，不符合题意， C选项不正确，符合题意． 故选：C． 【题型6 旋转的性质及辨析】 解题关键：牢记旋转的性质，判断选项是否符合“对应点到旋转中心距离相等、对应线段相等、对应角相等、旋转角相等、形状大小不变”，规避易错点。 【典例6】．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 跟随训练6-1．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 跟随训练6-2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意； C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【题型7 画旋转图形】 解题关键：严格按照旋转作图三步法（找关键点→画对应点→连对应点），确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角度准确，作图规范，标注清晰。 【典例7】．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 跟随训练7-1．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律． （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点； （2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点． 【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点． 顺次连接，得到，即为所求（见下图）． （2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点． 顺次连接，得到，即为所求（见上图）． 跟随训练7-2．如下图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知和直线MN． (1)画出关于直线MN成轴对称的． (2)连接，取线段的中点O，画出绕点O按逆时针方向旋转后得到的（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先确定的三个顶点关于直线的对称点，再依次连接这些对称点，得到轴对称图形． （2）先连接并取其中点，再分别将 三点绕点按逆时针方向旋转，得到对应点，最后连接这些点得到旋转后的． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称与旋转的作图，掌握轴对称作图中找对称点的方法，以及旋转作图中确定旋转中心、方向和角度的步骤是解题的关键． 【题型8 利用旋转设计图案】 解题关键：选择一个简单的基本图形（如三角形、正方形、线段等），确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，多次旋转基本图形，得到对称、美观的图案，注意旋转角度的合理性（如60°、90°、120°等）。 【典例8】．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 跟随训练8-1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 跟随训练8-2．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转的定义，属于中考常考题型. 【题型9 旋转对称图形的识别】 解题关键：紧扣旋转对称图形的定义，判断一个图形是否能绕某一个定点旋转一定角度（0°<旋转角<360°）后，与自身重合，注意区分旋转对称图形与中心对称图形。 【典例9】．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的关键． 将图案绕中心顺时针先旋转，再旋转，得出图形即可； 【详解】解：根据旋转的定义， 图案先旋转，再旋转，得出的图案是选项A． 故选：A． 跟随训练9-1．下列图形绕某点旋转（旋转度数不超过）后，不能与原来重合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：选项的图形绕某点旋转后都能与原图形重合，只有B选项不能． 故选：B． 跟随训练9-2．在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转图形的识别，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形可由平移得到，不能用旋转得到，不符合题意； B. 该图形可由轴对称得到，不能用旋转得到，不符合题意； C. 该图形可由旋转得到，符合题意； D. 该图形不能用旋转得到，不符合题意； 故选：C． 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 解题关键：对于正多边形类旋转对称图形，旋转角度=360°÷边数；对于其他旋转对称图形，找出能使图形与自身重合的最小角度（最小旋转角），或根据图形特征计算旋转角度。 【典例10】．如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 根据旋转对称图形的定义（指绕平面内某定点旋转特定角度后与原图形重合的平面图形，该定点称为旋转中心，最小重合角度称为旋转角）即可求解． 【详解】解：∵阴影图案是由绕点旋转形成的， ∴． 故选：C． 跟随训练10-1．下列图形绕点O旋转后，能与原图形重合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图形的旋转对称性质，判断图形绕点O旋转后是否能与原图形重合即可． 【详解】解：A项：图形中的三角形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故A错误； B项：图形中的正方形绕点O旋转后与原图形的位置和方向没有发生改变，能与原图形重合，故B正确； C项：图形中的五边形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故C错误； D项：图形中的六边形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故D错误， 故选：B． 跟随训练10-2．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及正多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心逆时针至少旋转后能与自身重合， 故选：C． 【题型11 画已知图形关于某点对称的图形】 解题关键：中心对称作图的核心是“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，步骤：找关键点→作对应点（对称中心是关键点与对应点的中点）→连对应点。 【典例11】．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： (1)在网格中画出关于O点的中心对称图形； (2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，旋转作图，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键． （1）连接，并延长使，连接，并延长使，连接，并延长使，得出点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质得出点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求． 跟随训练11-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；点的坐标为 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了中心对称变换． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点的坐标，然后顺次连接即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作；点的坐标为． 跟随训练11-2．如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 【题型12 画两个图形的对称中心】 解题关键：两个成中心对称的图形，对称中心是任意两组对应点连线的交点，因此只需连接两组对应点，作它们的交点，即为对称中心。 【典例12】．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选：C 跟随训练12-1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 跟随训练12-2．如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，画图形的中心对称图形，两个图形成中心对称确定对称中心坐标，求关于原点对称的点的坐标等知识点； 根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； 分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； 根据关于中心对称的两点坐标互为相反数可求的坐标． 【详解】（1）解：分别连接、两点和、两点相交于点,观察图形可知坐标为； （2）如图，即为所求． （3）由（2）知和关于点O中心对称， 为点的对称点， 因为对称点坐标互为相反数， 所以． 【题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 解题关键：利用中心对称的性质（对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称中心平分），结合图形特征，求线段长度、角度、面积（成中心对称的两个图形面积相等）。 【典例13】．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 跟随训练13-1．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 跟随训练13-2．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 【题型14 中心对称图形的识别】 解题关键：紧扣中心对称图形的定义，判断一个图形是否能绕某一个定点旋转180°后，与自身重合，注意区分中心对称图形与旋转对称图形、轴对称图形。 【典例14】．以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线 C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕一点旋转后，图形可以与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：蝴蝶曲线绕任何一点旋转都不能与自身重合，蝴蝶曲线不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：笛卡尔爱心曲线绕任何一点旋转都不能与自身重合，笛卡尔爱心曲线不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：斐波那契螺旋线绕任何一点旋转都不能与自身重合，斐波那契螺旋线不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，科克曲线绕点旋转后可以与自身重合，科克曲线是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 跟随训练14-1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， 故选A 跟随训练14-2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，逐选项判断即可． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求，排除； 选项B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求，排除； 选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求，排除． 故选：C． 【题型15 判断中心对称图形的对称中心】 解题关键：中心对称图形的对称中心，是图形中所有对应点连线的交点，也是图形的对称中心（如平行四边形的对称中心是对角线的交点，正方形的对称中心是对角线的交点）。 【典例15】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 跟随训练15-1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 跟随训练15-2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【题型16 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 解题关键：在方格纸中，利用中心对称的性质（对应点连线经过对称中心且被对称中心平分），先找出已知图形关键点的对称点，再补画对应线段，使图形成为中心对称图形。 【典例16】．如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点， 对称中心的坐标为， 故选：A． 跟随训练16-1．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，解答下列问题： (1)画出向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到的， (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点，的对应点分别为点，），与成______（填“轴对称”或“中心对称”），若是轴对称，请在图中画出对称轴，若是中心对称，请在图中找出对称中心并标注字母． 【答案】(1)见解析 (2)中心对称，对称中心见解析 【分析】本题考查了作图平移变换，旋转变换，熟记平移变换，旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称图形的性质即可得出结论，连接与交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：与成中心对称，对称中心的位置如图所示． 故答案为：中心对称． 跟随训练16-2．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 【题型17 中心对称图形规律问题】 解题关键：观察中心对称图形的排列规律，结合中心对称的性质，找出图形的循环规律、数量规律，进而求解问题，重点关注图形的个数、位置与对称中心的关系。 【典例17】．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 跟随训练17-1．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 跟随训练17-2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 05 过关•检测 1．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 3．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（    ）． A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线 C．笛卡尔叶形线 D．星形线 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断． 【详解】 解：不是中心对称图形，故A不符合； 不是中心对称图形，故B不符合； 不是中心对称图形，故C不符合； 是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 4．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 5．如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 6．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 7．平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 8．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 9．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 10．如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，成中心对称的两个图形的对应点与对称中心的连线的长度相等，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， 故答案为：． 11．如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点 ，此时， ， ， ． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 12．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转 后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转 可得到图②． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角． 观察图①可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数；图②中是把图①作为基本图形，分析可知旋转角就是，结合图①得到的度数，据此解答． 【详解】解：根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， 即绕点逆时针旋转后能够与重合． 根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ∴将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转可得到图②． 故答案为：、． 13．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知，，又知，即可得出的度数． 【详解】解：根据题意知，，由旋转知， ∴． 故答案为：． 14．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断每个图形是否符合条件，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 15．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 【答案】15或60或105或150 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． ①当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可；②当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可． 【详解】解：设经过秒边与三角板的一条直角边（边，平行， 如图，①当时，延长交于点， 当在上方时， ，，， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ②当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，平行． 故答案为：15或60或105或150． 16．已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 17．如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的和与差． (1)当秒时，根据射线和的运动方向和运动速度，可得，把代入计算即可； (2)根据角平分线的定义可知当是的角平分线时，可得：，解方程即可求出的值； (3)若∠，应分和相遇前和和相遇后两种情况求解． 【详解】（1）解：射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍， 射线的旋转速度为每秒， ； （2）解：当是的角平分线时， 可得：， ，， ， 解得：； （3）解：当或时，， 理由如下： 当和相遇前时， 可得：， 解得：； 当和相遇后时， 可得：， 解得：； 综上所述，当或时，． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为，则四边形的面积为________； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)见解析，21 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的作图，以及等腰梯形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可，再由等腰梯形的面积公式求解即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1， 四边形的面积为； 故答案为：21； （2）解：如图2， 19．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 20．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则_____． 【初步应用】 （2）如图2，射线平分角，为内部的一条射线，且在上方，，若与互为“百度角”，求的值． 【解决问题】 （3）如图3，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）；（3）为秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，根据旋转的性质求解，几何问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据互为“百度角”的意义求解即可； （2）先根据角平分线的意义得出，再根据互为“百度角”的意义求解； （3）分在上方、在下方两种情况讨论，分别画出图形，根据互为“百度角”的意义求解． 【详解】（1）解：∵，与互为“百度角”， ∴， 故答案为：； （2）解：当在上方时， ∵射线平分角， ∴， ∵与互为“百度角”， ∴， ∵， ， ； （3）解：①如图：在上方时： 根据题意得，运动的时间为秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 解得：秒； 当和互为“百度角”时， ， 解得：秒； 当和互为“百度角”时， ， 解得：（舍去）； ②如图：在下方时： 根据题意得，运动的时间为秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 解得：秒（舍去）； 当和互为“百度角”时， ， 解得：秒． 当和互为“百度角”时， ， 解得：秒． 综上所述，三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”时，为秒或秒或秒或秒． 21．下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： (1)完成“研究内容”【I】中的第（1）题； (2)完成“研究内容”【I】中的第（2）题； (3)写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 【答案】(1)图见详解 (2)①③④ (3)，， 【分析】本题主要考查轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质是解题的关键； （1）分别作点A、B关于直线l的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）中作图及轴对称的性质可进行求解； （3）根据轴对称的性质及旋转的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：如图， 由作图可知：直线l垂直平分，故①正确； ∴， 由题干可得与并未互补，所以不一定成立，故②错误； ∴， ∴，根据等积法可知：边上的高与边上的高相等，故③正确； 若线段，所在的直线相交，根据线段垂直平分线的判定定理可知：线段，所在的直线的交点在直线上，故④正确； 综上所述：正确的有①③④； 故答案为①③④； （3）解：如图2， 由轴对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移； 如图3， 由轴对称的性质可知：，， ∵， ∴， ∴图3中由绕点顺时针旋转得到，旋转角为，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转； 故答案为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3旋转同步培优讲义 （5大知识点+题型+过关检测） 目录 【知识点1：旋转的基本概念】 2 【知识点2：旋转的性质】 2 【知识点3：旋转作图的步骤】 2 【知识点4：旋转对称图形】 2 【知识点5：中心对称与中心对称图形】 3 【题型1 判断生活中的旋转现象】 3 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 4 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 5 【题型4 根据旋转的性质求解】 6 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 7 【题型6 旋转的性质及辨析】 7 【题型7 画旋转图形】 8 【题型8 利用旋转设计图案】 9 【题型9 旋转对称图形的识别】 10 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 11 【题型11 画已知图形关于某点对称的图形】 12 【题型12 画两个图形的对称中心】 14 【题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 15 【题型14 中心对称图形的识别】 16 【题型15 判断中心对称图形的对称中心】 17 【题型16 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 18 【题型17 中心对称图形规律问题】 19 1. 理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的定义，能准确识别生活中的旋转现象，明确旋转的三个核心要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）。 2. 掌握旋转的基本性质，能运用性质判断旋转前后图形的对应关系，解决角度、线段长度等求解问题，能说明线段或角相等。 3. 掌握旋转作图的基本方法和步骤，能根据已知条件（原图形、旋转中心、旋转方向、旋转角度）画出旋转图形，能利用旋转设计简单图案。 4. 理解旋转对称图形、中心对称、中心对称图形的定义，能准确识别旋转对称图形和中心对称图形，区分三者的联系与区别。 5. 掌握中心对称的基本性质，能画出已知图形关于某点对称的图形、两个图形的对称中心，能根据中心对称的性质求面积、线段长度、角度。03 知识•梳理 【知识点1：旋转的基本概念】 1. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2. 三个核心要素： · 旋转中心：绕着转动的定点（可以在图形上，也可以在图形外）； · 旋转方向：顺时针方向或逆时针方向； · 旋转角度：图形转动的角度（旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角）。 3. 对应关系：旋转后，图形上的每个点都绕旋转中心转动了相同的角度，得到对应的点（对应点）、对应的线段（对应线段）、对应的角（对应角）。 【知识点2：旋转的性质】 1. 对应点：对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心到任意一组对应点的距离都相等）； 2. 对应角：对应角相等（旋转不改变图形的形状和大小，对应角大小不变）； 3. 对应线段：对应线段相等（旋转不改变图形的大小，对应线段长度不变）； 4. 旋转角：所有的旋转角都相等（任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都是旋转角）； 5. 图形特征：旋转前后，图形的形状、大小不变，只改变图形的位置；图形的方向可能改变（区别于平移）。 【知识点3：旋转作图的步骤】 1. 确定原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点等，关键点越多，作图越准确）； 2. 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 3. 分别画出每个关键点绕旋转中心按指定方向转动指定角度后的对应点（画对应点时，确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角等于指定角度）； 4. 按原图形的形状，依次连接各对应点，得到旋转后的图形，并标注旋转中心、旋转方向和旋转角度。 【知识点4：旋转对称图形】 1. 定义：一个图形绕着某一个定点旋转一定的角度后，能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°且小于360°）。 2. 关键说明：旋转对称图形是“一个图形”自身的对称关系，旋转角可以是多个（如正方形绕中心旋转90°、180°、270°都能与自身重合）。 3. 常见例子：正方形、正三角形、正五边形、圆等。 【知识点5：中心对称与中心对称图形】 1. 中心对称（两个图形） 定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点成中心对称，这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（对称点）。 核心性质： 对应点：对应点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；对应线段：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角：对应角相等；两个图形的形状、大小完全相同。 2. 中心对称图形（一个图形） 定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。 关键说明：中心对称图形是“一个图形”自身的对称关系，是旋转对称图形的特殊情况（旋转角为180°）。 常见例子：平行四边形、正方形、长方形、圆、菱形等（注意：等腰三角形、正三角形不是中心对称图形）。 3. 三者的联系与区别 · 联系：中心对称图形是特殊的旋转对称图形（旋转角为180°）；把成中心对称的两个图形看作一个整体，就是一个中心对称图形；旋转、中心对称都不改变图形的形状和大小。 · 区别：旋转是图形的运动方式；旋转对称图形是一个图形自身的对称；中心对称是两个图形的对称，中心对称图形是一个图形自身的对称。 易错点提醒 · 混淆旋转的三个要素：忽略旋转中心、旋转方向或旋转角度，导致判断错误； · 误认为旋转会改变图形的形状或大小，或对应角、对应线段不相等； · 混淆“旋转对称图形”“中心对称”“中心对称图形”：中心对称图形必须旋转180°与自身重合，而旋转对称图形的旋转角可以是任意角度（0°<旋转角<360°）； · 旋转作图时，对应点到旋转中心的距离不相等，或旋转角度错误； · 中心对称作图时，忽略“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，导致作图错误。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题关键：紧扣旋转的定义，判断现象是否满足“绕一个定点、按某个方向、转动一个角度”，且形状、大小不变，排除平移、翻折、缩放等其他运动。 【典例1】．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 跟随训练1-1．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 跟随训练1-2．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题关键：观察图案的形状、大小，判断是否能由一个基本图形，绕某个定点旋转一定角度后得到，确保旋转前后基本图形的形状、大小不变，旋转角度合理。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题关键：旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点；旋转角是任意一组对应点与旋转中心连线的夹角；对应点是旋转后重合的点，可通过图形的形状、位置对应判断。 【典例3】．如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 跟随训练3-1．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型4 根据旋转的性质求解】 解题关键：运用旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、对应线段相等、对应角相等、旋转角相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小、旋转角度等。 【典例4】．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，它绕着中心点旋转一定的角度后会与本身重合，则旋转角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．已知直线和交于点O，，，平分．射线以每秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线也以每秒的速度绕点O顺时针转动，当射线转动一周时，射线、也停止转动．在射线转动一周的过程中．当时，射线转动的时间为 秒． 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题关键：利用旋转的性质（对应线段相等、对应角相等），结合图形的对应关系，直接说明线段或角相等，注意标注对应关系和旋转的性质依据。 【典例5】．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型6 旋转的性质及辨析】 解题关键：牢记旋转的性质，判断选项是否符合“对应点到旋转中心距离相等、对应线段相等、对应角相等、旋转角相等、形状大小不变”，规避易错点。 【典例6】．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 跟随训练6-1．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练6-2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【题型7 画旋转图形】 解题关键：严格按照旋转作图三步法（找关键点→画对应点→连对应点），确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角度准确，作图规范，标注清晰。 【典例7】．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 跟随训练7-1．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 跟随训练7-2．如下图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知和直线MN． (1)画出关于直线MN成轴对称的． (2)连接，取线段的中点O，画出绕点O按逆时针方向旋转后得到的（保留画图痕迹，不写画法）． 【题型8 利用旋转设计图案】 解题关键：选择一个简单的基本图形（如三角形、正方形、线段等），确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，多次旋转基本图形，得到对称、美观的图案，注意旋转角度的合理性（如60°、90°、120°等）。 【典例8】．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 跟随训练8-1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 跟随训练8-2．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【题型9 旋转对称图形的识别】 解题关键：紧扣旋转对称图形的定义，判断一个图形是否能绕某一个定点旋转一定角度（0°<旋转角<360°）后，与自身重合，注意区分旋转对称图形与中心对称图形。 【典例9】．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．下列图形绕某点旋转（旋转度数不超过）后，不能与原来重合的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 解题关键：对于正多边形类旋转对称图形，旋转角度=360°÷边数；对于其他旋转对称图形，找出能使图形与自身重合的最小角度（最小旋转角），或根据图形特征计算旋转角度。 【典例10】．如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 跟随训练10-1．下列图形绕点O旋转后，能与原图形重合的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【题型11 画已知图形关于某点对称的图形】 解题关键：中心对称作图的核心是“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，步骤：找关键点→作对应点（对称中心是关键点与对应点的中点）→连对应点。 【典例11】．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： (1)在网格中画出关于O点的中心对称图形； (2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 跟随训练11-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 跟随训练11-2．如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【题型12 画两个图形的对称中心】 解题关键：两个成中心对称的图形，对称中心是任意两组对应点连线的交点，因此只需连接两组对应点，作它们的交点，即为对称中心。 【典例12】．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 跟随训练12-1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 跟随训练12-2．如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 解题关键：利用中心对称的性质（对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称中心平分），结合图形特征，求线段长度、角度、面积（成中心对称的两个图形面积相等）。 【典例13】．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 跟随训练13-1．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 跟随训练13-2．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【题型14 中心对称图形的识别】 解题关键：紧扣中心对称图形的定义，判断一个图形是否能绕某一个定点旋转180°后，与自身重合，注意区分中心对称图形与旋转对称图形、轴对称图形。 【典例14】．以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线 C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线 跟随训练14-1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练14-2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型15 判断中心对称图形的对称中心】 解题关键：中心对称图形的对称中心，是图形中所有对应点连线的交点，也是图形的对称中心（如平行四边形的对称中心是对角线的交点，正方形的对称中心是对角线的交点）。 【典例15】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 跟随训练15-1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练15-2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【题型16 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 解题关键：在方格纸中，利用中心对称的性质（对应点连线经过对称中心且被对称中心平分），先找出已知图形关键点的对称点，再补画对应线段，使图形成为中心对称图形。 【典例16】．如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练16-1．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，解答下列问题： (1)画出向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到的， (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点，的对应点分别为点，），与成______（填“轴对称”或“中心对称”），若是轴对称，请在图中画出对称轴，若是中心对称，请在图中找出对称中心并标注字母． 跟随训练16-2．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【题型17 中心对称图形规律问题】 解题关键：观察中心对称图形的排列规律，结合中心对称的性质，找出图形的循环规律、数量规律，进而求解问题，重点关注图形的个数、位置与对称中心的关系。 【典例17】．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 跟随训练17-1．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 跟随训练17-2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 05 过关•检测 1．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（    ）． A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线 C．笛卡尔叶形线 D．星形线 4．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 5．如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 7．平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 8．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为 ． 11．如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点 ，此时， ， ， ． 12．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转 后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转 可得到图②． 13．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为 ． 14．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ． 15．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 16．已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 17．如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为，则四边形的面积为________； (2)作关于点的中心对称图形． 19．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 20．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则_____． 【初步应用】 （2）如图2，射线平分角，为内部的一条射线，且在上方，，若与互为“百度角”，求的值． 【解决问题】 （3）如图3，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 21．下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： (1)完成“研究内容”【I】中的第（1）题； (2)完成“研究内容”【I】中的第（2）题； (3)写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $