专题07矩形同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07矩形同步专项训练讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................5 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................5 【题型03 由矩形的性质求线段长】..................................6 【题型04 由矩形的性质求面积】....................................7 【题型05 由矩形的性质证明】......................................8 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】................................9 【题型07 矩形与折叠问题】.......................................10 【题型08 斜边的中线等于斜边的一半】.............................11 【题型09 矩形的判定定理理解】...................................12 【题型10 添一条条件使四边形是矩形】.............................13 【题型11 证明四边形是矩形】.....................................13 【题型12 由矩形的性质与判定求角度】.............................15 【题型13 由矩形的性质与判定求线段长】...........................16 【题型14 由矩形的性质与判定求面积】.............................16 【解答题5题】..................................................17 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 ▶ 核心要点：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有自身特殊性质。 知识点02:矩形的性质 1. 通用性质（继承平行四边形） 对边平行且相等； 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分； 中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 几何语言: 1、对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD, AB=CD; AD∥BC, AD=BC.​ 2、对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC; ∠BAD+∠ABC=180∘, ∠ABC+∠BCD=180∘, ∠BCD+∠ADC=180∘, ∠ADC+∠BAD=180∘.​ 3、对角线互相平分 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O, ∴OA=OC=AC, OB=OD=BD.​ 4、中心对称图形（几何语言表述） ∵四边形ABCD是矩形,对角线交于点O, ∴矩形ABCD关于点O成中心对称； △AOB与△COD关于点O中心对称, △AOD与△BOC关于点O中心对称。​ 2. 特有性质（区别于普通平行四边形） 角的性质：矩形的四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； 对角线的性质：矩形的对角线相等（AC=BD）； 对称性：矩形是轴对称图形，有2 条对称轴（过每组对边中点的直线）。 1.角的性质 ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 2. 对角线的性质 ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ AC=BD（对角线相等）且 OA=OC=AC，OB=OD=BD（对角线互相平分） （推论：OA=OB=OC=OD） 3. 对称性（几何表达） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，E、G 为AB 、CD 的中点，F、H为 AD、BC的 中点 ∴ 直线 EG、直线 FH 是矩形 ABCD 的对称轴 （或：矩形 ABCD 关于直线 EG 成轴对称，关于直线 FH 成轴对称） 3. 重要推论 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 推导：矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线分割，可得直角三角形，其斜边中线为矩形对角线的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定 判定思路：先证是平行四边形，再证有矩形特征；或直接证满足矩形的所有条件（3 个角为直角的四边形）。 1. 定义判定法（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵∠A=90°，∴▱ABCD 是矩形。 2. 对角线判定法 对角线相等的平行四边形是矩形。 ▶ 注意：仅 “对角线相等的四边形” 不一定是矩形，必须先证是平行四边形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵AC=BD，∴▱ABCD 是矩形 3. 角的判定法 有三个角是直角的四边形是矩形。 ▶ 推导：四边形内角和 360°，三个角为 90°，则第四个角必为 90°，先证是平行四边形（两组同旁内角互补，对边平行），再由定义得矩形。 符号语言：在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形。 知识点04:核心易错点 1.混淆 “平行四边形的判定” 和 “矩形的判定”：如直接说 “对角线相等的四边形是矩形”（错误，需先证平行四边形）； 2.忽略矩形的轴对称性：矩形有 2 条对称轴，而非 4 条（正方形才有 4 条）； 3.直角三角形斜边中线推论的逆用误区：“若三角形一边中线等于这边一半，则该三角形是直角三角形”（正确，可作为直角三角形判定方法），但易忘记使用。 知识点05:核心解题思路 1.证明矩形的三步法： ① 证四边形是平行四边形（边 / 角 / 对角线）； ② 找一个直角 或 证对角线相等； .③ 下结论（矩形）。 2.矩形与直角三角形结合：遇矩形对角线，必连交点，利用 “对角线互相平分且相等” 构造等腰三角形或直角三角形，结合勾股定理、中线推论解题。 3..矩形与轴对称结合：利用对称轴性质，求线段最短、点的对称坐标等。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【跟踪专练1】如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，．给出以下结论：①；②；③若，则，其中正确结论的序号是 ． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是   ． 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则 ． 【跟踪专练2】如图，直线，矩形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于 【题型3.由矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【题型4.由矩形的性质求面积】 【典例】一个矩形的两条邻边分别为6，8，面积S= ． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【题型5.由矩形的性质证明】 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 ． 【跟踪专练2】矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是 ．    【跟踪专练1】把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型8.斜边的中线等于斜边的一半】 【典例】如图，在中，，则它斜边上的中线为 cm． 【跟踪专练1】如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，若，，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【题型9.矩形的判定定理理解】 【典例】如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是 ． 【跟踪专练1】数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点，则________. 【跟踪专练3】某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10.添一条件使四边形是矩形】 【典例】如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 【跟踪专练1】要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【跟踪专练3】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）   . A． B． C． D． 【题型11.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形． 【跟踪专练1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是（    ） A．③②① B．③①② C．②③① D．①②③ 【跟踪专练2】如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【跟踪专练3】如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 【题型12.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【跟踪专练1】为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【题型13.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【题型14.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是 米． 【跟踪专练1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【跟踪专练2】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答题】 1．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 2．如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 3．如图所示，折叠长方形一边，点落在边的点处，已知厘米，厘米，求的长． 4．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)与相交于点G，连接、，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形同步专项训练讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................5 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................7 【题型03 由矩形的性质求线段长】.................................10 【题型04 由矩形的性质求面积】...................................13 【题型05 由矩形的性质证明】.....................................15 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】...............................19 【题型07 矩形与折叠问题】.......................................23 【题型08 斜边的中线等于斜边的一半】.............................26 【题型09 矩形的判定定理理解】...................................29 【题型10 添一条条件使四边形是矩形】.............................31 【题型11 证明四边形是矩形】.....................................33 【题型12 由矩形的性质与判定求角度】.............................36 【题型13 由矩形的性质与判定求线段长】...........................39 【题型14 由矩形的性质与判定求面积】.............................43 【解答题5题】..................................................46 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 ▶ 核心要点：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有自身特殊性质。 知识点02:矩形的性质 1. 通用性质（继承平行四边形） 对边平行且相等； 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分； 中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 几何语言: 1、对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD, AB=CD; AD∥BC, AD=BC.​ 2、对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC; ∠BAD+∠ABC=180∘, ∠ABC+∠BCD=180∘, ∠BCD+∠ADC=180∘, ∠ADC+∠BAD=180∘.​ 3、对角线互相平分 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O, ∴OA=OC=AC, OB=OD=BD.​ 4、中心对称图形（几何语言表述） ∵四边形ABCD是矩形,对角线交于点O, ∴矩形ABCD关于点O成中心对称； △AOB与△COD关于点O中心对称, △AOD与△BOC关于点O中心对称。​ 2. 特有性质（区别于普通平行四边形） 角的性质：矩形的四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； 对角线的性质：矩形的对角线相等（AC=BD）； 对称性：矩形是轴对称图形，有2 条对称轴（过每组对边中点的直线）。 1.角的性质 ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 2. 对角线的性质 ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ AC=BD（对角线相等）且 OA=OC=AC，OB=OD=BD（对角线互相平分） （推论：OA=OB=OC=OD） 3. 对称性（几何表达） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，E、G 为AB 、CD 的中点，F、H为 AD、BC的 中点 ∴ 直线 EG、直线 FH 是矩形 ABCD 的对称轴 （或：矩形 ABCD 关于直线 EG 成轴对称，关于直线 FH 成轴对称） 3. 重要推论 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 推导：矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线分割，可得直角三角形，其斜边中线为矩形对角线的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定 判定思路：先证是平行四边形，再证有矩形特征；或直接证满足矩形的所有条件（3 个角为直角的四边形）。 1. 定义判定法（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵∠A=90°，∴▱ABCD 是矩形。 2. 对角线判定法 对角线相等的平行四边形是矩形。 ▶ 注意：仅 “对角线相等的四边形” 不一定是矩形，必须先证是平行四边形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵AC=BD，∴▱ABCD 是矩形 3. 角的判定法 有三个角是直角的四边形是矩形。 ▶ 推导：四边形内角和 360°，三个角为 90°，则第四个角必为 90°，先证是平行四边形（两组同旁内角互补，对边平行），再由定义得矩形。 符号语言：在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形。 知识点04:核心易错点 1.混淆 “平行四边形的判定” 和 “矩形的判定”：如直接说 “对角线相等的四边形是矩形”（错误，需先证平行四边形）； 2.忽略矩形的轴对称性：矩形有 2 条对称轴，而非 4 条（正方形才有 4 条）； 3.直角三角形斜边中线推论的逆用误区：“若三角形一边中线等于这边一半，则该三角形是直角三角形”（正确，可作为直角三角形判定方法），但易忘记使用。 知识点05:核心解题思路 1.证明矩形的三步法： ① 证四边形是平行四边形（边 / 角 / 对角线）； ② 找一个直角 或 证对角线相等； .③ 下结论（矩形）。 2.矩形与直角三角形结合：遇矩形对角线，必连交点，利用 “对角线互相平分且相等” 构造等腰三角形或直角三角形，结合勾股定理、中线推论解题。 3..矩形与轴对称结合：利用对称轴性质，求线段最短、点的对称坐标等。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，．给出以下结论：①；②；③若，则，其中正确结论的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出，故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； 故答案为：②． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是   ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，∠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值=， 故答案为：． 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意可推出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：. 【跟踪专练2】如图，直线，矩形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．先根据矩形的性质得出，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解： 如图 ∵四边形是矩形， ∴， ∵，直线， ． ∴ 故选：C． 【跟踪专练3】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，作于，根据平行四边形的面积等于矩形面积的一半，得出，取的中点，连接，由直角三角形的性质得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， 则， 根据题意得，平行四边形的面积， ， 取的中点，连接，则， ， 为等边三角形， ， ， ∵， ∴ 即这个平行四边形的最大内角等于， 故选：． 【题型3.由矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质应用、三角形全等、勾股定理，结合三角形全等、勾股定理进行计算是解题的关键． 根据四边形是矩形，，，证明，即可得到，进而得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4.由矩形的性质求面积】 【典例】一个矩形的两条邻边分别为6，8，面积S= ． 【答案】48 【分析】根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：矩形的两条邻边分别为6，8， 面积， 故答案为：48． 【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是根据矩形的面积等于长宽解答． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 【题型5.由矩形的性质证明】 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质即可求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若， ∵，，， ∴， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，与已知矛盾，故②错误； ③∵， ∴是矩形，故③正确； ④∵，， ∴， 在矩形中，，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，设、分别交于点J、K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平分四边形的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)， ∴AD=OC=10，DC=AO=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3， ∴点E的坐标为(10,3)． 故选择A． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是 ．    【答案】55°/55度 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于求出的度数即可． 【详解】∵长方形沿折叠得到 ， ， ∵ ，， ∴， ∴， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了角度的计算，折叠的性质，根据折叠前后的两个图形能够完全重合得到是解决本题的关键． 【跟踪专练1】把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，由题意得，；根据，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 由折叠可知：， ∴ 故选：B. 【跟踪专练2】在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、折叠性质，解题关键是熟练掌握勾股定理． 先由勾股定理得出，由折叠性质得，，，再由勾股定理得到，求解即可． 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 设，， 中，， 即， 解得， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出即可解决问题； 【详解】解：在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选C． 【题型8.斜边的中线等于斜边的一半】 【典例】如图，在中，，则它斜边上的中线为 cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且为斜边的中线， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，若，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴在上， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【题型9.矩形的判定定理理解】 【典例】如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【跟踪专练1】数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点，则________. 【答案】50 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理．连接，，，，利用三角形中位线定理证得四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：50． 【跟踪专练3】某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 【题型10.添一条件使四边形是矩形】 【典例】如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 【跟踪专练1】要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 【跟踪专练3】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）   . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，若，则是矩形，A不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∵，∴，∴是矩形，B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，若，则是矩形，C不符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，故根据不能判定是矩形，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 【题型11.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：6． 【跟踪专练1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是（    ） A．③②① B．③①② C．②③① D．①②③ 【答案】A 【分析】根据题目中已知的角的度数，可求得，，进而可证得四边形是平行四边形，结合已知角的度数，即可证得结论． 【详解】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，牢记矩形判定的方法是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 【跟踪专练3】如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意， C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意， D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意， 故选：B． 【题型12.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 【跟踪专练1】为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 【跟踪专练2】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【题型13.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在 中，， ， 如图，连接， ∵是斜边的中点， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．首先利用勾股定理的逆定理确定为直角三角形，，过点作于点，利用面积法解得，根据题意可知四边形为平行四边形，连接，则，当时，的长取最小值，此时四边形为矩形，结合矩形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， 根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形， 连接，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的长取最小值， 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴长的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 【题型14.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是 米． 【答案】 【分析】根据长方形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可． 【详解】解：设长方形的长是a，宽是b， 根据题意，得： （2）+（1）×2，得， 即a+b=， 所以长方形的周长是×2=m． 【点睛】注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．熟练掌握掌握长方形的面积计算公式和勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 【解答题】 1．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 2．如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是边上的高线， ∴， 在中，； （2）证明：∵是边上的高线， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵． ∴， ∵， ∴． 3．如图所示，折叠长方形一边，点落在边的点处，已知厘米，厘米，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 由折叠的性质得：，，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质得：，， 在中，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 即， 解得， ． 4．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)与相交于点G，连接、，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，证明出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）先由平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再根据即可证明； （2）先有勾股定理求解与的长，再由等角对等边即可得，由此可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵是的中位线，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∵，点E是的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $